第17章 一元二次方程 质量评估
［时量:120分钟 分值:150分］
一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分）
1．若方程化为一般式后的二次项为,则一次项的系数为（ ）
A．9 B． C． D．
2．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．将方程配方后,原方程变形为（ ）
A． B．
C． D．
4．关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是（ ）
A．且 B．
C．且 D．
5．若,是一元二次方程的两个根,则的值是（ ）
A．4 B．3 C． D．
6．若是方程的一个根,则的值是（ ）
A．1 B． C． D．
7．在实数范围内定义一种运算“*”,使,则方程的解为（ ）
A． B．,
C．, D．,
8．如图是一张长、宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成底面积是的一个无盖长方体纸盒.设剪去的正方形边长为,根据题意，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．若，是方程的两个根，则的值为（ ）
A．2 026 B．2 027 C．2 024 D．2 029
10．俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看.”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘.假设每天“遗忘”的百分比是一样的，根据“两天不练丢一半”，则每天“遗忘”的百分比约为（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分）
11．方程的根是____________________________.
12．已知是关于的一元二次方程的一个根,则该方程的另一个根________.
13．已知是方程的一个根，则的值为__________．
14．某网店销售医用外科口罩，每盒售价60元，每星期可卖300盒.为了便民利民，该网店决定降价销售，市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30盒．已知该款口罩每盒成本价为40元，若该网店某星期获得了6 480元的利润，且尽快减少库存，那么该网店这星期销售该款口罩____________盒．
三、解答题（本大题共9个小题,共90分）
15．（8分）用适当的方法解下列方程:
（1） ;
（2） .
16．（8分）已知关于的一元二次方程．
（1） 若是方程的一个根，求的值；
（2） 求证：方程有两个不相等的实数根．
17．（8分）已知关于的一元二次方程的两个实数根,满足,求的取值范围.
18. （8分）某商厦1月份的营业额是100万元，第一季度的营业额是364万元，问第一季度后两个月的月平均营业额的增长率是多少？
19．（10分）小亮改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流数人物，而立之年督东吴，早逝英才两位数，十位恰小个位三，个位平方与寿符.哪位学子算得快，多少年华属周瑜？”大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位的平方恰好等于该数.”设周瑜去世时年龄的个位数字为，求周瑜去世时的年龄.（注：“而立之年”指的是三十岁）
20．（10分）阅读理解：
【问题】解方程:.
【提示】可以用“换元法”解方程.
解:设,则有,
原方程可化为.
将解方程的过程补充完整,并求出的值.
21．（12分）已知：如图，在中， ，，.点以的速度从点开始沿边向点移动，点以的速度从点开始沿边向点移动．
（1） 如果，两点分别从点，同时出发，那么几秒后，的面积等于？
（2） 在（1）条件下，的面积能否等于？请说明理由.
22．（12分）随着电池技术的突破,电动汽车已呈现替代燃油汽车的趋势,安徽电动汽车在今年第一季度销售了2万辆,第三季度销售了2.88万辆.
（1） 求前三季度销售量的平均增长率.
（2） 某厂家目前只有1条生产线,经调查发现,1条生产线最大产能是6 000辆/季度,若每增加1条生产线,每条生产线的最大产能将减少200辆/季度.
① 现该厂家要保证每季度生产电动汽车2.6万辆,在增加产能的同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多,投入成本越大）,应该再增加几条生产线？
② 是否能增加生产线,使得每季度生产电动汽车达到6万辆？若能,应该再增加几条生产线？若不能,请说明理由.
23．（14分）阅读材料：
若一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．
例如：因为，所以13是“完美数”；再例如：因为（，是整数），所以 是“完美数”．
根据上面的材料，解决下列问题：
（1） 请直接写出一个小于10的“完美数”，这个“完美数”是________________________;
（2） 试判断（，是整数）是否为“完美数”，并说明理由;
（3） 已知（，是整数，为常数），要使为“完美数”，试求出符合条件的值，并说明理由．
第17章质量评估
一、选择题（本大题共10个小题,每小题4分,共40分）
1．B 2．D 3．A 4．C 5．B 6．A 7．D 8．B 9．C 10．C
二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分）
11．,
12．
13．
14．
三、解答题（本大题共9个小题,共90分）
15．（1） 解:,
或,
,.
（2） ,,,
，
.
,.
16．（1） 解：把代入,
得，
解得.
（2） 证明：，
方程有两个不相等的实数根．
17．解: 该一元二次方程有两个实数根,
,
即,
解得,
解得.
由根与系数的关系,得,.
又,
.
解得.
解得的取值范围为.
解：设第一季度后两个月的月平均营业额的增长率是,则该商厦2月份的营业额为万元，3月份的营业额为万元，
根据题意得：=364，
整理得：=0，
解得：，（不符合题意，舍去）．
答：第一季度后两个月的月平均营业额的增长率是．
19．解：设周瑜去世时年龄的个位数字为，则周瑜去世时年龄的十位数字为.
由题意，得，
解得，.
十位数字为2或3.
当时，与“而立之年”不符，舍去.
当时，，
答:周瑜去世时的年龄为36岁．
20．解:方程可化为,
或,
,.
，.
当时,,
则,配方,得,
解得,.
的值为或.
21．（1） 解：设经过后，的面积为，
则,.
根据题意，得，
整理，得，
解得或．
答：或后,的面积等于．
（2） 不能.理由如下：设经过后，的面积为．
根据题意，得，
整理，得，
，
此方程没有实数根．
的面积不能等于．
22．（1） 解:设前三季度销售量的平均增长率为.
根据题意,得,
解得,（不符题意,舍去）.
答:前三季度销售量的平均增长率为.
（2） ① 设应该再增加条生产线,则每条生产线的最大产能为辆/季度.
根据题意,得,
整理,得,
解得,,
在增加产能的同时又要节省投入成本的条件下,
.
答:应该再增加4条生产线.
② 设再增加条生产线,则每条生产线的最大产能为辆/季度.
根据题意,得,
整理,得,
此方程根的判别式为,
此方程没有实数根.
答:不能增加生产线,使得每季度生产电动汽车达到6万辆.
23．（1） （答案不唯一）
（2） 解：是“完美数”.理由如下：
，
是“完美数”．
（3）
.
.
为“完美数”，
，
解得．
