第二十八章锐角三角函数单元练习2024-2025学年九年级下册数学人教版
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.如图,在 Rt△ABC 中,∠B =90°,下列结论正确的是 ( )
2.如图,在△ABC 中,∠B =55°,BC =70,则点 C 到AB 的距离为 ( )
A.70cos55° B.70sin55°
3.在长为6cm，宽为4 cm的矩形硬纸板中剪掉一个直角三角形，使得最大锐角的正弦值为 ，以下四种剪法中，给出的数据(单位：cm)不正确的是 ( )
4.如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知BC=12cm，圆锥的侧面积为,则cos∠CAO 的值为 ( )
A. B. C. D.
5.如图,在△ABC中,AB=BC,以点A 为圆心,AC 长为半径画弧，交BC于点C 和点 D，再分别以点C，D为圆心，大于 CD长为半径画弧，两弧相交于点E,作射线AE 交 BC 于点 M.若CM =1,BD =3,则 sin B = ( )
A. B. C. D.
6.如图，将一个Rt△ABC 形状的楔子从木桩的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为18°，若楔子沿水平方向前移6cm(如箭头所示)，则木桩上升了 ( )
A.6tan 18°cm
C.6sin 18°cm D.6cos18°cm
7.如图,矩形ABCD中,E在BC边上,将△ABE沿AE翻折,得到△AFE,延长AF交BC 于G,连接DG.若 则AF的长为 ( )
A.5 B.10 C.12 D.13
8.如图,D为△ABC 的边AB上一点,且BD=2,AD =1,∠A=45°,∠CDB=60°,CE⊥AB 于点 E,则线段BE 的长为 ( )
A.
9.如图,在△ABC 中,AB =BC =AD,∠ACD =30°, 则线段 BC的长为( )
A.6 B.10 C.12 D.12
学校某数学兴趣小组想测学校旗杆高度，如图，小明在稻香园一楼A 点测得旗杆顶点 F 的仰角为45°，在稻香园二楼 B 点测得点 F 的仰角为37°.小明从A点朝旗杆方向步行4 米到C点，沿坡度i=1：3的台阶走到点D，再向前走5 米到旗杆底部E，已知稻香园AB的高度为4.5米，则旗杆EF 的高度约为(参考数据: sin 37°≈0.6,cos37°≈0.8, tan 37°≈0.75) ( )
A.13.5米 B.15米 C.16.5米 D.18米
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
11.在Rt△ABC中,∠C=90°,若 则cosB=
12.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC 的正切值是
13.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=10,若△ABC 的面积为 则∠A 的度数为 .
14.如图,在四边形ABCD中,对角线AC⊥CD,点E在AC上,连接 DE,DE = AC,DE∥BC,CD =4,tan∠ABC=2,则边AB 的长为 .
15.将如图1 所示的菱形沿两条对角线剪开后重新拼成如图2、图3两种图形，其中图2中的大正方形的面积为5，图3中的图形的外轮廓的周长为4+4,则图1中sin∠CEB的值为 .
三、解答题(本大题共8小题，共75分)
16.计算:
(1) (3分) 2cos 30°- tan 60° + tan 45°-
(2)(3分)
17.(8分)如图,在 Rt△ABC 中,∠B =90°,AC =6, 点 D 是边 BC 上一点,连接 AD,∠CAD=15°,求CD的长.
18.(8分)如图1 是合肥古逍遥津公园摩天轮“庐州之眼”的实物图.如图2，该摩天轮静止时最高点A到地面的距离为90米，最低点 B到地面的距离为10米，点O 是摩天轮的圆心，AB 是其垂直于地面的直径，若摩天轮匀速运行一周需要2分钟，某人在摩天轮启动前在点 B 处，摩天轮开启后匀速运行17秒后，求某人距离地面的高度.(结果精确到0.1 米.参考数据: sin 17°≈0.29, cos 17°≈0.96, sin 34°≈0.56, cos 34°≈0.83, sin 51°≈0.78, cos 51°≈0.63)
19.(8分)如图，海中有一个小岛C，某渔船在海中的A点测得小岛 C位于东北方向上，该渔船由西向东航行一段时间后到达 B点，测得小岛 C 位于北偏西 方向上，该渔船再沿北偏东 方向继续航行一段时间后到达 D 点，这时测得小岛 C位于北偏西 方向上.已知A,C 相距30 n mile.求C,D间的距离.(计算过程中的数据不取近似值)
20.(10分) 科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点 B 处发出，经水面点 E 折射到池底点A 处.已知 BE与水平线的夹角α=36.9°,点 B 到水面的距离 BC =1.20m,点A 处水深为1.20 m,到池壁的水平距离AD=2.50m,点B,C,D在同一条竖直线上,所有点都在同一竖直平面内.记入射角为β，折射角为γ，求 的值.(精确到0.1,参考数据: sin 36.9°≈0.60,cos36.9°≈0.80,tan36.9°≈0.75)
21.(10分) 新情境如图1，在水平地面上，一辆小车用一根绕过定滑轮的绳子将物体竖直向上提起，起始位置示意图如图2，此时测得点 A 到BC所在直线的距离. ，停止位置示意图如图3，此时测得 点 C,A,D 在同一直线上，且直线 CD与地面平行，图3 中所有点在同一平面内.定滑轮半径忽略不计，运动过程中绳子总长不变.
(1)求AB的长;
(2)求物体上升的高度CE.
(结果精确到0.1m.参考数据：
22.(12分)2024年5 月, “嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作.如图，在斜坡BD上有一瞭望台，斜坡 BD 的坡度为1：0.75，坡长BD为50米，雷达CD垂直于地面且高度为10米，火箭发射，雷达中心C 测得火箭底端A 点的俯角为14°，仅2秒的时间，测得火箭上升至 M 处的仰角为76°，请根据以上数据估算火箭发射时的速度.(结果保留整数，参考数据：(
23.(13分)问题呈现
如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D，N 和 E,C,DN 与 EC 相交于点 P,求 tan∠CPN的值.
方法归纳
求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出(或构造出)一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线的方法解决此类问题，比如连接格点 M，N，可得MN∥EC,则∠DNM = ∠CPN,连接 DM,那么∠CPN 就变换到 Rt△DMN 中.
问题解决
(1)直接写出图1 中 tan∠CPN的值: ;
(2)如图2，在边长为1 的正方形网格中，AN与CM 相交于点 P,求 cos∠CPN 的值;
思维拓展
(3)如图3,AB⊥BC,AB=4BC,点M在AB上,且AM=BC,延长CB 到点 N,使BN=2BC,连接AN交 CM 的延长线于点 P，用上述方法构造网格求∠CPN的度数.
