2024-2025学年辽宁省锦州四中教育集团九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题中正确的是( )
A. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的四边形是矩形
D. 一组对边平行的四边形是平行四边形
2.已知一个菱形的周长是，两条对角线的比是：，则这个菱形的面积是( )
A. B. C. D.
3.如图，中，点、分别在、上，且，下列结论正确的是( )
A. ：：
B. 与的面积比为：
C. 与的周长比为：
D.
4.关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是( )
A. B. 且 C. 且 D.
5.如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，则四边形的面积是的面积的( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在中，，分别是的边，上的中线，则( )
A. B.
C. D.
7.如图，在矩形中，，相交于点，平分交于点，若，，则的长为( )
A. B.
C. D.
8.已知一元二次方程的两根分别为，，则方程的两根分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
9.如图，在菱形纸片中，，点在边上，将菱形纸片沿折叠，点落在边的垂直平分线上的点处，则的大小为( )
A.
B.
C.
D.
10.如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图所示，平整的地面上有一个不规则图案图中阴影部分，小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果，他将若干次有效试验的结果绘制成了所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为 ．
12.有一个人患了感冒，经过两轮传染后共有人患了感冒，按照这样的传染速度，经过三轮后患了感冒的人数为______人．
13.如图，平行四边形中，为的中点，已知的面积为，则平行四边形的面积为______．
14.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程．已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则______．
15.如图，在平行四边形中，，，点为边上的
一个动点，连接并延长至点，使得，以、为邻边构造
平行四边形，连接，则的最小值为______．
三、计算题：本大题共1小题，共12分。
16.用适当的方法解下列方程
．
四、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在网格中，每个小正方形的边长为个单位长度，的顶点均在格点网格线的交点上．
画出先向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度得到的；
以点为位似中心，将按相似比：放大，画出放大后的，并直接写出的面积．
18.本小题分
有四张反面完全相同的纸牌，，，，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．
从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是______．
小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图说明理由．
19.本小题分
公安部提醒市民，骑车必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔月份到月份的销量，该品牌头盔月份销售个，月份销售个，且从月份到月份销售量的月增长率相同．
求该品牌头盔销售量的月增长率；
若此种头盔每个进价为元，商家经过调查统计，当每个头盔售价为元时，月销售量为个，在此基础上售价每涨价元，则月销售量将减少个设该品牌头盔售价为元，月销售量为．
直接写出关于的函数关系式；
为使月销售利润达到元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元？
20.本小题分
大雁塔作为现存最早、规模最大的唐代四方楼阁式砖塔，造型简洁、气势雄伟，是西安市的标志性建筑和著名古迹，是古城西安的象征．某校九年级一班的兴趣小组准备去测量大雁塔的高度，测量方案如下：如图，首先，小明站在处，位于点正前方米点处有一平面镜，通过平面镜小明刚好可以看到大雁塔的顶端的像，此时测得小明的眼睛到地面的距离为米；然后，小刚在处竖立了一根高米的标杆，发现地面上的点、标杆顶点和塔顶在一条直线上，此时测得为米，为米，已知，，，点、、、、在一条直线上，请根据以上所测数据，计算大雁塔的高度平面镜大小忽略不计．
21.本小题分
如图，在梯形中，，与相交于点，点在线段上，的延长线与相交于点，．
求证：四边形是平行四边形；
如果，，求证：．
22.本小题分
小明在一次数学兴趣小组活动中，进行了如下探索活动．
问题原型：
如图，在矩形中，，，、分别是、边的中点，以、为邻边作矩形连接则的长为______；直接填空
问题变式：
如图，小明让矩形绕着点逆时针旋转至点恰好落在上，连接、，请帮助小明求出：的值 ______， ______直接填空
如图，当矩形绕着点逆时针旋转至如图位置时，请帮助小明判断：的值是否发生变化？若不变，说明理由若改变，求出新的比值．
问题拓展：
若将“问题原型”中的矩形改变为平行四边形，且，，，、分别是、边上的点，且，，以、为邻边作平行四边形当平行四边形绕着点逆时针旋转至如图位置时，连接、请帮助小明求出：的值 ______直接填空
23.本小题分
阅读材料：若关于的一元二次方程、、为常数的根均为整数，称该方程为“快乐方程”，我们发现任何一个“快乐方程”的判别式一定为完全平方数规定为该“快乐方程”的“快乐数”，若有另一个“快乐方程”、、为常数的“快乐数”为且满足，则称与互为“乐呵数”．
例如“快乐方程”的两根均为整数，其判别式，其“快乐数”．
“快乐方程”的“快乐数”为______，若关于的一元二次方程为整数，且是“快乐方程”，求其“快乐数”；
若关于的一元二次方程与均为整数都是“快乐方程”，且其“快乐数”互为“乐呵数”，求的值．
参考答案
1.
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10.
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14.
15.
16.解：方程移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
分解因式得：，
可得或，
解得：，；
开方得：，
解得：，；
方程整理得：，
这里，，，
，
．
17.解：如图，为所作；
如图，为所作，
的面积．
18.
19.解：设月增长率为，
依题意可得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
解：；
依题意，得：，
整理，得：，
解得：，，
尽可能让顾客得到实惠，
该品牌头盔的实际售价应定为元，
答：该品牌头盔的实际售价应定为元．
20.解：设米．
，，
∽，
，
，
，
，
∽，
，
，
解得，
经检验是分式方程的解，
答：大雁塔的高度为米．
21.证明：，
，
，
∽，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
，
，∽，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
．
22.
23.解：；
，，
，即：，
或或，
，舍去，舍去，
方程变为：，
则，
因此，其“快乐数”数是；
，
，
设：，
则：，
或或或，
或或或，
解得：或，
方程变为：或；
，
，
，
当时，，
解得：或，
当时，，
解得：，
故：或或．
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