2024——2025学年度第一学期阶段测试试题
九年级数学
注意事项：
1．请准备好必要的答题工具在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
2．本试卷共三大题，23小题，满分120分，考试时间80分钟．
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观．下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“百步穿杨”，④“瓮中捉鳖”描述的事件是不可能事件的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
2．如图，在平面直角坐标系中有P，Q，M，N四个点，其中恰有三点在反比例函数（k＞0）的图象上．根据图中四点的位置，判断这四个点中不在函数y的图象上的点是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
3．如图，△ABC的顶点都是正方形网格的格点，则sin∠ABC等于（ ）
A． B． C． D．
第2题 第3题 第5题 第6题
4．在一个不透明的袋子中装有4个红球和若干个白球，它们除颜色外其余都相同．通过多次摸球试验后发现摸到红球的频率稳定在0.4附近．则估计袋子中的白球有（ ）
A．6个 B．8个 C．10个 D．12个
5．如图，BC是⊙O的切线，点B是切点，连接CO交⊙O于点D，延长CO交⊙O于点A，连接AB，若∠C＝30°，OD＝2，则AB的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，量角器外缘上有A，B两点，它们所表示的读数分别是80°、50°，则∠ACB应为（ ）
A．25° B．15° C．30° D．50°
7．下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）
A．7x2+2x+3＝0 B．x2﹣2x﹣3＝0
C．9x2+6x+1＝0 D．2x2+x﹣1＝0
8．如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长BC为10m，则大树的长为（ ）m．
A．5 B．10 C．15 D．20
第8题 第9题 第10题
9．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以看作是抛物线
y＝﹣x2+4x的一部分，斜坡可以看作直线y＝x的一部分．下列结论错误的是（ ）
A．小球落在斜坡上的点距O点水平距离为7 m
B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势
C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m
D．小球距斜坡的最大铅直高度为m
10．如图，在△ABC中，DE∥AB，F为AB的中点，CF交DE于点G，且 =，结论错误的是（ ）
A． = B． = C． D． =
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．若x＝1是关于x的一元二次方程x2+ax+1＝0的解，则a的值为
12．如图，扇形AOB中，OA＝10，∠AOB＝36°．若将此扇形绕点B顺时针旋转，得一新扇形A′O′B，其中A点在O′B上，则点O的运动路径长为 ．（结果保留π）
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若，则的值为 ．
第12题 第13题 第14题 第15题
14．如图，在△ABC和△ADE中，AC＝20，AD＝AE＝15，DE＝18．将△ADE绕点A旋转，当点C、D、E在同一条直线上时，CE＝ ．
15．如图，电路图上有四个开关A、B、C、D和一个小灯泡，任意闭合A、B、C、D中的两个开关，如果能将灯泡与电源形成一个闭合电路，则小灯泡发光，请问“任意闭合两个开关使小灯泡发光“的概率为 ．
三．解答题(本题共5小题，共43分)
16．嵊州市三江购物中心为了迎接店庆，准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）试写出这个函数的表达式；
（2）当气球的体积为2m3时，气球内气体的气压是多少？
（3）当气球内的气压大于120kPa时，气球将爆炸．为了安全起见，对气球的体积有什么要求？
17．如图1，是一幅美丽的风景画，如图2，为彩色打印该风景画，需要在打印之前，设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），即风景画周围白色区域的宽度．若使用纸张长为16cm，宽为10cm，考虑到画的整体美观性，要求各页边距相等并使打印出的风景画面积占纸张面积的70%，请你求出所需设置的页边距宽度．
18.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC，BD，F为AC中点，且OF＝1．()
（1）求BD的长；
（2）当∠D＝30°时，
①CD＝ ；
②求阴影部分的周长和面积．
19．学完了三角函数知识后，我校“数学社团”的同学决定用自己学到的知识测量“无边寺白塔”的高度，他们把“测量白塔的高”作为一项课题活动，并制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表：
课题 测量白塔的高 测量说明
测量示意图 说明：CD是高为1.5米的测角仪，在点C处测得塔顶A的仰角∠ACM＝∠1，点E处测得此时塔顶A的仰角∠AEM＝∠2，（B、F、D三点在同一条直线上）
测量数据 ∠1的度数 ∠2的度数 CE的水平距离
40° 60° 26米
（1）请根据表中的测量数据，求白塔的高AB；（精确到0.1米，参考数据sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，）；
（2）“工程简介”中白塔的高度为43.6米，请结合本次测量结果，提出一条减小误差的合理化建议．
20．有一条抛物线形状的隧道，隧道的最大高度为6m，跨度为8m．把它放在如图所示的平面直角坐标系中（1个单位表示1m）．
（1）求这条的表抛物线表达式；
（2）若要在隧道壁上P点处安装一个照明灯离地面的高度为4.5m，求照明灯与点B的距离．
四．解答题(本题共3小题，共32分)
21．如图1，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，点P（x，0）是x轴上的一个动点，点C是直线l上的一个动点，且CA＝CP．△PBC与△AOB重叠部分的面积为S，S关于x的函数图象如图2所示（其中m≤x≤0，0＜x≤4时，函数的解析式不同）．
（1）填空：OA的长是_________；
（2）求S关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．
22．在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2﹣5ax+4a与x轴交于点A、B（A点在B点的左侧），与y轴负半轴交于点C．
（1）如图1，连接AC、BC，若△ABC的面积为3时，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点P为第四象限抛物线上一点，连接PC，若∠BCP=2∠ABC时，求点P的横坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F在AP上，过点P作PH⊥x轴于H点，点K在PH的延长线上，AK=KF，∠KAH=∠FKH，PF=﹣4a，连接KB并延长交抛物线于点Q，求PQ的长．
23．阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中， AD是BC边的中线，点E是AD的中点，CE的延长线交AB于点F，试判断AF与BF的数量关系．
小明探究发现，过点D作DG∥AB，交CF于点G，先证△AEF≌△DEG，再证△CGD∽△CBF，从而将问题解决．
（1）请回答：AF与BF的数量关系是__________；
参考小明思考问题的方法，解决下列问题：
（2）已知：如图2，在△BDE中，点C在EB上， DE=DC，点A在DB上，连接AC并延长交DE的延长线于点F，∠CDB=∠F，若，BC=，求EC的长；
（3）已知：如图3，在△BDE中，点C在EB延长线上，DE=DC，点A在DB的延长线上，连接AC并延长交ED的延长线于点F，∠CDB=∠F，若 ，求BC和EB关系（用含的式子表示）.2024—2025学年度第一学期阶段测试试题
九年级数学参考答案
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．A． 2．C． 3． A． 4． A． 5． C． 6． B． 7. A． 8．B．9. C． 10．D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．a=-2． 12．． 13.. 14．7或25． 15..
三．解答题(本题共5小题，共43分)
16．解：（1）设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝，
∵图象过点（1.6，60）
∴k＝96
即P＝--------------------------3分
（2）当V＝2m3时，P＝48（kPa）；--------------------------6分
（3）当P＞120KPa时，气球将爆炸，
∴P≤120，即≤120，
∴V≥0.8．
∴气球的体积应大于等于0.8 m3．--------------------------9分
17．解：设页边距为x cm，
由题意得：（16﹣2x）（10﹣2x）＝16×10×70%，--------------------------4分
整理得：x2﹣13x+12＝0，
解得：x1＝1，x2＝12（不合题意，舍去），--------------------------7分
答：需设置页边距为1cm．
18．解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵F为AC中点，O为AB中点，
∴OF∥BC且，
∵OF＝1，
∴BC＝2OF＝2，
∵弦CD⊥AB于点E，
∴＝，
∴BD＝BC＝2；--------------------------3分
（2）①∵弦CD⊥AB于点E，
∴BE⊥CD，CD＝2DE，
∵∠D＝30°，BD＝2，
∴BE＝1，，
∴．
故答案为：；-------------------------4分
②连接OC，
∵∠CAB＝∠D＝30°，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴∠AOC＝120°．
在Rt△ABC，
∵∠ACB＝90°，BC＝2，∠CAB＝30°，
∴AB＝2BC＝4，，
∴的长＝，
阴影部分的周长＝，
阴影部分的面积＝．--------------------------8分
19．解：（1）由题意得，CE＝26米，∠1＝40°，∠2＝60°，
设AM为a米，则AB＝（a+1.5）米，
在Rt△AEM中，tan2＝，
即≈1.73，--------------------------3分
解得ME＝，--------------------------4分
在Rt△ACM中，tan1＝，
即≈0.84，--------------------------6分
解得ME＝，
∴＝，
解得a≈42.5，--------------------------8分
∴AB＝a+1.5≈44．
答：白塔的高AB约为44米．--------------------------9分
（2）测量过程中，测角仪的精确度不够高，计算过程有误差等（答案不唯一，合理即可），进行多次测量求其平均数即可减小误差．
20．解：（1）由图象可知抛物线的顶点是（0，0），设抛物线所对应的函数关系为y＝ax2，
∵点A（﹣4，﹣6）或B（4，﹣6）在抛物线上，
∴﹣6＝a （﹣4）2，
解得a＝﹣，
∴抛物线的函数关系式为y＝﹣x2；-------------------------3分
（2）∵要在隧道壁上点P处安装一盖照明灯离地面的高度为4.5m，
∴P的纵坐标是﹣6+4.5＝﹣1.5，
在y＝﹣x2中，令y＝﹣1.5得：
﹣1.5＝﹣x2，
解得x＝2或x＝﹣2，
∴P（﹣2，﹣1.5）或（2，﹣1.5），
∴PB＝＝7.5或＝，
∴照明灯与点B的距离是7.5m或m．--------------------------8分
四．解答题(本题共3小题，共32分)
21. 解：（1）4；………………………………………………………………1分
（2）由题意知，当点P与点O重合时（如图1），
∵PC=AC．∴∠CPA=∠PAC．
∵∠CPA+∠CPB=∠PAC+∠ABP=90°，
∴∠CPB=∠ABP，∴PC=AC =BC
∴，∴
OB=2……………………………………………………………………………3分
当点C与点B重合时（如图2）
∵PB=AB，BO⊥AP，∴PO=OA=4，m=-4………………………………4分
当-4≤x≤0时（如图3）．设PC与OB分别相交于点D． 过点C作CE⊥AP于点E
则∠BOA=∠CEA=90°， ∠BAO=∠BAO，
∴△ACE∽△ABO．∴
∵AP=4-x，OP=-x，AE=，CE=
∵∠POD=∠BOA=90°，∠DPO=∠BA，∴△POD∽△BOA．
即．∴
………… 6分
当0
∴……………………………………………………………8分
22.解：（1）当y=0时，ax2﹣5ax+4a=0，解得x1=1，x2=4，则A（1，0），B（4，0），........1分
∴AB=3，
∵△ABC的面积为3，
∴ 4 OC=3，解得OC=2，则C（0，﹣2），...........2分
把C（0，﹣2）代入y=ax2﹣5ax+4a得4a=﹣2，解得a=﹣，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2；...................3分
（2）过点P作PH⊥x轴于H，作CD⊥PH于点H，如图2，设P（x，ax2﹣5ax+4a），则PD=4a﹣（ax2﹣5ax+4a）=﹣ax2+5ax，.....................5分
∵AB∥CD，
∴∠ABC=∠BCD，
∵∠BCP=2∠ABC，
∴∠PCD=∠ABC，
∴Rt△PCD∽Rt△CBO，......................6分
∴PD：OC=CD：OB，
即（﹣ax2+5ax）：（﹣4a）=x：4，解得x1=0，x2=6，
∴点P的横坐标为6；..............................7分
（3）过点F作FG⊥PK于点G，如图3，
∵AK=FK，
∴∠KAF=∠KFA，
而∠KAF=∠KAH+∠PAH，∠KFA=∠PKF+∠KPF，
∵∠KAH=∠FKP，
∴∠HAP=∠KPA，.....................8分
∴HA=HP，
∴△AHP为等腰直角三角形，
∵P（6，10a），
∴﹣10a=6﹣1，解得a=﹣，..................9分
在Rt△PFG中，∵PF=﹣4a=2，∠FPG=45°，
∴FG=PG=PF=2，
在△AKH和△KFG中
，
∴△AKH≌△KFG，
∴KH=FG=2，
∴K（6，2），................................10分
设直线KB的解析式为y=mx+n，
把K（6，2），B（4，0）代入得，
解得，
∴直线KB的解析式为y=x﹣4，
当a=﹣时，抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2，................11分
解方程组，
解得或，
∴Q（﹣1，﹣5），
而P（6，﹣5），
∴PQ∥x 轴，
∴QP=7...........................................12分
23．（1）BF=2AF------------------------------------------------------------------2分
（2）过点E作EH∥AF交AD于点H，如图
∴∠CAD=∠DHE
∠F=∠DEH
∵∠F=∠CDB
∴∠DEH=∠CDB-----------------------------------------------------------------3分
在△DEH和△CDA中
∴△DEH≌△CDA
∴DH=AC----------------------------------------------------------------------4分
∵EH∥AC
∴∠ACB=∠HEB
∵DE=DC
∴∠DEC=∠DCE
∵∠DEC=∠DEH+∠HEB
∠DCE=∠CDA+∠B
∴∠B=∠HEB
∴∠B=∠ACB
∴AC=AB-----------------------------------------------------------------------------5分
∵EH∥AF
∴==
∴=------------------------------------------------------------6分
∵AC∥EH
∴==
∴CE=--------------------------------------------------------------------7分
（3）过点E作EH∥AF，交AD的延长线于点H，如图
∴∠A=∠H，∠F=∠DEH
∵∠F=∠CDB
∴∠CDA=∠DEH----------------------------------------------------------------8分
在△CDA和△DEH中
∴△CDA≌△DEH
∴AC=DH------------------------------------------------------------------------9分
∵EH∥AF
∴==k
∴=k
∵EH∥AF
∴∠HEC=∠ACB
∵DC=DE
∴∠DEC=∠DCE
∵∠HEB=∠DEH+∠DEC
∠DBE=∠CDA+∠DCE
∴∠HEB=∠HBE
∵∠HBE=∠ABC
∴∠ABC=∠ACB
∴AC=AB-----------------------------------------------------------------------------10分
∴=k
∴AB=kAH
∴AB=k(AB+BH)
∴AB=kAB+kBH
∴(1－k)AB=kBH
∴=--------------------------------------------------11分
∵AC∥EF
∴==--------------------------------------------------------------12分
