则有子2，
“⊙0的半径为5.
0+沙-25
数学
6
1+x-经
其中有一根为2，则5子-1
22.
参考答案：
.(1)证明：：AC平分∠DAB,
题1
2
3
456
8
9
10
号
解得：
,-259%，无-
9(不符合题意·
即：m=3,方程的另一根为-1.
∴∠DAC-∠CAB,
21.
:∠ADC=∠ACB-90°，
答BC
D
B
B
舍去).
'.△ADC△ACB,
【详解】(1)解：证明：连接OP,如图，
.AD AC=AC AB
答：二、三这两个月的销售里月平均增长率
.AC2=AB·AD
PD是⊙0的切线，
113
12.-5
1
为259%1
(2)证明：：E为AB的中点，
13.
(2)解：设该商品售价定为y元，则每件
∴OP⊥PD·
∴CE=2AB=AB,
14.12
15.65°/65度
的销售利润为心一60)元，当月的销售里为
PD⊥BC,
∠EAC=∠ECA,
16:2会
∠DAC=∠CAB,
100+10×80-2-00-10)f件，
.OP∥BC,
17.(1)解：
1
依题意得：0-60900-10)=2160，
∠OP4=∠c,
2sin30°+4cos30°.tan60°-cos2450,
OA=OP
∠DAC=∠ECA,
29-
整理得：y2-150y+5616=0,
∴.CE∥AD.
.∠OPA=∠4，
解得：=2，=78，
(3)解：CE∥AD,
-1+6-月
∠A=∠Ci
△AFD∽△CFE,
又~要尽可能让利顾客，赢得市场，
(2)连接PB,如图2，
.AD CE=AF:CF,
=65或分数形式
y-72,
CE-7AB.
1
(2)解：
即该商品售价定为72元时，商场当月获利
反-(3.14-x°-3tm60°+h-+(-2)
2160元，
Ce-音x6=,
20.
-251-35+5-1+号
AD=4,
【详解】(1》已知关于x的一元二次方程
4AF
x2+(2-m)x+1-m-0,
图2
AC 7
18.(1)x=2+万，为=2-万
在R△PBD中，PD=2BD=4,
@=1-号
△-(2-m)-4(1-m)=4-4m+m2-4+4m=m2≥0
PB=+4=25,
19.(1)259%6
“该方程总有两个实数根·
B为直径，
2)72元
(2)将x=2代入原方程得，
∠4P8=90°，
【详解】《1)解：设二、三这两个月的销售
4+2(2-m)+1-m=0,
:BDP=BPC,DBP=∠PBC,
里月平均增长宰为x,
解得册-3，
△BDPn△BPC,
依题意得64(1+x)=100,
当m-3时，
BP:BC-BD:BP，即25：BC=2:25,
原方程化为，xX2-x-2-0:
解得BC-10,
∠4=∠C2024-2025 学年度九年级上册数学第二次月考试卷
一、单选题（每题 3 分，共 30 分）
1．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A．3x3 x 2 B． x2 x 2 0
1
C．ax2 bx c 0（ a，b 2， c为常数） D． x 1x 第 6题图 第 7题图 第 8题图
2．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第 1个小孔成倒像的实验．并在《墨
A．30 B．36 C．60 D．72
经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，
7．如图，在 ABC中，点D在 BC边上，连接 ，点G在线段 上，GE∥BD且交 于点 E，
若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（ ） S 4
GF∥AC，且交 F AEG于点 ，若 S 9， AC 9，则GF的长为( ) ABD
9
A．2 B．3 C． D．6
2
8．如图， ABC的内切圆 O与BC，CA， AB分别相切于点 D，E，F，且CD 2， AB 7，
则△ABC的周长为（ ）
第 2题图 第 4题图 A．18 B．16 C．14 D．12
9 16
A． B．6 C． D．8 9．鸳鸯玉，是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，
2 3
质地细腻坚韧，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高级饰面之理想材料．如图是一个
3．下列语句中，正确的有（ ）
半径为3cm的半圆形的鹄韬玉石， AB是半圆O的直径，C，D是弧上两点．若 ADC 130 ，
A．相等的圆心角所对的弧相等 B．平分弦的直径垂直于弦；
张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块玉石的面积是（ ）
C．长度相等的两条弧是等弧 D．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．
4．如图，点 D，E分别在△ABC的 AB，AC边上，增加下列条件中的一个：①∠AED＝∠B，
AE DE AD AE
②∠ADE＝∠C，③ ，④ ，使△ADE与△ACB一定相似的有（ ）
AB BC AC AB 9题图
A．①②④ B．②④ C．①②③④ D．①②③ 10题图
5．用配方法解方程 x2 6x 5 0时，配方结果正确的是（ ）
A x 3 2 3． 4 B． x 6 2 5 9 41 C． x 3 2 14 D． x 3 2 14 A． πcm2 B 2πcm2 C πcm2． ． D πcm2．2 2 2
6．如图，正五边形 ABCDE内接于⊙O， P为D E上的一点（点 P不与点D重合），则 CPD的 10．如图，△ABC中，∠ACB=90° ∠B＝30°，AC＝1，过点 C作 CD1⊥AB于 D1,过点 D1作 D1D2
度数为（ ）
⊥BC于 D2,过点 D2作 D2D3⊥AB于 D3,这样继续作下去,线段 DnDn+1(n为正整数)等于( )
+1 +1 +1
A． 1（ ） B． 3（ ） C． 3（ ） D． 3
2 2 2 （ ）2
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{#{QQABBQQUogggAgAAARgCQw0gCEAQkgGAAYgGRAAIMAIAiRFABAA=}#}
二、填空题（每题 3 分，共 18 分） 12 3.14 π 0（2） 3 tan 60 1 3 2 2 ；
11.如果关于 x的一元二次方程 m 3 x2 3x m2 9 0，有一个解是 0，那么 m的值是 .
x x
12．设 x1， x2是方程 x2
2 1
3x 3 0的两个实数根，则 x x 的值为 ．1 2
13．如图，在正方形网格中，点 A，B，C在⊙O上，并且都是小正方形的顶点，P是 A CB上
任意一点，则∠P的正切值为 ．
18．解方程：
(1) x2 4x 2 0； (2)3 x 1 2x x 1 ．
第 13题图 第 14题图 第 15题图
14．如图所示，某拦水大坝的横断面为梯形 ABCD， AE、DF为梯形的高，其中迎水坡 AB的
坡角 45 ，坡长 AB 6 2 米，背水坡CD的坡度 i 1： 3（ i为DF与 FC的比值），则背水 19．某商场于今年年初以每件 60元的进价购进一批商品．当商品售价为每件 80元时，一月份
坡CD的坡长为 米．
销售 64件，二、三月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，三月底的销
15．已知 P为平面上一点，O是△ABC的内心，也是 BCP的外心， BAC 80 ．则 BPC的
售量达到 100件，设二、三这两个月的销售量月平均增长率不变．
度数为 ．
(1)求第二、三这两个月的销售量月平均增长率；
16．在Rt△ABC中， C 90 ，AC 16cm，BC 12cm．现有动点 P从点 A出发，沿线段 AC
(2)从四月份起，在三月份销量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，该商品每降价 1元，
向点 C方向运动，动点 Q从点 C出发，沿线段CB向点 B方向运动．如果点 P的速度是 4cm/s，
销售量增加 10件．为尽可能让利顾客，赢得市场，问：该商品售价定为多少时，商场当月获
点 Q的速度是3cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动，设运动
利 2160元？
的时间为 ts．当 t 秒时，以 C、P、Q为顶点的三角形与V ABC相似？
三、解答题
17．计算：
(1)2sin30 4cos30 tan60 cos245 ．
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20 x 2．已知关于 的一元二次方程 x 2 m x 1 m 0． 22．如图，在四边形 ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为 AB的中点．
(1)求证：方程总有两个实数根．
(2)当该方程的一个根为 2时，求m的值及该方程的另一个根．
(1)求证：AC2=AB AD；
(2)求证：CE∥AD．
21．如图 1，独轮车俗称“手推车”，又名辇、鹿车等，是交通运输工具史上的一项重要发明， (3)若 AD=4，AB=6,求
至今在我国农村和一些边远地区仍然广泛使用．如图 2所示为从独轮车中抽象出来的几何模
型．在△ABC中，以△ABC的边 AB为直径作 O，交 AC于点 P，PD是 O的切线，且 PD BC，
垂足为点 D．
(1)求证： A C ；
(2)若 PD 2BD 4，求 O的半径．
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23．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD 3m．数学活动课上，小明和小红 24．【初步感知】
要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高 AE BF 1.2m，小明在 E处测得标语牌 如图 1，点A， B， P均在 O上，若 AOB 90 ，则锐角 APB的大小为____ ；
底部点D的仰角为31 ，小红在F 处测得标语牌顶部点C的仰角为 45 ，AB 5m，依据他们测 【深入探究】
量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH 的长？若能，请计算；若不能，请说明理 如图 2，小聪遇到这样一个问题： O是等边三角形 ABC的外接圆，点 P在 AC上（点 P不与
由（图中点A， B，C，D， E， F ， H 在同一平面内）
点 A,C重合），连接 PA，PB，PC．求证：PB PA PC；小聪发现，延长 PA至点 E，使 AE PC，
（参考数据： tan 31 0.60， sin 31 ≈0.52， cos31 0.86)
连接 BE，通过证明 PBC≌ EBA．可推得△PBE是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分
析思路完成证明过程．
【启发应用】
如图 3， O是△ABC的外接圆， ABC 90 ，AB BC，点 P在 O上，且点 P与点 B在 AC
PB
的两侧，连接 PA， PB， PC，若 PB 2 2PA，则 的值为多少？PC
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