2024-2025学年第一学期人教版七年级期末数学培优卷（含解答）
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1 . 七年级（1）班知识竞赛的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，
小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．84 B．73 C．80 D．77
2 . 截至2024年7月末，中国已累计建成了个5G基站，
数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．
4 . 若与是同类项，则的值是（ ）
A. B. C. 8 D. 9
5 . 在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是-9，4，如图，以点C为折点，
将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB=1，则C点表示的数是（ ）
A．-2 B．-2.5 C．0 D．1
6 . 如图，点为线段上一点，，是线段中点，，
为线段的中点，则（ ）
A．2 B．1 C．1.5 D．3
7. 有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：
①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
8 . 某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，
若按成本计，其中一件盈利25％，另一件亏本25％，在这次买卖中他（ ）
A．不赚不赔 B．赚9元 C．赔18元 D．赚18元
如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：
①当时，； ②为的平分线；
③若时，； ④． 其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
如图所示，第1个图中将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线；
第2个图中，将第一个图中的右下方正方形继续按第一个图的方式进行操作，…，
按此规律操作下去，则第（为正整数）个图形中正方形的个数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分共18分．请将答案直接填在题中的横线上．
11 . 比较大小： （“＞”，“＜”或“＝”）．
12 . 已知，如图，则 度．
设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad-bc，
则满足等式 =1的x的值为 .
如图，长度为12cm的线段AB的中点是点M，点C在线段MB上，且，
则线段AC的长为 ．
如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．
若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．
已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，
则线段的长是 ．
16 . 为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示，按照这样的规律，
摆第n个图，需用火柴棒的根数为_______________．
三、解答题：本大题共8小题，共52分．
17．计算：
(1)；
(2)．
18 . 如图，直线、相交于O，，是的角平分线，，
求的度数．
19．已知：，．
(1)化简：；
(2)若，求的值．
20．解方程
(1)
(2)
如图，点E是线段的中点，C是上一点，且，．
(1)求的长；
(2)若F为的中点，求长．
22 . 某社区超市用1131元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，
甲、乙这天每千克的批发价与零售价如下表所示：
商品名 甲 乙
批发价（元／千克） 12
零售价（元／千克） 15 20
该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克？
(2) 该社区超市当天卖完这两种商品一共可以获得多少元的利润？
(3) 如果当天两种商品总数卖去一半后，剩下的按各自的零售价打八折出售，
最终当天全部卖完后共获得450元利润，求打折后卖出的甲商品和乙商品各有多少千克？
23 .已知数轴上三点对应的数分别为 -2 , 0 , 5，点为数轴上任意点，其对应的数为．
的长为___________；
(2) 如果点到点、点的距离相等，那么的值是：___________；
(3) 如果点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动，
同时点和点分别以每分钟个单位长度和每分钟个单位长度的速度也向左运动．
设分钟时点到点、点的距离相等，求的值．
24 . 已知直线过点O，，是的平分线．
（1）操作发现：
①如图 1，若，则 °．
②如图1，若，则 °．
③如图1，若，则 ．（用含α的代数式表示）
（2）操作探究：
将图 1 中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，
其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．
（3）如图3，已知，边、边分别绕着点O以每秒、每秒的速度顺时针旋转
（当其中一边与重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，
2024-2025学年第一学期人教版七年级期末数学培优卷解答
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．
1 . 七年级（1）班知识竞赛的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，
小英的成绩记作分，表示得了（ ）分．
A．84 B．73 C．80 D．77
【答案】D
【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，根据题意可知标准分为83分，超出标准的为正，低于标准的为负，则用即可得到答案．
【详解】解：∵竞赛的平均成绩是83分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，
∴小英得了：，
故选：D
2 . 截至2024年7月末，中国已累计建成了个5G基站，
数据用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：C．
3 .若是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．1 D．
【答案】C
【分析】把代入，然后解关于a的方程即可．
【详解】把代入，得
，
∴，
∴．
故选C．
4 . 若与是同类项，则的值是（ ）
A. B. C. 8 D. 9
【答案】A
【解析】
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同即可求解．
【详解】解：∵与是同类项，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
5 . 在一条可以折叠的数轴上，A，B表示的数分别是-9，4，如图，以点C为折点，
将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB=1，则C点表示的数是（ ）
A．-2 B．-2.5 C．0 D．1
【答案】A
【分析】设点C表示的数是x，利用AB=AC-BC=1，列出方程解答即可．
【详解】解：设点C表示的数是x，
则AC=x-（-9）=x+9，BC=4-x，
∵AB=1，
即AC-BC=x+9-（4-x）=2x+5=1，
解得：x=-2，
∴点C表示的数是-2．
故选A．
6 . 如图，点为线段上一点，，是线段中点，，
为线段的中点，则（ ）
A．2 B．1 C．1.5 D．3
【答案】B
【分析】首先根据题意容易得到MC、AC的长度，再结合AC-BC=4可得BC的长度；再由MB=MC+BC,结合N为线段MB的中点可得MN的长度，再由CN=MN-MC即可解答本题．
【详解】解：∵点M为AC的中点，
∴
∴AC=12，
∵，
∴
∴
又点N为BM的中点，
∴
∴
故选：B
7. 有理数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，对于下列四个结论：
①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【分析】根据数轴可得，，然后利用有理数运算法则逐个判断即可.
【详解】解：由数轴得：，，
∴，，，
∴正确的是①②③，④错误，
故选B.
8 . 某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，
若按成本计，其中一件盈利25％，另一件亏本25％，在这次买卖中他（ ）
A．不赚不赔 B．赚9元 C．赔18元 D．赚18元
【答案】C
【分析】要知道赔赚，就要先算出两件衣服的原价，要算出原价就要先设出未知数，然后根据题中的等量关系列方程求解．
【详解】解：设在这次买卖中第一件的原价是元，
则可列方程：，
解得：，
比较可知，第一件赚了27元，
设第二件的原价为y元，则可列方程：，
解得：，
比较可知亏了45元，
两件相比则一共亏了18元．
故选：C．
9 . 如图，直线，相交于点，，，平分，给出下列结论：
①当时，； ②为的平分线；
③若时，； ④． 其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由邻补角，角平分线的定义，余角的性质进行依次判断即可．
【详解】解：∵∠AOE=90°，∠DOF=90°，
∴∠BOE=90°=∠AOE=∠DOF，
∴∠AOF+∠EOF=90°，∠EOF+∠EOD=90°，∠EOD+∠BOD=90°，
∴∠EOF=∠BOD，∠AOF=∠DOE，
∴当∠AOF=50°时，∠DOE=50°；
故①正确；
∵OB平分∠DOG，
∴∠BOD=∠BOG，
∴∠BOD=∠BOG=∠EOF=∠AOC，
故④正确；
∵，
∴∠BOD=180°-150°=30°，
∴
故③正确；
若为的平分线，则∠DOE=∠DOG，
∴∠BOG+∠BOD=90°-∠EOE，
∴∠EOF=30°，而无法确定，
∴无法说明②的正确性；
故选：B．
10 . 如图，第1个图中将正方形取上下对边中点连线后，再取右侧长方形的长边中点连线；
第2个图中，将第一个图中的右下方正方形继续按第一个图的方式进行操作，…，
按此规律操作下去，则第（为正整数）个图形中正方形的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由第1个图形中正方形的个数3＝2×1＋1，第2个图形中正方形的个数5＝2×2＋1，第3个图形中正方形的个数7＝2×3＋1，……据此可得．
【详解】解：∵第1个图形中正方形的个数3＝2×1＋1，
第2个图形中正方形的个数5＝2×2＋1，
第3个图形中正方形的个数7＝2×3＋1，
……，
∴第个图形中正方形的个数为，
故选：D．
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分共18分．请将答案直接填在题中的横线上．
11 . 比较大小： （“＞”，“＜”或“＝”）．
【答案】
【分析】根据有理数的大小比较法则：若是两个负数，先比较绝对值，再比较原数的大小；若是两个正数，绝对值大的数就大；一个正数一个负数，正数大于一切负数，结合选项选出正确答案即可．
【详解】解：，
．
故答案为：．
12 . 已知，如图，则 度．
【答案】140
【分析】利用角的和差关系先求出，，再利用角的和差关系求出的度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴．
故答案为：140．
13 . 设a，b，c，d为实数，现规定一种新的运算=ad-bc，
则满足等式 =1的x的值为 .
【答案】-10
【详解】试题分析：根据题中的新定义化简已知方程，求出方程的解即可得到x的值．
试题解析：根据题中的新定义得：
去分母得：3x-4x-4=6，
移项合并得：-x=10，
解得：x=-10
14 . 如图，长度为12cm的线段AB的中点是点M，点C在线段MB上，且，
则线段AC的长为 ．
【答案】8cm/8厘米
【分析】先由中点的定义求出AM，BM的长，再根据MC：CB=1：2的关系，求MC的长，最后利用AC=AM+MC得其长度．
【详解】解：∵线段AB的中点为M，
∴AM=BM=6cm，
设MC=x，则CB=2x，
∴x+2x=6，解得x=2，
即MC=2cm，
∴AC=AM+MC=6+2=8（cm）．
15 .如图，有公共端点P的两条线段组成一条折线．
若该折线上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫作这条折线的“折中点”．
已知点D是折线的“折中点”，点E为线段的中点，，，
则线段的长是 ．
【答案】20或4
【分析】本题考查与线段的中点有关的计算，分点在线段上，点在线段上，两种情况进行讨论求解即可．
【详解】解：当点在线段上时，如图：
由题意，得：，
∴，
∴；
当点在线段上时，如图：
则，
∵，
∴，
∴；
故答案为：20或4．
16 . 为庆祝“六一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示，按照这样的规律，
摆第n个图，需用火柴棒的根数为_______________．
【答案】6n+2
【解析】
【详解】寻找规律：不难发现，后一个图形比前一个图形多6根火柴棒，即：
第1个图形有8根火柴棒，
第2个图形有14＝6×1＋8根火柴棒，
第3个图形有20＝6×2＋8根火柴棒，
……，
第n个图形有（6n+2）根火柴棒．
故答案为：6n+2．
三、解答题：本大题共8小题，共52分．
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)24
(2)47
【分析】（1）利用有理数乘法分配律计算，即可求解；
（2）先计算乘方，再计算乘除，然后计算减法，即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
18 . 如图，直线、相交于O，，是的角平分线，，
求的度数．
【答案】
【分析】利用角的和差关系和角平分线定义可得的度数，然后计算出的度数，再根据对顶角相等可得的度数．
【详解】解：∵，
，
∵，
，
又平分，
，
，
，
则．
19．已知：，．
(1)化简：；
(2)若，求的值．
【答案】(1)
(2)59
【分析】本题主要考查了整式加减运算，非负数的性质，代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．
（1）根据去括号，合并同类项法则进行计算即可；
（2）根据非负数的性质得出，，然后代入求值即可．
【详解】（1）解:∵，，
∴
；
（2）解：∵，
∴，，
∴，，
∴
.
20．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤——去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，并针对方程的特点灵活应用是解题的关键．
（1）通过移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，即可得出答案．
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤逐步求解，即可得出答案．
【详解】（1）解：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
（2），
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
21 .如图，点E是线段的中点，C是上一点，且，．
(1)求的长；
(2)若F为的中点，求长．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了线段的中点以及线段的和差计算，找出线段之间的数量关系是解题关键
（1）设的长为，则，再根据线段中点，得出，根据，求出的值，即可得出的长；
（2）由（1）可得，，进而得到，即可求出长．
【详解】（1）解：设的长为，
，
，
，
点E是线段的中点，
，
，
，
，即，
；
（2）解：，，
，
为线段的中点，
，
22 . 某社区超市用1131元钱从批发商处购进了甲、乙两种商品共100千克，
甲、乙这天每千克的批发价与零售价如下表所示：
商品名 甲 乙
批发价（元／千克） 12
零售价（元／千克） 15 20
该社区超市这天批发甲商品和乙商品各多少千克？
(2) 该社区超市当天卖完这两种商品一共可以获得多少元的利润？
(3) 如果当天两种商品总数卖去一半后，剩下的按各自的零售价打八折出售，
最终当天全部卖完后共获得450元利润，求打折后卖出的甲商品和乙商品各有多少千克？
【答案】(1)批发甲商品46千克，乙商品54千克
(2)639元
(3)打折后卖出的甲商品11千克，乙商品39千克
【分析】（1）设批发甲商品x千克，根据总进货价为1131元列出方程，解之即可；
（2）当天赚的钱甲商品的零售价批发价甲商品的重量乙商品的零售价批发价乙商品重量，据此计算即可；
（3）设打折后卖出的甲商品m千克，根据打折前和打折后的利润之和为450元列出方程，解之可得结果．
【详解】（1）解：设批发甲商品x千克，
由题意可得：，
解得：，
∴，
∴批发甲商品46千克，乙商品54千克；
（2）元，
∴一共可以获得639元的利润；
（3）（千克），
设打折后卖出的甲商品m千克，则乙商品千克，
由题意可得：
，
解得：，
∴（千克）．
∴打折后卖出的甲商品11千克，乙商品39千克．
23 .已知数轴上三点对应的数分别为 -2 , 0 , 5，点为数轴上任意点，其对应的数为．
的长为___________；
(2) 如果点到点、点的距离相等，那么的值是：___________；
(3) 如果点以每分钟个单位长度的速度从点向左运动，
同时点和点分别以每分钟个单位长度和每分钟个单位长度的速度也向左运动．
设分钟时点到点、点的距离相等，求的值．
【答案】(1)7
(2)1.5
(3)3或
【分析】（1）的长为，即可解答；
（2）根据题意列出关于的方程，求出方程的解即可得到的值；
（3）分别根据①当点和点在点同侧时；②当点和点在点异侧时，进行解答即可．
【详解】（1）解：的长为，
故答案为：；
（2）解：根据题意得：，
解得：；
故答案为：；
（3）解：设运动秒时，点到点，点的距离相等，即．
点对应的数是，点对应的数是，点对应的数是．
①当点和点在点同侧时，点和点重合，
所以．
解得，符合题意．
②当点和点在点异侧时，点位于点的左侧，点位于点的右侧
（因为三个点都向左运动，出发时点在点左侧，且点运动的速度等于点的速度，所以），
故，
∴或，
∴或，
综上所述，的值为3或
24 . 已知直线过点O，，是的平分线．
（1）操作发现：
①如图 1，若，则 °．
②如图1，若，则 °．
③如图1，若，则 ．（用含α的代数式表示）
（2）操作探究：
将图 1 中的绕顶点O顺时针旋转到图2的位置，
其他条件不变，③中的结论是否成立？试说明理由．
（3）如图3，已知，边、边分别绕着点O以每秒、每秒的速度顺时针旋转
（当其中一边与重合时都停止旋转），求：运动多少秒后，
【答案】(1)①；②；③
(2)成立；理由见详解
(3)或
【分析】（1）①②③如图1，根据平角的定义和角平分线的定义，求出，利用角的差可得结论；
（2）由，可得，则，根据平分，可得；所以．
（3）设t秒后，可得或，即可解得或；
【详解】（1）∵，
∴，
∵OE平分，
∴，
∴，
故答案为：；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：；
③，
∴，
∴，
∵平分，
∴；
∴．
故答案为．
（2）成立，理由如下：
设，
∴，
∵平分，
∴；
∴．
∴③中所求出的结论还成立．
（3）设t秒后，
根据题意得：可得或，
解得或，
经检验，或均符合题意，
答：运动或秒后，；
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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