天津市杨柳青一中 2024-2025 学年高二上学期 12 月月考数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1
1.抛物线 = 2的焦点坐标是( )
4
1 1
A. ( , 0) B. (0, ) C. (0,1) D. (1,0)
16 16
2 2
2.已知双曲线 = 1，则该双曲线的渐近线方程为( )
2 4
√ 2
A. = ± B. = ±2 C. = ± D. = ±√ 2
2
3.已知数列1，√ 3，√ 5，√ 7，3，…，√ 2 1，…，则该数列的第25项是( )
A. 7 B. 2√ 6 C. 5√ 2 D. 5
2 2 2√ 5 2 2
4.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线方程为 = ，且与椭圆 + = 1有公共焦点， 5 15 6
则 的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. = 1 B. = 1 C. = 1 D. = 1
8 10 4 5 5 4 4 3
5.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， ( 0, 2)是抛物线 上一点，且点 到 的距离为3，则该抛物
线的焦点坐标为( )
A. (0, 1) B. (0,1) C. (1,0) D. ( 1,0)
6.在2和8之间插入3个实数 ， ， 使得2， ， ， ，8成等比数列，则 的值为( )
A. 4 B. 4或4 C. 4 D. 5
7.已知圆 ：( + 1)2 + 21 = 25，圆 2：( 1)
2 + 2 = 1，动圆 与圆 2外切，同时与圆 1内切，则动圆
圆心 的轨迹方程为( )
2 2 2 2 2 2
A. + 2
= 1 B. + = 1 C. + 2 = 1 D. + = 1
3 3 2 9 9 8
8.已知等差数列{ }， 2 = 3， 5 = 9，则数列{
2
+ 2 }的前 项和为( )
2
A. =
2 + 2 + (4 1) B. = 2 + 2 1 3
C. = 2
2
+ (2
4
1) D. =
2 + (4 1) 3 3
2 2
9.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，过点 1的直线交 的左支于 ， 两
3
点，若| 1|，| 2|，| 2|成等差数列，且cos∠ 2 = ，则 的离心率是( ) 5
√ 10 3 5 √ 5
A. B. C. D.
2 2 2 2
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二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
10.数列{ }的前 项和为 =
2 + 3 ， ∈ +，则它的通项公式为______．
11.已知圆 ： 21 +
2 = 10与圆 2：
2 + 2 + 2 + 2 14 = 0相交，则两个圆的公共弦方程为______，
则两圆的公共弦长为______．
12.在平面直角坐标系 中，已知点 (2,2)，记抛物线 ： 2 = 4 上的动点 到准线的距离为 ，则 | |
的最大值为______．
13.已知直线 ： + 2 = 0恒过点 ， 为坐标原点.点 的坐标为______；当点 到直线 的距离最大
的，直线 的方程为______．
14.已知圆 的圆心与抛物线 2 = 8 的焦点关于直线 = 对称，直线2 3 = 0与圆 相交于 ， 两点，
且| | = 2√ 3，则圆 的方程为______．
15.某个软件公司对软件进行升级，将序列 = ( 1, 2, 3, … )升级为新序列 = ( 2 1, 3 2, 4
3, … )， 中的第 项为 +1 ，若( ) 的所有项都是3，且 4 = 11， 5 = 18，则 1 = ______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题13分)
为等差数列{ }的前 项和，已知 7 = 1， 4 = 32．
(1)求数列{ }的通项公式．
(2)求 ，并求 的最小值．
17.(本小题15分)
在如图所示的多面体中， ⊥平面 ， ⊥平面 ， ⊥ ，且 = = = 2 = 2， 是
的中点．
(1)求证： ⊥ ；
(Ⅱ)求平面 与平面 所成的二面角的正弦值；
(Ⅲ)在棱 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成的角是60°，若存在，指出点 的位置；若不存
在，请说明理由．
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18.(本小题15分)
已知过点( √ 2,√ 2)的双曲线 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是√ 2 + = 0．
(1)求双曲线 的方程；
(2)若直线 + = 0与双曲线 交于不同的两点 ， ，线段 的中点在圆 2 + 2 = 5上，求实数 的
值．
19.(本小题15分)
已知等差数列{ }与正项等比数列{ }满足 1 = 1， 5 = 9， 1 = 2，且 2是 1 + 1和 3 3的等差中项．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
1
(2)求数列{ }的前 项和 ；
+1
1
(3)设 = (
2
2
+ 1) ，记{ }的前 项和 .若 ( 1) + 2 ≤ 对于 ≥ 2且 ∈ 恒成立，求实数 的取
值范围．
20.(本小题17分)
2 2 1
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率 = ，左顶点为 ( 4,0)，过点 作斜率为 ( ≠ 0)的直线 交 2
椭圆 于点 ，交 轴于点 . 点为坐标原点．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)已知 为 的中点，是否存在定点 ，对于任意的 ( ≠ 0)都有 ⊥ ，若存在，求出点 的坐标；若
不存在说明理由；
| |
(Ⅲ)若过 点作直线 的平行线交椭圆 于点 ，求 的最大值．
| |+| |
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】 = 2 + 2
11.【答案】 + 2 = 0( 1 ≤ ≤ 3) 4√ 2
12.【答案】√ 5
13.【答案】(1,2) + 2 5 = 0
14.【答案】 2 + ( 2)2 = 8
15.【答案】8
16.【答案】解：(1) ∵ 为等差数列{ }的前 项和， 7 = 1， 4 = 32．
1 + 6 = 1
∴ { 4×3 ，
4 1 + = 322
解得 1 = 11， = 2，
∴数列{ }的通项公式 = 11 + ( 1) × 2 = 2 13．
( 1)
(2) = 11 + × 2 =
2 12 = ( 6)2 36．
2
∴ = 6时， 的最小值为 36．
17.【答案】证明：(Ⅰ) ∵ = ， 是 的中点，∴ ⊥ ，
又∵ ⊥平面 ， ⊥ ，
∵ ∩ = 点，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ ．
解：(Ⅱ)如图，以 为原点， ， 为 ， 轴，
建立如图所示的坐标系 ，
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∴ (0,0,0)， (0, √ 2, 0)， ( √ 2, 0,1)，
(√ 2, 0,0)， (√ 2, 0,2)，
= ( √ 2, 0,1)， = (0,√ 2, 0)， = ( √ 2,√ 2, 0)，
= (0,0,2)，
设平面 的法向量 = ( , , )，
= √ 2 + = 0
则{ ，取 = 1，得 ，
= (1,0,√ 2)
= √ 2 = 0
设平面 的法向量 = ( , , )，
= √ 2 + √ 2 = 0
则{ ，取 = 1，得 = (1,1,0)，
= 2 = 0
设平面 与平面 所成的二面角的平面角为 ，
| | 1 1
则| | = = = ， 1 √ 30√ ．
| | | | 3 2 6 = 1 =√ √ √ 6 6
∴平面 与平面 所成的二面角的正弦值为√ 30．
6
(Ⅲ)在棱 上存在一点 ，设 ( , , )，且 = (0 ≤ ≤ 1)，
∴ ( √ 2, , 2) = ( √ 2, √ 2, 2)，解得 = √ 2 √ 2 ，
∴ = (√ 2 √ 2 , √ 2 , 2 2 )， = √ 2 ， = 2 2 ，
∵直线 与平面 所成角为60°，
√ 2 √ 2 +√ 2(2 2 ) √ 3
∴ cos < , >= = 60° =
2 ，
√ 3 √
2 2 2
2(1 ) +2 +4(1 )
1
解得 = ，
2
∴存在点 符合条件，且 是棱 的中点．
18.【答案】解：(1)设双曲线 的方程是(√ 2 )2 2 = ( ≠ 0)，
则( √ 2 × √ 2)2 (√ 2)2 = ，解得 = 2，
2
所以双曲线 的方程是2 2 2 = 2，即 2 = 1．
2
2
(2)将 = + ，代入 2 = 1消去 ，并整理得 2 2 2 2 = 0．
2
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，线段 的中点为 ( 0, 0)，
则△= 4 2 + 4( 2 + 2) > 0， 1 + 2 = 2 ，
+
所以 0 =
1 2 = ， 0 = 2 0 + = 2 ．
因为点 ( 0,
2 2
0)在圆 + = 5上，
所以 2 + (2 )2 = 5.解得 = ±1．
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19.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，等比数列{ }的公比为 ，
则1 + 4 = 9，
解得 = 2，
所以数列{ }的通项公式为 = 2 1；
又 2是 1 + 1 和 3 3的等差中项，
则2 2 = 1 + 1 + 3 3，即2 × 3 = 1 + 2 + 3 5，
解得 23 = 8，故2 = 8，解得 = 2(负值舍去)，
所以数列{ }的通项公式为
= 2 ；
1 1 1 1 1
(2)由(1)得 = = ( )，
+1 (2 1)(2 +1) 2 2 1 2 +1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
数列{ }的前 项和 = (1 ) + ( ) + ( ) + + ( )
+1 2 3 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 +1
1 1
= (1 ) = ，
2 2 +1 2 +1
(3)由(1)知， = 2
，
所以 = 2
1 + 2 22 + 3 23 + + 2 ，
则2 = 2
2 + 2 23 + 3 24 + + 2 +1，
2 2 +1
相减可得， 2 3 = 2 + 2 + 2 + + 2
2 +1，即 +1 = 2 ， 1 2
所以 = ( 1)2
+1 + 2，
所以不等式 ( 1)2 + 2 ≤ 2 +1 ，可化为 ( 1) ≤ ( 1)2 ，
因为 ≥ 2，
2 +1
所以 ≤ ，
1
2 +1
则 ≤ ( ) ，
1
2 +2 2 +1 +1 2 1 2又 = 2 ( ) = 2 +1 ，
1 1 ( 1)
2 +2 2 +1
所以当 = 2时， = 0，
1
2 +2 2 +1
当 > 2， ∈ 时， > ，
1
2 +1
所以当 ≥ 2且 ∈ 时，( ) = 8， 1
所以 的取值范围( ∞, 8]．
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1
20.【答案】解：(Ⅰ)因为左顶点为 ( 4,0)，所以 = 4，又 = = ，所以 = 2．
2
2 2
又∵ 2 = 2 2 = 12，所以椭圆 的标准方程为 + = 1．
16 12
(Ⅱ)设直线 的方程为 = ( + 4)，化简得，
( + 4)[(4 2 + 3) + 16 2 12)] = 0，
2 24
∴ = 4
12 16
， = ， = ( + 4) = 2， 2
3+4 3+4
2
16 12
∵点 为 的中点，∴ 的坐标为( 2 , 2).
3+4 3+4
3
则 = ，直线 的方程为 = ( + 4)，令 = 0， 4
得 点坐标为(0,4 )，
假设存在定点 ( , )( ≠ 0)，使得 ⊥ ，
则 = 1
3 4
，即 = 1恒成立，
4
∴ (4 + 12) 3 = 0恒成立，∴ = 3， = 0．
∴定点 的坐标为( 3,0)．
(Ⅲ) ∵ // ，∴ 的方程可设为 = ，
= 4√ 3
联立{ = ±
3 2 + 4 2
得 点的横坐标为 ，
= 48 √ 2 3+4
| | | | √ 3
√ 4 2 + 3 √ 3 √ 4 2 + 3
∴ = = =
| | + | | | 2 | + | | 4 + 9 4 2 + 3 + 6
√ 3 √ 3 √ 2
= ≤ =
2 6 2√ 6 4√ 4 +3+ ，
√ 2 4 +3
2 6
当且仅当√ 4 + 3 = √ 3
√ 2
，即 = ± 时取等号．
4 +3 2
√ 3 | | √ 2
∴ = ± 时． 取得最大值，最大值为 ．
2 | |+| | 4
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