第04讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录 01 模拟基础练 2 题型一：垂直性质的简单判定 2 题型二：证明线线垂直 2 题型三：证明线面垂直 4 题型四：证明面面垂直 5 题型五：面面垂直的性质定理 7 题型六：垂直关系的综合应用 8 题型七：鳖臑几何体中的垂直 11 02 重难创新练 13 03 真题实战练 19
题型一：垂直性质的简单判定
1．设、是两个平面，、是两条直线，且．下列四个命题：
①若，则或 ②若，则，
③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
2．（2024·四川成都·三模）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．，，，则
题型二：证明线线垂直
4．（2024·四川宜宾·三模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段上，且．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
5．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.
证明：；
6．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．
证明：；
7．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，，垂足为，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.
(1)设平面与平面的交线为，证明：.
题型三：证明线面垂直
8．如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，
求证：EF⊥平面PBC；
9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面．
求证：平面；
10．（2024·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是的中点.
(1)求该圆柱体的体积；
(2)证明：平面；
11．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥中，已知是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，点是的中点，求点到平面的距离.
题型四：证明面面垂直
12．（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点.
(1)证明：平面平面BCD；
(2)求点A到平面BDF的距离.
13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，，为中点，求三棱锥的体积．
14．（2024·广西·模拟预测）在长方体中，点E，F分别在，上，且，．
求证：平面平面AEF；
15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为.
证明：平面平面；
题型五：面面垂直的性质定理
16．如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.
求证：平面；
17．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面．
证明：点在平面上的射影为的中点；
18．如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2．
(1)若点在棱上，平面，求证：；
(2)求点到平面的距离．
19．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在三棱柱中，侧面平面，，侧面为菱形，且为中点．
证明：平面；
题型六：垂直关系的综合应用
20．如图，在直三棱柱：中，，，是的中点，在上，为中点.
(1)求证：平面；
(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使平面？并证明你的结论.①为的中点；②；③.
21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．
22．已知正方体的棱长为，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；
(3)求到平面的距离．
23．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
24．（2024·高三·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.
(1)求证：；
(2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面.
题型七：鳖臑几何体中的垂直
25．（2024·全国·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥．
证明：；
26．国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”. 鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体中，PA⊥平面ACB.
(1)如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE平面ABC；
(2)如图2，若，垂足为C，且，求直线PB与平面APC所成角的大小；
(3)如图2，若平面APC⊥平面BPC，求证：四面体为鳖臑.
27．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.
证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
28．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.
证明：平面；
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是（ ）
A．
B．平面
C．平面平面
D．平面
2．（2024·江西景德镇·三模）已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则或
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，M是棱上一点，平面与棱交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线垂直；④任意平面都与平面垂直.
A．①② B．③④ C．①④ D．①②④
5．（2024·重庆·模拟预测）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．若平面，则，
B．存在平面，使得，，
C．有且只有一对互相平行的平面和，其中，
D．至少存在两对互相垂直的平面和，其中，
7．（2024·广东·一模）已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形可能是的菱形
B．四边形一定是正方形
C．四边形不可能是直角梯形
D．平面不一定与平面垂直
8．（2024·全国·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，已知直三棱柱是堑堵，其中，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．平面 B．平面平面
C． D．为锐角三角形
9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（ ）
A．的面积为 B．
C．平面平面 D．三棱锥的体积为
10．（多选题）（2024·江苏·二模）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（ ）
A．若，，，则
B．，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
11．（多选题）（2024·山西吕梁·二模）如图，在平行六面体中，底面是正方形，为与的交点，则下列条件中能成为“”的必要条件有（ ）
A．四边形是矩形
B．平面平面
C．平面平面
D．直线所成的角与直线所成的角相等
12．（2024·陕西·三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于的一点，则下面结论中正确的序号是 ．（填序号）
①；②；③平面；④平面平面．
13．（2024·黑龙江·模拟预测）已知矩形，其中，，点D沿着对角线进行翻折，形成三棱锥，如图所示，则下列说法正确的是 （填写序号即可）．
①点D在翻折过程中存在的情况；
②三棱锥可以四个面都是直角三角形；
③点D在翻折过程中，三棱锥的表面积不变；
④点D在翻折过程中，三棱锥的外接球的体积不变．
14．如图，在平行四边形中，，，且交于点，现沿折痕将折起，直至折起后的，此时的面积为 ．
15．（2024·四川·一模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为 ．
16．（2024·广东·二模）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
17．（2024·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．
18．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱柱中，平面和平面均垂直于平面．
(1)求证：平面平面；
(2)若为的中点，底面是正方形，，求三棱锥的体积．
19．（2024·四川成都·三模）如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，.
(1)证明：；
(2)若的面积为，求三棱锥的体积.
1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
3．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
7．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
，所以，
9．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
11．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：；
14．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
15．（2021年全国新高考I卷数学试题）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.
()第04讲 直线、平面垂直的判定与性质
目录 01 模拟基础练 2 题型一：垂直性质的简单判定 2 题型二：证明线线垂直 4 题型三：证明线面垂直 6 题型四：证明面面垂直 9 题型五：面面垂直的性质定理 12 题型六：垂直关系的综合应用 15 题型七：鳖臑几何体中的垂直 21 02 重难创新练 25 03 真题实战练 41
题型一：垂直性质的简单判定
1．设、是两个平面，、是两条直线，且．下列四个命题：
①若，则或 ②若，则，
③若，且，则 ④若与和所成的角相等，则
其中所有真命题的编号是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④
【答案】A
【解析】对于①：若，因为，，则，
若，因为，，则，
若不在也不在内，因为，，，
所以且，故①正确；
对于②：若，则与，不一定垂直，也有可能相交但不垂直，故②错误；
对于③：过直线分别作平面，与，分别相交于直线，直线，
因为，过直线的平面与平面相交于直线，所以，
同理可得，所以，
因为，，则，因为，，则，
又因为，则，故③正确；
对于④：与和所成的角相等，则和不一定垂直，比如：
正方体中，平面平面，
与平面所成角为，
与平面所成角为，
又，
所以，但与不垂直，故④错误；
综上只有①③正确．
故选：A．
2．（2024·四川成都·三模）已知直线、、与平面、，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，，则
【答案】B
【解析】对于A，若，，则平行、相交或异面；
对于B，若，则存在，使得，又因为，，而，所以，故B正确；
对于C，若，，则或，故C错误；
对于D，若，，，且如果不在内，则不会有，故D错误.
故选：B.
3．（2024·陕西安康·模拟预测）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，下列命题为真命题的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．，，，则
【答案】C
【解析】A：若，则与可能相交，可能平行，故A错误；
B：若，则与可能相交，可能平行，故B错误；
C：若，由线面垂直的性质知，故C正确；
D：若，则与可能相交，可能平行，故D错误.
故选：C
题型二：证明线线垂直
4．（2024·四川宜宾·三模）如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，，点E为线段的中点，点F在线段上，且．
(1)求证：；
(2)求三棱锥的体积．
【解析】（1）证明：在正方形中，，又，∴
在中，点E为线段PC的中点，，DE平分，
在中，，
过E作交CD于H，连接FH，则，
在正方形中，，∴四边形AFHD是矩形，
∴，又，，平面，
∴平面，又平面，∴．
（2）法一：在中，∵，，∴，
在正方形中，，而，CD，平面，
∴平面，平面，∴平面平面，
平面平面，过P作交CD于Q，∴平面，
∵，∴，，
，
法二：在中，∵，，∴，
在正方形中，，而，CD，平面，
∴平面，，
．
5．（2024·福建龙岩·三模）如图，在四棱台中，底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD.
证明：；
【解析】在四棱台中，延长后必交于一点，
故四点共面，因为平面，平面，故，
连接，因为底面四边形为菱形，故，
平面，故平面，
因为平面，所以.
6．如图，三棱柱中，侧面是边长为2的正方形，，．
证明：；
【解析】侧面是边长为2的正方形，
，，，
侧面是平行四边形，
，
在中，由余弦定理有，
解得，是直角三角形，
，，，平面，
平面，又平面，
；
7．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图1，在平面四边形中，，，垂足为，将沿翻折到的位置，使得平面平面，如图2所示.
(1)设平面与平面的交线为，证明：.
【解析】由题意可知.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
因为平面平面，所以平面，则.
题型三：证明线面垂直
8．如图所示，是的直径，点是上异于，平面ABC，、分别为，的中点，
求证：EF⊥平面PBC；
【解析】证明：因为平面ABC，平面。所以，
因为是的直径，知，
因为，且平面，所以平面，
由分别是的中点，所以，所以平面．
9．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在直三棱柱中，是上的点，且平面．
求证：平面；
【解析】因为平面，面，所以，又，所以，
又三棱柱是直三棱柱，所以，
又易知与相交，面，所以平面.
10．（2024·全国·模拟预测）如图，已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，是的中点.
(1)求该圆柱体的体积；
(2)证明：平面；
【解析】（1）由已知可得圆柱的底面半径，高，
故该圆柱体体积为.
（2）∵是弧中点，∴
由题可知平面，且平面，
∴
又因为，平面，平面
所以平面.
11．（2024·宁夏银川·一模）如图，在四棱锥中，已知是的中点.
(1)证明：平面；
(2)若，点是的中点，求点到平面的距离.
【解析】（1）是的中点，
连接，，，
在和中，
，，
平面，平面.
（2）因为是的中点，
所以点到平面的距离就是点到平面的距离的一半，
设点到平面的距离为，
因为，
所以，
故，
设点为的中点，则，
所以，，
因为，
所以，故，
所以点到平面的距离为.
题型四：证明面面垂直
12．（2024·四川资阳·二模）如图，在四面体ABCD中，，，E，F分别为AB，AC的中点.
(1)证明：平面平面BCD；
(2)求点A到平面BDF的距离.
【解析】（1）
取CD的中点O，连接OA，OB，
因为，，所以，且，
又，，，，
所以，可得，
又，平面，所以平面BCD，
又平面ACD，所以平面平面BCD；
（2）因为，所以由（1）可得，，
，
，
又F为AC的中点，所以，
在△BDF中，，，，
则，
所以，
则.
设点A到平面BDF的距离为d，则，
解得，即点A到平面BDF的距离为.
13．（2024·四川成都·模拟预测）如图，在四棱锥中，，，，，．
(1)证明：平面平面；
(2)若，，为中点，求三棱锥的体积．
【解析】（1）在中，由余弦定理得．
由，得，而，，则，
又平面EDB，因此平面EDB，而平面ABCD，
所以平面平面ABCD．
（2）由F是EC中点，得．
由（1）知平面EDB，平面EDB，则，
而，平面ABCD，则平面ABCD，
因此．即，
所以三棱锥的体积为．
14．（2024·广西·模拟预测）在长方体中，点E，F分别在，上，且，．
求证：平面平面AEF；
【解析】为长方体 平面
平面∴
又，且，平面，
平面
平面AEF
平面平面
15．（2024·安徽马鞍山·模拟预测）如图，在平行四边形中，，，为边上的点，，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且三棱柱的体积为.
证明：平面平面；
【解析】证明：由，，为正三角形.
设的中点为，连接，则，
则.易知，，
所以.
所以，，，
故平面，平面，所以.
又易知中，，，
又平面，
所以平面.
又平面，所以平面平面.
题型五：面面垂直的性质定理
16．如图，在四边形中，是边长为2的正三角形，.现将沿边折起，使得平面平面，点是的中点.
求证：平面；
【解析】（1）因为平面平面，平面平面，，平面，所以平面，
又因为平面，所以，因为为中点，为正三角形，所以，
又因为平面，，所以平面.
17．（2024·四川成都·模拟预测）如图所示，斜三棱柱的各棱长均为， 侧棱与底面所成角为，且侧面底面．
证明：点在平面上的射影为的中点；
【解析】过作于，
由平面平面，平面平面，
平面，，得平面，因此，
又，从而为等边三角形，为中点．
18．如图1，在矩形中，点在边上，，将沿进行翻折，翻折后点到达点位置，且满足平面平面，如图2．
(1)若点在棱上，平面，求证：；
(2)求点到平面的距离．
【解析】（1）因为，平面，平面，
所以平面，
又平面，平面，所以平面平面，
平面，所以.
（2）取的中点，连接，依题意，所以且，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
连接、，则，所以，
又，，，，
所以
，
又平面，平面，所以，
所以，
则，
则，
所以，
设点到平面的距离为，则，
解得，即点到平面的距离为.
19．（2024·甘肃张掖·模拟预测）在三棱柱中，侧面平面，，侧面为菱形，且为中点．
证明：平面；
【解析】（根据题意，即，
又侧面平面，面平面，平面，
所以面，而面，所以，
侧面为菱形，为中点，所以，
平面，
所以平面；
题型六：垂直关系的综合应用
20．如图，在直三棱柱：中，，，是的中点，在上，为中点.
(1)求证：平面；
(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使平面？并证明你的结论.①为的中点；②；③.
【解析】（1）连接，由于是的中点，为中点，则且，故四边形为平行四边形，所以，
又平面,平面，故平面，
（2）若选①②，
由于，则,
故四边形为矩形，此时与不垂直，
为的中点，为的中点，故，故与不垂直，
因此不可能得到平面
若选②③
由于，，所以,
由于三棱柱为直三棱柱，所以,此时不可能满足，，，故无法得到平面
选①③能证明平面
连接，，，
在中，，，
则，又，则，
又，，
由于平面平面，且两平面的交线为，平面
所以平面，平面，
，又平面，
平面．
21．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，，为的中点．
(1)求证：；
(2)若为边的中点，能否在棱上找到一点，使？请证明你的结论．
【解析】（1）连接，
四边形为菱形，，又，为等边三角形，
为中点，；
，为中点，，
又，平面，平面，
平面，.
（2）当为中点时，，证明如下：
分别为中点，，又平面，平面，
平面；
分别为中点，，，
四边形为平行四边形，，又平面，平面，
平面，又，平面，
平面平面，
由（1）知：平面，平面，
平面，.
22．已知正方体的棱长为，分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；
(3)求到平面的距离．
【解析】（1）
连接，
，，四边形为平行四边形，；
分别为中点，，，
平面，平面，平面.
（2）取中点为，
，，
，，又，
，，
又，，则，
，平面，平面，此时，
则线段上存在点，为中点，使得平面，此时.
（3）平面，到平面的距离即为点到平面的距离，
由（2）知：当为中点时，平面，则点到平面的距离即为，
又，直线到平面的距离为.
23．（2024·江西赣州·模拟预测）如图，在三棱柱中，侧面是矩形，侧面是菱形，，、分别为棱、的中点，为线段的中点.
(1)证明：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面平面？若存在，请指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）证明：取的中点，连接、、，
因为且，故四边形为平行四边形，所以，且，
因为为的中点，则且，
因为、分别为、的中点，所以，且，
所以，且，故四边形为平行四边形，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为、分别为、的中点，所以，，
因为平面，平面，所以，平面，
因为，、平面，所以，平面平面，
因为平面，故平面.
（2）当点为的中点时，平面平面，
因为四边形为矩形，则，因为，则，
因为四边形为菱形，则，
因为，则为等边三角形，
因为为的中点，所以，，
因为，、平面，所以，平面，
因为平面，所以，平面平面，
因此，当点为的中点时，平面平面.
24．（2024·高三·山西大同·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别为棱的中点，平面与平面交于直线.
(1)求证：；
(2)若与底面所成角为，当满足什么条件时，平面.
【解析】（1）证明：取的中点，连接，
分别为的中点，
，
为的中点，且为矩形，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平面平面，
平面，
又平面，平面平面，
.
（2）底面，
为与底面所成角，
当时，由（1）有，
，
且，平面，
平面，
因为平面，
，
，面，面，
由（1）有，
平面.
题型七：鳖臑几何体中的垂直
25．（2024·全国·模拟预测）如图，在直角梯形中，，，是上一点，，，，将沿着翻折，使运动到点处，得到四棱锥．
证明：；
【解析】（依题意得，，
因为，，所以四边形为平行四边形，
又，所以四边形为菱形，
如图，取的中点，连接，，
由，得，，
又，且，平面，所以平面，
因为平面，所以．
26．国家主席习近平指出：中国优秀传统文化有着丰富的哲学思想、人文精神、教化思想、道德理念等，可以为人们认识和改造世界提供有益启迪.我们要善于把弘扬优秀传统文化和发展现实文化有机统一起来，在继承中发展，在发展中继承.《九章算术》作为中国古代数学专著之一，在其“商功”篇内记载：“斜解立方,得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.刘徽注解为：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云”. 鳖臑，是我国古代数学对四个面均为直角三角形的四面体的统称.在四面体中，PA⊥平面ACB.
(1)如图1，若D、E分别是PC、PB边的的中点，求证：DE平面ABC；
(2)如图2，若，垂足为C，且，求直线PB与平面APC所成角的大小；
(3)如图2，若平面APC⊥平面BPC，求证：四面体为鳖臑.
【解析】（1）由D、E分别是PC、PB边的的中点，可得，
又平面ABC，平面ABC
则DE平面ABC
（2）由PA⊥平面ACB，平面ABC，可得
又，,平面APC，平面APC
则平面APC，则为直线PB与平面APC所成角.
又，可得
则中，，，则
则直线PB与平面APC所成角为
（3）在中，过点A作于G，
又平面APC⊥平面BPC，平面APC平面BPC
则平面BPC，又平面PBC，则，
由PA⊥平面ACB，平面ABC，可得
又，平面APC，平面APC
则平面APC，又平面APC，平面APC
则,，则为直角三角形
又为直角三角形，则四面体为鳖臑.
27．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的阳马中，侧棱底面ABCD，且，点E是PC的中点，连接DE、BD、BE.
证明：平面.试判断四面体是否为鳖臑.若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；
【解析】因为底面，平面
所以，
因为为长方形，所以，
因为，平面
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，点E是PC的中点，
所以，
因为，平面，
所以平面，
由平面PCD，平面PBC，
可知四面体的四个面都是直角三角形，
即四面体是一个鳖臑，
其四个面的直角分别是，，，；
28．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在阳马中，侧棱底面，且，过棱的中点，作交于点，连接.
证明：平面；
【解析】因为底面，底面，所以，
由底面为长方形，有，而，，面，
所以平面，而平面，所以，
又因为，点是的中点，所以，
而，，面，所以平面，
而平面，所以.
又，，，面，所以平面.
1．（2024·陕西商洛·模拟预测）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于，的一点，则下面结论中错误的是（ ）
A．
B．平面
C．平面平面
D．平面
【答案】D
【解析】因为四边形是圆柱的轴截面，则线段是直径，都是母线．
又是底面圆周上异于的一点，
于是得.
而平面，平面，则.
因为，平面，
则平面，
因为平面，因此得，A正确；
因为,平面，平面，
所以平面，B正确；
因为平面，而平面，
所以平面平面，C正确．
点不在底面内，而直线在底面内，即是两条不同直线，
若平面，因平面，
则，与矛盾，D不正确；
故选：D.
2．（2024·江西景德镇·三模）已知，是空间内两条不同的直线，，，是空间内三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，则或
【答案】C
【解析】对于A，由，，设，当时，可得，故A错误；
对于B，由，可得或，故B错误；
对于C，如图，设，，在平面作不与重合的直线，使，
因，则，因，，则，因，则，于是，故C正确；
对于D，当，，时，若且，
则可以和平面成任意角度，故D错误.
故选：C.
3．（2024·山东泰安·模拟预测）已知直线，和平面，，，，则的必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，所以，当时，由线面垂直的性质定理可知；
只有当且时才能得到.
所以的必要不充分条件是.
故选：.
4．（2024·四川绵阳·模拟预测）如图所示，在正方体中，M是棱上一点，平面与棱交于点N.给出下面几个结论，其中所有正确的结论是（ ）
①四边形是平行四边形；②四边形可能是正方形；③存在平面与直线垂直；④任意平面都与平面垂直.
A．①② B．③④ C．①④ D．①②④
【答案】C
【解析】对于①，因为平面与棱交于点，所以四点共面，
在正方体中，由平面平面，
又平面平面，平面平面，所以，
同理可得，故四边形一定是平行四边形，故①正确
对于②，在正方体中，面，
因为面，所以，
若是正方形， 有，，
若不重合，则与矛盾，
若重合，则不成立，故②错误；
对于③，因为平面，，
若直线与平面垂直，则直线，显然矛盾，
所以平面与直线不可能垂直，故③错误
对于④，因为平面，平面，所以，
又，平面，所以平面，
又平面，所以，
同理：，又平面，平面，，
所以平面，因为平面，所以平面平面，故④正确.
综上所述，正确的有①④.
故选：C.
5．（2024·重庆·模拟预测）已知两条直线m，n和三个平面α，β，γ，下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，则
D．若，，，，则
【答案】C
【解析】对于A，当，时，两平面α，β可能平行可能相交，所以A错误；
对于B，，，两平面β，γ可能平行可能相交，所以B错误；
对于C，当，，时，
设，，在γ取一点O，过O分别作于B，于C，
则，，因为，
所以，，所以，，
因为，，所以，所以C正确；
对于D，当，，，时，
可得或，所以D错误.
故选：C.
6．（2024·江苏常州·模拟预测）已知，为异面直线，直线与，都垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．若平面，则，
B．存在平面，使得，，
C．有且只有一对互相平行的平面和，其中，
D．至少存在两对互相垂直的平面和，其中，
【答案】A
【解析】对于A，如下图所示，在正方体中取为，为，为，平面为平面，则，，故A错误；
对于B，在正方体中取为，为，为，平面为平面，此时，，，故B正确；
对于C，由线面垂直的判定可知，，，过直线且与垂直的平面只有一个，
过直线且与垂直的平面只有一个，则有且只有一对互相平行的平面和，其中，，故C正确；
对于D，在正方体中取为，为，为，此时平面平面，
平面平面，即至少存在两对互相垂直的平面和，其中，，故D正确；
故选：A.
7．（2024·广东·一模）已知点分别在平面的两侧，四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，则下列结论正确的是（ ）
A．四边形可能是的菱形
B．四边形一定是正方形
C．四边形不可能是直角梯形
D．平面不一定与平面垂直
【答案】C
【解析】因为四棱锥与四棱锥的所有侧棱长均为2，可得点在底面上的投影都是四边形的外心，
所以两射影重合，即有面，且四边形有外接圆，
对于选项A，当四边形是的菱形时，此时四边形没有有外接圆，所以选项A错误，
对于选项B，当四边形是矩形时，显然满足题意，所以选项B错误，
对于选项C，因为直角梯形没有外接圆，一定不合题意，所以选项C正确，
对于选项D，因为面，又面，所以平面，所以选项D错误，
故选：C.
8．（2024·全国·模拟预测）我国古代数学名著《九章算术》将两底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵．如图，已知直三棱柱是堑堵，其中，则下列说法中不一定正确的是（ ）
A．平面 B．平面平面
C． D．为锐角三角形
【答案】C
【解析】选项A：易知，又平面平面，所以平面，故A正确．
选项B：因为，所以，
又，平面,
所以平面，而平面，所以平面平面，故B正确．
选项C：设的中点分别为，连接，
则为异面直线与所成的角或其补角，
，．
假设，则，即，化简可得，
故只有当时，所以C不一定正确．
选项D：设，则，
所以为锐角．同理可得均为锐角，故D正确．
故选：C
9．（多选题）（2024·浙江·模拟预测）如图，在三棱锥的平面展开图中，，分别是，的中点，正方形的边长为2，则在三棱锥中（ ）
A．的面积为 B．
C．平面平面 D．三棱锥的体积为
【答案】ABD
【解析】
对于A，易知，故A正确；
对于B，连接交于G，根据正方形的性质易知，
所以有，
又平面，所以平面，
平面，所以，故B正确；
对于C，由上可知为平面与平面的夹角，
易知，则不垂直，故C错误；
对于D，由题意可知两两垂直，
则，故D正确.
故选：ABD
10．（多选题）（2024·江苏·二模）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的有（ ）
A．若，，，则
B．，，，则
C．若，，，则
D．若，，，则
【答案】BCD
【解析】A. 若，，，不能推出或，则不能推出，故A错误；
B.若，，则，又，所以，故B正确；
C. 若，，则，又，所以，故C正确；
D. 若，，，说明与和垂直的法向量互相垂直，则，故D正确.
故选：BCD
11．（多选题）（2024·山西吕梁·二模）如图，在平行六面体中，底面是正方形，为与的交点，则下列条件中能成为“”的必要条件有（ ）
A．四边形是矩形
B．平面平面
C．平面平面
D．直线所成的角与直线所成的角相等
【答案】ACD
【解析】要成为“”的必要条件，则该条件可由“”推出，
对于A，因为在平行六面体中，，
所以四边形为平行四边形，又，
所以四边形为矩形，故A正确；
对于B，假设平面平面，
由选项A，可知四边形为矩形，则，
又平面平面，平面，
所以平面，因为平面，
所以，与四边形为正方形矛盾，故B错误；
对于C，因为四边形是正方形，所以，
因为，所以，
又平面，所以平面，
又平面，所以平面平面，故C正确；
对于D，因为四边形为矩形，为的中点，易得，
又正方形中，是公共边，
所以，则，
又，
所以分别为直线所成的角与直线，所成的角（或其补角），
则直线所成的角与直线所成的角相等，故D正确.
故选：ACD.
12．（2024·陕西·三模）如图，四边形是圆柱的轴截面，是底面圆周上异于的一点，则下面结论中正确的序号是 ．（填序号）
①；②；③平面；④平面平面．
【答案】①②④
【解析】因为四边形是圆柱的轴截面，则线段是底面圆的直径，都是母线．
又是底面圆周上异于的一点，于是得，而平面，平面，则．
因为平面，则平面，因为平面，所以，①正确：
同理可证，②正确：
点不在底面内，而直线在底面内，即是两条不同直线，
若平面，因平面，与过一点有且只有一条直线垂直于已知平面矛盾，③不正确；
因为平面，而平面，于是得平面平面，④正确．
故答案为：①②④
13．（2024·黑龙江·模拟预测）已知矩形，其中，，点D沿着对角线进行翻折，形成三棱锥，如图所示，则下列说法正确的是 （填写序号即可）．
①点D在翻折过程中存在的情况；
②三棱锥可以四个面都是直角三角形；
③点D在翻折过程中，三棱锥的表面积不变；
④点D在翻折过程中，三棱锥的外接球的体积不变．
【答案】②④
【解析】对于①：如图所示，过点B作的垂线，垂足为E，连接，
若成立，由，与都在平面内且相交，
则面，则，又因为，所以在原矩形中，，
因为矩形的长宽不等，所以显然不可能，①错误；
对于②：当面面时，，，此时四个面都是直角三角形，②正确；
对于③：由于在翻折过程中与都为锐角，且逐渐变小，
所以变小，
同理也同时变小，而另两个三角形和为矩形面积，③错误；
对于④：由于，都为直角三角形，所以外接球的球心就是中点，
点D在翻折过程中，其外接球的直径始终为，④正确.
故答案为：②④
14．如图，在平行四边形中，，，且交于点，现沿折痕将折起，直至折起后的，此时的面积为 ．
【答案】
【解析】如图所示，折起前，
，所以，
在直角中，可得，
又由，因为，又因为，则，
由，所以，
因为，平面，则平面，
又因为平面，则平面平面，
分别过点作的垂线，垂足分别为点，则，
因为平面平面，且平面，所以平面，
又因为平面，所以
由，
可得，所以，
在中，可得，
因为，所以，所以．
故答案为：.
15．（2024·四川·一模）如图，在矩形中，，，点为线段的中点，沿直线将翻折，点运动到点的位置．当平面平面时，三棱锥的体积为 ．
【答案】/
【解析】如图，取的中点，连接交于点，连接．易知四边形为正方形，则，
由翻折前后的不变性可知，，
当平面平面时，又平面平面，平面，
所以平面．
由题意可知，，，
所以．
故答案为：
16．（2024·广东·二模）如图，三棱柱的底面是等腰直角三角形，，侧面是菱形，，平面平面．
(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【解析】（1）连接，由四边形为菱形，得，由，得，
又平面平面，平面平面，面ABC，
则平面，又平面，于是，而，则，
又，平面，因此平面，又平面，
所以
（2）点到平面的距离，即三棱锥的底面上的高，
由（1）知平面，则三棱锥的底面上的高为，
设点到平面的距离为d，由，得，
而，，则的面积，
由，，得，又，，则，
又，，由余弦定理得，
则，的面积，
则，即 ，所以点到平面的距离为.
17．（2024·河南郑州·二模）如图，已知三棱柱的侧棱垂直于底面，，，点，分别为和的中点．
(1)证明：平面；
(2)设，当为何值时，平面？试证明你的结论．
【解析】（1）取的中点，的中点，连接，，，
则有，，，所以，
则与共面，
又平面，平面，所以平面，
又平面，平面，所以平面，
又，平面，
平面平面，
又平面，∴平面；
（2）连接，不妨设，则，
所以，
∵三棱柱的侧棱垂直于底面，
∴平面平面，
∵，∴，又点是的中点，所以，
又平面平面，平面，
∴平面，平面，∴，
要使平面，只需即可，
又∵，
∴，即，
∴（负值舍去），即时，平面.
18．（2024·全国·模拟预测）如图，在四棱柱中，平面和平面均垂直于平面．
(1)求证：平面平面；
(2)若为的中点，底面是正方形，，求三棱锥的体积．
【解析】（1）在平面内，过点分别作于点，于点，
因为平面平面，平面平面，
又平面，所以平面，
又平面，所以．
同理可得，
因为，平面，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
（2）由已知得四棱柱，为正四棱柱，连接，
所以，，，
所以，所以．
同理可得，
且，平面，所以平面．
因为，所以，
所以三棱锥的体积为．
19．（2024·四川成都·三模）如图，在三棱台中，在边上，平面平面，，，，，.
(1)证明：；
(2)若的面积为，求三棱锥的体积.
【解析】（1）在中，，，，
由余弦定理得，则，
即，而平面平面，平面平面，
平面，于是平面，又平面，则，
又，，平面，平面，
因此平面，而平面，则，又，
所以.
（2）在中，，，，则， ，
由，解得，由，得，
因此，
所以三棱锥的体积是.
1．（多选题）（2022年新高考全国I卷数学真题）已知正方体，则（ ）
A．直线与所成的角为 B．直线与所成的角为
C．直线与平面所成的角为 D．直线与平面ABCD所成的角为
【答案】ABD
【解析】如图，连接、，因为，所以直线与所成的角即为直线与所成的角，
因为四边形为正方形，则，故直线与所成的角为，A正确；
连接，因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
又平面，所以，故B正确；
连接，设，连接，
因为平面，平面，则，
因为，，所以平面，
所以为直线与平面所成的角，
设正方体棱长为，则，，，
所以，直线与平面所成的角为，故C错误；
因为平面，所以为直线与平面所成的角，易得，故D正确.
故选：ABD
2．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，平面四边形ABCD中，，，，，，点E，F满足，，将沿EF翻折至，使得．
(1)证明：；
【解析】（1）由，
得，又，在中，
由余弦定理得,
所以，则，即，
所以，又平面，
所以平面，又平面，
故；
3．（2023年北京高考数学真题）如图，在三棱锥中，平面，．
(1)求证：平面PAB；
【解析】（1）因为平面平面，
所以，同理，
所以为直角三角形，
又因为，，
所以，则为直角三角形，故，
又因为，，
所以平面.
4．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）如图，在三棱柱中，平面．
(1)证明：平面平面；
(2)设，求四棱锥的高．
【解析】（1）证明：因为平面，平面,
所以,
又因为，即，
平面，,
所以平面，
又因为平面,
所以平面平面.
（2）如图，
过点作，垂足为.
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
所以四棱锥的高为.
因为平面，平面,
所以,,
又因为，为公共边，
所以与全等，所以.
设，则，
所以为中点，,
又因为,所以,
即，解得，
所以，
所以四棱锥的高为．
5．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，在三棱锥中，，，，，BP，AP，BC的中点分别为D，E，O，，点F在AC上，.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面平面BEF；
【解析】（1）连接，设，则，，，
则，
解得，则为的中点，由分别为的中点，
于是，即，则四边形为平行四边形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）法一：由（1）可知，则，得，
因此，则，有，
又，平面，
则有平面，又平面，所以平面平面.
法二：因为，过点作轴平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
在中，，
在中，，
设，所以由可得：，
可得：，所以，
则，所以，，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，
设平面的法向量为，
则，得，
令，则，所以，
，
所以平面平面BEF；
6．（2023年新课标全国Ⅱ卷数学真题）如图，三棱锥中，，，，E为BC的中点．
(1)证明：；
【解析】（1）连接，因为E为BC中点，，所以①，
因为，，所以与均为等边三角形，
，从而②，由①②，，平面，
所以，平面，而平面，所以．
7．（2022年新高考浙江数学高考真题）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
(1)证明：；
【解析】（1）过点、分别做直线、的垂线、并分别交于点、．
∵四边形和都是直角梯形，，，由平面几何知识易知，，则四边形和四边形是矩形，∴在Rt和Rt，，
∵，且，
∴平面是二面角的平面角，则，
∴是正三角形，由平面，得平面平面，
∵是的中点，，又平面，平面，可得，而，∴平面，而平面．
8．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）如图，四面体中，，E为AC的中点．
(1)证明：平面平面ACD；
(2)设，点F在BD上，当的面积最小时，求三棱锥的体积．
【解析】（1）由于，是的中点，所以.
由于，所以，
所以，故，
由于，平面，
所以平面，
由于平面，所以平面平面.
（2）依题意，，三角形是等边三角形，
所以，
由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以.
，所以，
由于，平面，所以平面.
由于，所以，
由于，所以，
所以，所以，
由于，所以当最短时，三角形的面积最小
过作，垂足为，
在中，，解得，
所以，
所以
过作，垂足为，则，所以平面，且，
所以，
所以.
9．（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）在四棱锥中，底面．
(1)证明：；
【解析】（1）证明：在四边形中，作于，于，
因为，
所以四边形为等腰梯形，
所以，
故，，
所以，
所以，
因为平面，平面，
所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以；
10．（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）如图，四面体中，，E为的中点．
(1)证明：平面平面；
【解析】（1）因为，E为的中点，所以；
在和中，因为，
所以，所以，又因为E为的中点，所以；
又因为平面，，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
11．（2021年全国新高考II卷数学试题）在四棱锥中，底面是正方形，若．
（1）证明：平面平面；
【解析】
（1）取的中点为，连接.
因为，，则，
而，故.
在正方形中，因为，故，故，
因为，故，故为直角三角形且，
因为，故平面，
因为平面，故平面平面.
12．（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.
【解析】（1）由于，，所以，
又AB⊥BB1，，故平面，
则，为等腰直角三角形，
，.
（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，
正方形中，为中点，则，
又，
故平面，而平面，
从而.
13．（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
【解析】（1）[方法一]：几何法
因为，所以．
又因为，，所以平面．又因为，构造正方体，如图所示，
过E作的平行线分别与交于其中点，连接，
因为E，F分别为和的中点，所以是BC的中点，
易证，则．
又因为，所以．
又因为，所以平面．
又因为平面，所以．
[方法二] 【最优解】：向量法
因为三棱柱是直三棱柱，底面，
，，，又，平面．所以两两垂直．
以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
，．
由题设（）．
因为，
所以，所以．
[方法三]：因为，，所以，故，，所以，所以．
14．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
【解析】（1）因为底面，平面，
所以，
又，，
所以平面，
而平面，
所以平面平面．
（2）[方法一]：相似三角形法
由（1）可知．
于是，故．
因为，所以，即．
故四棱锥的体积．
[方法二]：平面直角坐标系垂直垂直法
由（2）知,所以．
建立如图所示的平面直角坐标系，设．
所以，
设为平面的法向量，
则由可求得平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为，
所以，解得．
又点C到平面的距离为，所以，
所以三棱锥的体积为．
[方法二]【最优解】：作出二面角的平面角
如图所示，作，垂足为点G．
作，垂足为点F，连结，则．
因为平面，所以平面，
为二面角的平面角．
因为，所以．
由已知得，故．
又，所以．
因为，
．
[方法三]：三面角公式
考虑三面角，记为，为，，
记二面角为．据题意，得．
对使用三面角的余弦公式，可得，
化简可得．①
使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．②
将①②两式平方后相加，可得，
由此得，从而可得．
如图可知，即有，
根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得，
结合的正切值，
可得从而可得三棱锥的体积为．
()
