江西省鹰潭市余江区第一中学 2025 届高三（上）三模数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {2,4,6,8,10}， = {2,4}， = {4,6}，则 ( ∪ ) =( )
A. {4} B. {2,4} C. {8,10} D. {2,4,6}
+2
2.若复数 在复平面内所对应的点在实轴上，则实数 =( )
1
A. 2 B. 2 C. 1 D. 0
3.“ > 0”是“| + | = | | + | |”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知数列{ }满足 1 = 2， +1 = 1，则 32 =( )
1
A. B. 2 C. 3 D. 1
2
1
5.已知 > 0， > 0，且 4 + 1 = 0，则 +9 的最小值是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
6.已知函数 ( ) = 2 ( + ) + ( > 0)图象的两相邻对称轴之间的距离为 ，若存在 1， 2 ∈ [0, ]，使6 2 2
得2 ( 1) ≤ ( 2)成立，则 的最大值为( )
A. 4 B. 2 C. 4 D. 2
, > 0
7.已知函数 ( ) = { 2 ，若关于 的不等式 ( ) ≥ 0的解集为[ 4,+∞)，则 的取值 + ( 4) + 4 , ≤ 0
范围为( )
A. ( ∞, 2] B. ( ∞, ] C. [0, 2] D. [0, ]
8.如图，在平面四边形 中， ⊥ ，∠ = 60°，∠ = 150°， =
4√ 3 2√ 3
, = ，点 是线段 上的一点，且 = 3 ，点 是线段 上的一
3 3
点，则 的最小值为( )
17
A.
18
15
B.
16
13
C.
14
11
D.
12
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， ， 都是负数，且 < ，则( )
1 1 +
A. < B. < C. + > + D. >
+
10.下列等式成立的有( )
A. 25°+ 35°+ √ 3 25° 35° = √ 3
√ 2 √ 2 √ 3
B. 15° 15° =
2 2 2
2 10° 20°
C. = 1
20
1 √ 3
D.
10
= 4
10°
11.已知函数 ( ) = 3 3 2 + (3 ) ，则下列说法正确的是( )
A. 若 ( )在(0,+∞)上单调递增，则 的取值范围是( ∞, 0)
B. 点(1, (1))为曲线 = ( )的对称中心
C. 若过点(2, )可作出曲线 = ( ) + ( 3) + 的三条切线，则 的取值范围是( 5, 4)
D. 若 ( )存在极值点 0，且 ( 0) = ( 1)，其中 0 ≠ 1，则 1 + 2 0 = 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知向量 = (2, )， = ( 1,3)，若 // ，则| + | = ______．
13.已知函数 ( ) = +1 + 2和 ( ) = + 3的零点分别为 ， ，则 + = ______．
14.锐角△ 的内角 的对边为 ，若△ 的面积是 2，则 的最小值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{ }的前 项和为 ，且2 3 + 4 = 20， 10 = 110．
(1)求{ }的通项公式；
(2)设 = |9 |，求数列{ }的前 项和 ．
16.(本小题15分)
在△ 中，内角 ， ， 的对边分别为 , , , 2 + 2 = 2 + √ 2 , = + 2 ．
(1)求 ；
(2)若 = 2, = 2 ，求 ．
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 是菱形， 为 的中点， = = = 4， =
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√ 10
2√ 3, cos∠ = ．
4
(1)求证： ⊥ ；
(2)求平面 与平面 的夹角的正弦值．
18.(本小题17分)
设抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， ( 0 , 0)是 上一点且| |
2 | | = 20 + 0，直线 经过点
( 8,0)．
(1)求抛物线 的方程；
(2)①若 与 相切，且切点在第一象限，求切点的坐标；
②若 与 在第一象限内的两个不同交点为 ， ，且 关于原点 的对称点为 ，证明：直线 ， 的倾斜
角之和为 ．
19.(本小题17分)
高斯( )是德国著名数学家，被认为是历史上最杰出的数学家之一，并享有“数学王子”之称.用[ ]表
1
示不超过 的最大整数，则 = [ ]称为高斯函数，如[2.1] = 2，[ 1.3] = 2，已知函数 ( ) = [( 1)[ ]+1 +
4
1]([ ] + 1)．
(1)证明：2 ( ) ；
(2)已知函数 ( ) = 2024( + 1)
+ 2023 ( )，命题 ： 0 ∈ (0,2024)，使得 ( 0) 0成立；命题 ：
( )在区间(4050,4052)上有零点.若 ， 中至少有一个是真命题，求正实数 的取值范围；
(3)定义：函数 ( )的定义域为 ，函数 ( ) = [ ( )]，若存在 0 ∈ ，使得 ( 0) = ( 0)，则称点 ( 0, ( 0))
为函数 ( )的一个高斯点.记 ( ) = 上的第 个高斯点和第 + 1个高斯点连线的斜率为 ，证明：( +1
2 2
)
2 < +1．
+1
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】√ 10
13.【答案】2
14.【答案】8
15.【答案】解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
又因为2 3 + 4 = 20， 10 = 110，
2 3 + 4 = 2( 1 + 2 ) + 1 +3 = 20 = 2
所以{ 10×9 ，解得{ 1 ，
10 = 10 1 + = 110 = 22
所以 = 1 + ( 1) = 2 + 2( 1) = 2 ．
(2)由(1)知， = 2 ，所以 = |9 | = |9 2 |，
当1 ≤ ≤ 4时， = |9 2 | = 9 2 ，所以 1 = 7；
当 ≥ 5时， = |9 2 | = 2 9， 5 = 1，
(7+9 2 ) (16 2 )
所以当1 ≤ ≤ 4时， = = =
2 +8 ，
2 2
( 4)(1+2 9)
当 ≥ 5时， = 4 + 5 + + = 16 + =
2 8 + 32．
2
2 + 8 , 1 ≤ ≤ 4
综上，数列{ }的前 项和 = { 2
．
8 + 32, ≥ 5
2
+ 2 2 √ 2
16.【答案】解：(1)由 2 + 2 = 2 +√ 2 及余弦定理可得： = = ，
2 2
因为0 < < ，所以 = ，
4
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因为 = + 2 ，
由正弦定理可得： = + 2 ，
所以sin( + ) = + = + 2 ，
1
由 = ，化简可得2 = ，即 = ，
4 2
√ 5 2
因为 ∈ (0, )，所以 = , = √ 5，
5 5
所以 = cos[ ( + )] = cos( + ) = +
√ 2 √ 5 2√ 5 √ 10
= ( ) = ．
2 5 5 10
√ 10
(2)因为 = 2， = 2 ， = ，
10
4 2 3√ 10
所以 = , = , = ，
3 3 10
2
所以 = = √ 2 = ，
3
由余弦定理可得： 2 = 2 + 2 2
16 8 4 2√ 2 √ 2 8
= + 2× × × = ，
9 9 3 3 2 9
2√ 2
所以 = ．
3
17.【答案】(1)证明：∵ = = 4，
2 2 2
在△ 中， + √ 10cos∠ = = ，解得 = 2√ 10．
2 4
∵ = = = = 4， 为 的中点，
∴ ⊥ , = √ 2 2 = 2√ 3，
1
在△ 中， 2 = 2 + 2，∴ ⊥ ，且cos∠ = ，
2
即∠ =
2
3，∴ ∠ = ． 3
∵ // ，∴ ⊥ ，∴ = √ 2 + 2 = 2√ 7，
在△ 中， 2 = 40 = 2 + 2，∴ ⊥ ，
又 ， 平面 ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，∴ ⊥ ．
又 ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，∴ ⊥ ．
(2)解：由(1)知 ， ， 两两垂直，以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
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则 (2√ 3, 4,0), (2√ 3, 0,0), (0,2,0), (0,0,2√ 3)，
= (2√ 3, 2,0), = (0, 2,2√ 3)， = ( 2√ 3, 4,2√ 3), = ( 2√ 3, 4,0)．
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
= 2√ 3 2 = 0,
则{ 取 = 1，则 = √ 3， = 1，∴平面 的一个法向量 = (1,√ 3, 1)．
= 2 + 2√ 3 = 0,
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
= 2√ 3 + 4 + 2√ 3 = 0,
则{ 取 = 2，则 = √ 3， = 0，
= 2√ 3 + 4 = 0,
∴平面 的一个法向量 = (2,√ 3, 0)，
| | 5 √ 35
设平面 与平面 的夹角为 , = = = ，
| | | | √ 7×√ 5 7
故 √ 14 = √ 1 cos2 = ，
7
∴平面 与平面 夹角的正弦值为√ 14．
7
18.【答案】(1)解：因为| |2 | | = 20 + 0，
所以| |2 20 = | | + 0，
所以(| | + 0)(| | 0) = | | + 0，
所以| | 0 = 1，
又 是 上一点，
所以| | = 0 + ， 2
所以 = 1，
2
解得 = 2，
所以抛物线 的方程为 2 = 4 ．
(2)解：①设切点坐标为( , 2√ )，
因为 = 2√ ，
1
所以 ′ = ，
√
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1
切线的斜率为 ，
√
1
所以切线方程为 2√ = ( )，
√
将 ( 8,0)
1
代入上式，得 2√ = ( 8 )，
√
所以 = 8，
所以切点坐标为(8,4√ 2)．
②证明：由①得，直线 ， 的斜率都存在，
要证：直线 ， 的倾斜角之和为 ，
只要证明：直线 ， 的斜率之和为0．
2 2 2 2
设直线 的方程为 + 8 = ( > 0), ( 1 , 1), (
2 , 2)， (
1 , 1)， (
2 , 2)， (8,0)， 4 4 4 4
1 4 1 4
则 = 2 = 2 , =
2 4 2
1 1 32
2 32， = 2 ， 8 2 2 32
4
+ 8 =
由{ 2 得
2 4 + 32 = 0，
= 4
所以 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 32，
又 = 16 2 128 > 0，
即 > 2√ 2，
4 4 4( + )( 32)
所以 + =
1 + 2 = 1 2 1 22 = 0 1 32 22 32 ( 21 32)( 22 32)
，
即直线 ， 的倾斜角之和为 ．
19.【答案】解：(1)证明：令[ ] + 1 = ， ∈ ，当 为偶数时，2 ( ) = ，当 为奇数时，2 ( ) = 0，
所以对任意 ∈ ，2 ( ) ≤ [ ] + 1，所以2 ( ) ≤ [ ] + 1 ≤ + 1，
设 ( ) = 1，导函数 ′( ) = 1，
当 > 0时，导函数 ′( ) > 0，当 < 0时，导函数 ′( ) < 0，
所以函数 ( ) ≥ (0) = 0，所以 + 1 ≤ ，因此2 ( ) ≤ ．
(2)记 ( ) = ( ) + ( )，所以导函数 ′( ) = > 0，
( +1) 2024
因此函数 ( )单调递增， ( ) > (0) = 2023，
1 1
根据第一问知2 ( ) ≤ [ ] + 1 ≤ + 1，所以函数 ( ) ≤ + ，
2 2
2025
所以函数 ( ) ≤ ，在 ∈ (0,2024)上恒成立，所以 ( ) < ( )，
2
所以 ( ) > 0在 ∈ (0,2024)恒成立．
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因此命题 为假命题，又由于 ， 中至少有一个为真命题，所以命题 为真命题，
可转化为 ( )与函数 ( )在(4050,4052)上至少有一个交点，
根据第一问知：当[ ] = 2 ( = 0,1,2,3, )时，函数 ( ) = 0，
1
当[ ] = 2 + 1( = 0,1,2,3, )时，函数 ( ) = ([ ] + 1)，
2
所以函数 ( )在[4051,4052)上的值为2026，在(4050,4051)上的值为零，
(4051) ≤ 2026, 3 3
因此{ 所以 ∈ ( , ]．
(4052) > 2026, 20244053 20244052
(3)证明：分析可得第 + 1个高斯点的坐标为 +1(ln( + 1), + 1)，
第 个高斯点的坐标为 ( , )，
1 1 +1 1
所以 = +1 , = ln ，要证明原不等式，只需证明(
+1 )2 < ，
ln +1 ( +1)
2
1 1 2 1 ( +1) 1所以证( ) < ，代入可得[ln ]2 < ，
+1 ( +1) ( +2) ( +1)
2
( +1) ( +1)( +2) +1
对左边放缩可得[ln ]2 < [ln ]2 = (ln )2，
( +2) ( +2)
+1 1 +1 1 1
只需证明ln < ，设 = √ ∈ (1,2]，所以即证 < ( )．
√ ( +1) 2
2
1 1 1 1 1 ( 1)
令函数 ( ) = + , ′( ) = 2 = 2 < 0， 2 2 2 2 2
所以函数 ( )在(1,2]上单调递减，
2 2
+1 1 +1
因此函数 ( ) < (1) = 0，所以ln < ，所以( +1 )
2
<
．
√ ( +1) +1
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