浙江省浙北六校2024-2025学年八年级上学期期中学情调研数学试卷
1．（2024八上·浙江期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故符合题意．
故选：B．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
2．（2024八上·浙江期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，不能构成三角形，不符合题意；
C、，能构成三角形，符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边的关系，比较两条较短线段的和与较长线段的大小关系，进行判断即可．
3．（2024八上·浙江期中）工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的，两根木条），这样做的依据是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间线段最短
C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角
【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意，这样做的依据是：三角形具有稳定性；
故答案为：A．
【分析】根据三角形的稳定形选择即可．
4．（2024八上·浙江期中）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、，差是锐角，不符合题意；
B、不是钝角，不符合题意；
C、，差是锐角，不符合题意；
D、，差是钝角，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题意举出一个反例为一个钝角与一个锐角的差不是锐角，进行判断即可．
5．（2024八上·浙江期中）如图，这是一个平分角的仪器，，将点A放在一个角的顶点，使AB、AD分别与这个角的两边重合，可证，从而得到AC就是这个角的平分线．其中证明的数学依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
故答案为：A．
【分析】由题意，用边边边可证△ABC≌△ADC．
6．（2024八上·浙江期中）如图，的周长为20，的垂直平分线交于点D、垂足为E，若，则的周长是（ ）
A．17 B．15 C．14 D．12
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点D、垂足为E，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵的周长，
∴的周长是；
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质，得到，，根据三角形的周长求出的长，再根据，推出的周长等于，即可．
7．（2024八上·浙江期中）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是网格上两个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得为等腰三角形的格点C有（ ）个．
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵为等腰三角形，
当以为底的时候，没有合适的格点可以使为等腰三角形，
当以为腰的时候，可以分两种情况：
以点A为顶点时，此时有三个格点可以使为等腰三角形，
以点B为顶点时，此时有五个格点可以使为等腰三角形，
如图所示：
所以共有8个格点可以使为等腰三角形，
故答案选：B．
【分析】为等腰三角形 ，可分类进行讨论：当以为底的时候，没有合适的格点可以使为等腰三角形；当以为腰的时候，又可以分两种情况：①以点A为顶点时，此时有三个格点可以使为等腰三角形；②以点B为顶点时，此时有五个格点可以使为等腰三角形，如图所示，即可得出答案。
8．（2024八上·浙江期中）如图，的面积为，平分，于点P，连结，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长，交于点，
∵平分于点，
∴，
∴，
∴，
，
，
则的面积为，
故答案为：C．
【分析】延长，交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据三角形的中线性质可得，据此即可得解．
9．（2024八上·浙江期中）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
，为的平分线，
．
又，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
为的平分线，，
直线垂直平分，
，
，
点C沿折叠后与点O重合，
，，
，
在中，，
．
故答案为：D．
【分析】连接，根据角平分线可以得到，根据角的和差得到，然后根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和定理即可解题案．
10．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
11．（2024八上·浙江期中）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 ．
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线索截，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，可简说成“内错角相等，两直线平行”.
故答案为： 内错角相等，两直线平行 .
【分析】一个命题一般包括题设和结论两部分，“如果”后面接的是题设，“那么”后面接的结论，将原命题的将题设和结论互换得逆命题.
12．（2024八上·浙江期中）如图，已知，添加一个条件 ，使得．
【答案】或或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：根据SAS判定，可以添加；
根据ASA判定，可以添加；
根据AAS判定，可以添加；
故答案为：或或．
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可.
13．（2024八上·浙江期中）已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为 ．
【答案】18或21
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当5为腰时，三边长为：5、5、8，
∵5+5＞8，
∴ 等腰三角形的周长为5+5+8=18；
②当8为腰时，三边长为：5、8、8，
∵5+8＞8，
∴ 等腰三角形的周长为5+8+8=21；
故答案为： 18或21 .
【分析】分两种情况：①当5为腰时，②当8为腰时，然后先利用三角形的三边关系判断，再求其周长即可.
14．（2024八上·浙江期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数．
15．（2024八上·浙江期中）如图，三角形的面积为30，与交于点E，且，，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解∶连接，
，
，
．
，
，
；
，
，
阴影部分面积等于；
故答案为：12．
【分析】连接，由，得，．由，得，因此；，进而可求阴影部分面积等于×2，即可求解．
16．（2024八上·浙江期中）如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，连，
则，，，，，则的周长的最小值，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
的周长，
∴．
∴的周长的最小值是3．
故答案为：3.
【分析】分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解．
17．（2024八上·浙江期中）如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线 ，求∠ADB的度数．
【答案】解：∵AD是△ABC的一条角平分线，
∴，
∵，∠BAC=68°，∠B=36°，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义得到∠CAD的度数，然后根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可．
18．（2024八上·浙江期中）如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先根据平行得到，然后利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，再根据即可解题．
（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
19．（2024八上·浙江期中）已知：如图，，，求证：．
小桐的证明方法如下框：
证明：连结． 在和中， ∵， ∴≌， ∴．
小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程．
【答案】解：小桐的证明是利用证明三角形全等，而不能判定三角形全等，故小桐的证明不正确；
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】小桐的证明是利用证明三角形全等，根据不能判定三角形全等，可知，小桐的证明是错误的，连接，等边对等角，得到，根据，得到，等角对等边，得到即可．
20．（2024八上·浙江期中）如图，在中，．
（1）作的角平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：设点到的距离为，
∵是的角平分线，，
∴，
∴的面积
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）根据角平分线的性质，得到点到边的距离等于的长，再利用面积公式进行计算即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：设点到的距离为，
∵是的角平分线，，
∴，
∴的面积．
21．（2024八上·浙江期中）如图，是等边三角形，是高线，延长至E，使．
（1）求的度数；
（2）求证：．
【答案】（1）解：∵是等边三角形，是高线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）证明：∵是等边三角形，是高线，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形可得，即可得到CE=CD，即可得到，然后利用三角形的外角性质得到的度数即可；
（2）根据三线合一得到，即可得到，然后根据等校对等边得到结论即可．
（1）解：∵是等边三角形，是高线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，是高线，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
22．（2024八上·浙江期中）如图，在与中，，，，连接，，且点B在上．
（1）求证：；
（2）和有何位置关系？请说明理由，
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2），理由如下：
设交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据角的和差得到，然后根据SAS得到解题即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，然后得到，即可证明结论．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
设交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
23．（2024八上·浙江期中）在中，，，，点在边上，且，过点作射线（与在同侧），若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为．连接、．
（1）如图①，求证：当时，；
（2）如图②，当，垂足为时，求此时的值．
【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据垂直定义和同角的余角相等得到，进而利用全等三角形的判定“”可得结论；
（2）先证明，进而证明，利用全等三角形的性质得到，进而可求解．
（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
24．（2024八上·浙江期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（3）在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数．
【答案】（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）解：如图，
当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求；
（2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可．
（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或．
浙江省浙北六校2024-2025学年八年级上学期期中学情调研数学试卷
1．（2024八上·浙江期中）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024八上·浙江期中）下列各组长度的线段能构成三角形的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
3．（2024八上·浙江期中）工人师傅在做完门框后，为防止变形常常像图中所示的那样上两条斜拉的木条（即图中的，两根木条），这样做的依据是（ ）
A．三角形具有稳定性 B．两点之间线段最短
C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角
4．（2024八上·浙江期中）能说明命题“一个钝角与一个锐角的差一定是锐角”是假命题的反例是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024八上·浙江期中）如图，这是一个平分角的仪器，，将点A放在一个角的顶点，使AB、AD分别与这个角的两边重合，可证，从而得到AC就是这个角的平分线．其中证明的数学依据是（ ）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
6．（2024八上·浙江期中）如图，的周长为20，的垂直平分线交于点D、垂足为E，若，则的周长是（ ）
A．17 B．15 C．14 D．12
7．（2024八上·浙江期中）在如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是网格上两个格点，如果点C也是图中的格点，那个使得为等腰三角形的格点C有（ ）个．
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2024八上·浙江期中）如图，的面积为，平分，于点P，连结，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024八上·浙江期中）如图，在等腰中，，，的平分线与的垂直平分线交于点O，点C沿折叠后与点O重合，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八上·浙江期中）如图，在中，，，的平分线分别交、于点D、E，、相交于点F，连接．下列结论：①；②；③；④点F到三边的距离相等；⑤．其中错误的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2024八上·浙江期中）“两直线平行，内错角相等”的逆命题是 ．
12．（2024八上·浙江期中）如图，已知，添加一个条件 ，使得．
13．（2024八上·浙江期中）已知等腰三角形的两边长分别为5和8，则这个等腰三角形的周长为 ．
14．（2024八上·浙江期中）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动，若，则的度数是 ．
15．（2024八上·浙江期中）如图，三角形的面积为30，与交于点E，且，，则图中阴影部分的面积为 ．
16．（2024八上·浙江期中）如图，已知，P是内一点，，M、N分别是、上的动点，则的周长的最小值是 ．
17．（2024八上·浙江期中）如图，在△ABC中，∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线 ，求∠ADB的度数．
18．（2024八上·浙江期中）如图，点A，F，C，D在一条直线上，，，．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
19．（2024八上·浙江期中）已知：如图，，，求证：．
小桐的证明方法如下框：
证明：连结． 在和中， ∵， ∴≌， ∴．
小桐的证明是否正确？若正确，请写出这两个三角形全等的理由；若错误，请写出你的证明过程．
20．（2024八上·浙江期中）如图，在中，．
（1）作的角平分线（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）若，，求的面积．
21．（2024八上·浙江期中）如图，是等边三角形，是高线，延长至E，使．
（1）求的度数；
（2）求证：．
22．（2024八上·浙江期中）如图，在与中，，，，连接，，且点B在上．
（1）求证：；
（2）和有何位置关系？请说明理由，
23．（2024八上·浙江期中）在中，，，，点在边上，且，过点作射线（与在同侧），若动点从点出发，沿射线匀速运动，运动速度为，设点的运动时间为．连接、．
（1）如图①，求证：当时，；
（2）如图②，当，垂足为时，求此时的值．
24．（2024八上·浙江期中）定义：如果一条线段将一个三角形分成两个等腰三角形，我们把这条线段叫做这个三角形的“二分线”；如果两条线段将一个三角形分成三个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的“三分线”．
（1）三角形内角度数如图1所示，在图中画出“二分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（2）图2是一个顶角为的等腰三角形，在图中画出“三分线”，并标出每个等腰三角形的顶角度数；
（3）在中，其最小的内角，过顶点B的一条线段是的“二分线”，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、不是轴对称图形，故符合题意．
故选：B．
【分析】轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，据此逐项判断即可.
2．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、，不能构成三角形，不符合题意；
B、，不能构成三角形，不符合题意；
C、，能构成三角形，符合题意；
D、，不能构成三角形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边的关系，比较两条较短线段的和与较长线段的大小关系，进行判断即可．
3．【答案】A
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：由题意，这样做的依据是：三角形具有稳定性；
故答案为：A．
【分析】根据三角形的稳定形选择即可．
4．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、，差是锐角，不符合题意；
B、不是钝角，不符合题意；
C、，差是锐角，不符合题意；
D、，差是钝角，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据题意举出一个反例为一个钝角与一个锐角的差不是锐角，进行判断即可．
5．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：在△ABC和△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SSS）．
故答案为：A．
【分析】由题意，用边边边可证△ABC≌△ADC．
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵的垂直平分线交于点D、垂足为E，
∴，，
∴，
∵的周长为，
∴，
∵的周长，
∴的周长是；
故答案为：C．
【分析】根据垂直平分线的性质，得到，，根据三角形的周长求出的长，再根据，推出的周长等于，即可．
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：∵为等腰三角形，
当以为底的时候，没有合适的格点可以使为等腰三角形，
当以为腰的时候，可以分两种情况：
以点A为顶点时，此时有三个格点可以使为等腰三角形，
以点B为顶点时，此时有五个格点可以使为等腰三角形，
如图所示：
所以共有8个格点可以使为等腰三角形，
故答案选：B．
【分析】为等腰三角形 ，可分类进行讨论：当以为底的时候，没有合适的格点可以使为等腰三角形；当以为腰的时候，又可以分两种情况：①以点A为顶点时，此时有三个格点可以使为等腰三角形；②以点B为顶点时，此时有五个格点可以使为等腰三角形，如图所示，即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；等腰三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，延长，交于点，
∵平分于点，
∴，
∴，
∴，
，
，
则的面积为，
故答案为：C．
【分析】延长，交于点，先根据等腰三角形的三线合一可得，再根据三角形的中线性质可得，据此即可得解．
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，连接，
，为的平分线，
．
又，
．
是的垂直平分线，
，
，
．
为的平分线，，
直线垂直平分，
，
，
点C沿折叠后与点O重合，
，，
，
在中，，
．
故答案为：D．
【分析】连接，根据角平分线可以得到，根据角的和差得到，然后根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和定理即可解题案．
10．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
11．【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线索截，结论是：内错角相等．将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，可简说成“内错角相等，两直线平行”.
故答案为： 内错角相等，两直线平行 .
【分析】一个命题一般包括题设和结论两部分，“如果”后面接的是题设，“那么”后面接的结论，将原命题的将题设和结论互换得逆命题.
12．【答案】或或
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：根据SAS判定，可以添加；
根据ASA判定，可以添加；
根据AAS判定，可以添加；
故答案为：或或．
【分析】根据全等三角形的判定方法解答即可.
13．【答案】18或21
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：分两种情况：
①当5为腰时，三边长为：5、5、8，
∵5+5＞8，
∴ 等腰三角形的周长为5+5+8=18；
②当8为腰时，三边长为：5、8、8，
∵5+8＞8，
∴ 等腰三角形的周长为5+8+8=21；
故答案为： 18或21 .
【分析】分两种情况：①当5为腰时，②当8为腰时，然后先利用三角形的三边关系判断，再求其周长即可.
14．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：，
，，
，
，
，，
．
故答案为：．
【分析】根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数．
15．【答案】12
【知识点】三角形的面积
【解析】【解答】解∶连接，
，
，
．
，
，
；
，
，
阴影部分面积等于；
故答案为：12．
【分析】连接，由，得，．由，得，因此；，进而可求阴影部分面积等于×2，即可求解．
16．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，连，
则，，，，，则的周长的最小值，
∵，
∴，
∴是等边三角形．
的周长，
∴．
∴的周长的最小值是3．
故答案为：3.
【分析】分别作点P关于，的对称点，，连接交于M，交于N，的周长，然后证明是等边三角形，即可求解．
17．【答案】解：∵AD是△ABC的一条角平分线，
∴，
∵，∠BAC=68°，∠B=36°，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的概念
【解析】【分析】根据角平分线的定义得到∠CAD的度数，然后根据三角形的内角和定理求得∠C的度数，然后利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和解题即可．
18．【答案】（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）先根据平行得到，然后利用证明即可；
（2）根据全等三角形的性质得到，再根据即可解题．
（1）证明：∵，
∴，
在和中
，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∴．
19．【答案】解：小桐的证明是利用证明三角形全等，而不能判定三角形全等，故小桐的证明不正确；
如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】小桐的证明是利用证明三角形全等，根据不能判定三角形全等，可知，小桐的证明是错误的，连接，等边对等角，得到，根据，得到，等角对等边，得到即可．
20．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：设点到的距离为，
∵是的角平分线，，
∴，
∴的面积
【知识点】角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法，作图即可；
（2）根据角平分线的性质，得到点到边的距离等于的长，再利用面积公式进行计算即可．
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：设点到的距离为，
∵是的角平分线，，
∴，
∴的面积．
21．【答案】（1）解：∵是等边三角形，是高线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
（2）证明：∵是等边三角形，是高线，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形可得，即可得到CE=CD，即可得到，然后利用三角形的外角性质得到的度数即可；
（2）根据三线合一得到，即可得到，然后根据等校对等边得到结论即可．
（1）解：∵是等边三角形，是高线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）证明：∵是等边三角形，是高线，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
（2），理由如下：
设交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先根据角的和差得到，然后根据SAS得到解题即可；
（2）根据全等三角形的对应角相等得到，然后得到，即可证明结论．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2），理由如下：
设交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
【知识点】三角形的综合；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）根据垂直定义和同角的余角相等得到，进而利用全等三角形的判定“”可得结论；
（2）先证明，进而证明，利用全等三角形的性质得到，进而可求解．
（1）证明：∵，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）解：如图，
当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）在上取一点，连接，使得，线段即为所求；
（2）取的中点，再过点作于点，然后连接，即可求解；
（3）分三种情况讨论：当，时，当，时，当时，当，时，根据三角形的内角和与三角形的外角性质求解即可．
（1）解：如图即为所求：
（2）如图即为所求：
（3）当，时，，
，
，
；
当，时，，
，
；
当时，，
，
，
；
当，时，，，
，
，
此时在中，其最小的内角为，故此种情况不符合题意；
综上所述，的度数为或或．
