第二节 与圆有关的位置关系
基础巩固
1. 已知☉O的半径为6，圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，3)，则点P与☉O的位置关系是( )
A. 点P在☉O内 B. 点P在☉O上
C. 点P在☉O外 D. 点P在☉O上或☉O外
2. (人教九上练习改编)已知☉O的直径为8，直线l上有一点P满足PO＝4，则直线l与☉O的位置关系是( )
A. 相切 B. 相离 C. 相离或相切 D. 相交或相切
3. (2024佛山顺德区二模)如图，AB是☉O的直径，C，D是☉O上的点，过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E.若∠E＝36°，则∠BDC的度数为( )
A. 27° B. 32° C. 36° D. 54°
第3题图
4. (2024山西)如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O交BC于点D，与AC相切于点A，连接O D.若∠AOD＝80°，则∠C的度数为( )
第4题图
A. 30° B. 40° C. 45° D. 50°
5. (2024福建)如图，已知点A，B在☉O上，∠AOB＝72°，直线MN与☉O相切，切点为C，且C为的中点，则∠ACM等于( )
第5题图
A. 18° B. 30° C. 36° D. 72°
6. (2024珠海模拟)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝100°，☉O与AB，BC分别切于点D，C，连接C D.则∠ACD的度数为( )
第6题图
A. 50° B. 40° C. 30° D. 20°
7. (2024珠海模拟)如图，△ABC的内切圆☉O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，且AD＝2，△ABC的周长为14，则BC的长为 .
第7题图
8. (2023北京)如图，OA是☉O的半径，BC是☉O的弦，OA⊥BC于点D，AE是☉O的切线，AE交OC的延长线于点E.若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为 .
第8题图
9. 如图，AB为☉O的切线，切点为A，连接OB与☉O交于点C，点D为圆上一点，连接AD，CD，若∠ADC＝30°，OC＝1，则AB的长为 .
第9题图
10. (2024中山一模)日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影记时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度.小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察.如图，日晷的平面是以点O为圆心的圆，线段DE为日晷的底座，点C为日晷与底座的接触点，DE与☉O相切于点C，点A，B，F均在☉O上，且AB为直径，OA，OB，OF为不同时刻晷针的影长，OF，OB的延长线分别与DE相交于点E，D，连接AC，BC，已知OE∥B C.
(1)求证：OF⊥AC；
(2)若OE＝4，AB＝2，求BC的长.
第10题图
能力提升
11. (2024泸州)如图，EA，ED是☉O的切线，切点为A，D，点B，C在☉O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝( )
第11题图
A. 56°
B. 60°
C. 68°
D. 70°
12. (2024佛山禅城区三模)综合探究
如图①，在等腰△ABC中，BA＝BC，AD⊥BC于点D，一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E，与AB相切于点F，连接EF.
(1)求证：EF∥AC；
(2)如图②，过点E作EG∥AD交圆于点G，连接AG，求证：四边形ADEG是矩形；
(3)EG与AC的交点是圆心的位置吗？为什么？
图① 图②
第12题图
1. A 【解析】∵圆心O的坐标为(0，0)，点P的坐标为(4，3)，∴OP＝＝5.∵5＜6，∴点P在☉O内.
2. D 【解析】∵直线l上有一点P满足PO＝4，∴点O到直线l的距离小于或等于4.∵☉O的直径为8，∴直线l与☉O的位置关系是相交或相切.
3. A 【解析】如解图，连接OC，∵CE为☉O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE＝90°.∵∠E＝36°，∴∠COE＝90°－36°＝54°，∴∠BDC＝∠COE＝27°.
第3题解图
4. D 【解析】∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠B，∴∠AOD＝2∠B＝80°，∴∠B＝40°.∵☉O与AC相切于点A，且AB为直径，∴AB⊥AC，即∠A＝90°，∴∠C＝90°－∠B＝50°.
5. A 【解析】∵∠AOB＝72°，C为的中点，∴∠AOC＝∠BOC＝∠AOB＝36°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝＝72°.∵直线MN与☉O相切，切点为C，OC为☉O的半径，∴OC⊥MN，∴∠Ocm＝90°，∴∠Acm＝90°－∠OCA＝90°－72°＝18°.
6. C 【解析】∵AC＝BC，∠ACB＝100°，∴∠B＝∠A＝×(180°－100°)＝40°.∵☉O与AB，BC分别切于点D，C，∴BD＝BC，∴∠BCD＝∠BDC.∵∠BCD＋∠BDC＋∠B＝180°，∴2∠BCD＋40°＝180°，∴∠BCD＝70°，∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝100°－70°＝30°.
7. 5 【解析】∵☉O与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∴AF＝AD＝2，BD＝BE，CE＝CF，∵△ABC的周长为14，∴AD＋AF＋BE＋BD＋CE＋CF＝14，∴2(BE＋CE)＝10，∴BC＝5.
8. 【解析】∵OA是☉O的半径，AE是☉O的切线，∴∠A＝90°.∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，∴OD＝CD，OA＝AE，∵OA⊥BC，∴CD＝BC＝1，∴OD＝CD＝1，∴OC＝OD＝，∴AE＝OA＝OC＝.
9. 【解析】如解图，连接OA，∵AB与☉O相切于点A，∴AB⊥OA，∴∠OAB＝90°.∵∠ADC＝30°，∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，∴＝tan 60°＝.∵OA＝OC＝1，∴AB＝OA＝×1＝.
第9题解图
10. (1)证明：∵AB为☉O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴BC⊥AC.
∵OE∥BC，
∴OE⊥AC.
即OF⊥AC.
(2)解：如解图，连接OC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC.
∵OE∥BC，
∴∠OCB＝∠EOC，
∴∠OBC＝∠EOC.
∵EC是☉O的切线，
∴OC⊥EC，
∴∠OCE＝90°，
∴∠OCE＝∠ACB，
∴△OCE∽△BCA，
∴＝，
∴＝，
∴BC＝.
第10题解图
11. C 【解析】如解图，连接AD，∵四边形ABCD是☉O的内接四边形，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.∵∠BAE＋∠BCD＝236°，∴∠BAE＋∠BCD－(∠BAD＋∠BCD)＝236°－180°，即∠BAE－∠BAD＝56°，∴∠EAD＝56°.∵EA，ED是☉O的切线，根据切线长定理得EA＝ED，∴∠EDA＝∠EAD＝56°，∴∠E＝180°－∠EAD－∠EDA＝180°－56°－56°＝68°.
第11题解图
12. (1)证明：∵BE，BF为圆的切线，
∴BE＝BF.
∵BA＝BC，
∴＝.
∵∠FBE＝∠ABC，
∴△BFE∽△BAC，
∴∠BFE＝∠BAC，
∴EF∥AC.
(2)证明：∵EG∥AD，AD⊥BC，
∴EG⊥BC.
∵BE与圆相切于点E，
∴EG为圆的直径.
∵圆的直径与AD相等，
∴EG＝AD，
∴四边形ADEG是平行四边形.
∵∠ADE＝90°，
∴四边形ADEG是矩形.
(3)解：EG与AC的交点是圆心的位置，理由：
连接FG(图略)，
由(2)知EG为圆的直径，
∴∠GFE＝90°，EG经过圆心，
∴GF⊥EF.
由(1)知EF∥AC，
∴GF⊥AC.
∵四边形ADEG是矩形，
∴AG⊥EG，
∴AG为圆的切线.
∵AF为圆的切线，
∴AF＝AG，
∴AC为FG的垂直平分线，
∴AC经过圆的圆心，
∴EG与AC的交点是圆心的位置.
