第二节 矩 形
基础巩固
1. (2024佛山顺德区三模)如图，在 ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添如一个条件，可推出 ABCD是矩形，那么这个条件可以是( )
A. AB＝CD B. AC＝BD C. AC⊥BD D. AB⊥BD
第1题图
2. (2024辽宁)如图，在矩形ABCD中，点E在AD上，当△EBC是等边三角形时，∠AEB为( )
第2题图
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
3. (2023兰州)如图，在矩形ABCD中，点E为BA延长线上一点，F为CE的中点，以B为圆心，BF长为半径的圆弧过AD与CE的交点G，连接BG.若AB＝4，CE＝10，则AG＝( )
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
第3题图
4. (2024甘肃省卷)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ABD＝60°，AB＝2，则AC的长为 ( )
第4题图
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
5. (2024珠海模拟)如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝6，BC＝8，则AE的长为( )
A. B. 6 C. D. 5
第5题图
6. 如图，在矩形ABCD中，点O是对角线AC的中点，E，F分别为BC，CD的中点，若∠AOB＝80°，则∠OFE的度数为( )
第6题图
A. 40° B. 50° C. 60° D. 70°
7. (人教八下复习题改编)如图，F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，已知DE＝2BC，CD＝6，则CF的长为 .
第7题图
8. 如图，AC是矩形ABCD的对角线，点O，E分别是AC，BC的中点，连接DO，EO，DE，DE交AC于点F，若AB＝6，BC＝8，则△DOE的周长为 .
第8题图
9. (北师九上例题改编)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，AE垂直平分BO，若AE＝，则矩形ABCD的周长为 .
第9题图
10. (北师九上习题改编)如图，在矩形ABCD中，E是边CD上的点，连接BE，AE，AE＝A B.
求证：BE平分∠AE C.
第10题图
11. (2024兰州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，CE∥AD，AE⊥AD，EF⊥A C.
(1)求证：四边形ADCE是矩形；
(2)若BC＝4，CE＝3，求EF的长.
第11题图
能力提升
12. (2024包头)如图，在矩形ABCD中，E，F是边BC上两点，且BE＝EF＝FC，连接DE，AF，DE与AF相交于点G，连接BG.若AB＝4，BC＝6，则sin ∠GBF的值为( )
第12题图
A. B. C. D.
13. (2024珠海香洲区二模)矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上，且AN＝AB＝1.当以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，AD的长为 .
1. B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，添加AC＝BD，∴ ABCD是矩形.
2. C 【解析】∵△EBC是等边三角形，∴∠EBC＝60°.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC＝60°，故选项C正确.
3. C 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°.∵F是CE的中点，∴BF＝CF＝EF＝CE＝5，由题意得BG＝BF，∴AG＝＝＝3.
4. C 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，∠DAB＝90°.∵∠ABD＝60°，∴∠ADB＝90°－∠ABD＝30°.∵AB＝2，∴在Rt△ABD中，BD＝2AB＝4，∴AC＝BD＝4.
5. C 【解析】∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，∴AD＝BC＝8，AB＝CD＝6，∠ADC＝90°，AC＝10，OA＝OC＝AC＝5.∵OE⊥AC，∴∠AOE＝90°，∵∠CAD＝∠EAD，∴△CAD∽△EAO，∴＝，∴＝，∴AE＝.
6. A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，点O是对角线AC的中点，∴AO＝BO，∠ABO＝(180°－80°)÷2＝50°，∴∠OBC＝90°－50°＝40°.∵点O，F分别是AC，DC的中点，∴OF是△ACD的中位线，∴OF＝AD＝BC，且OF∥BC，∴四边形OBEF是平行四边形，∴∠OFE＝∠OBC＝40°.
7. 2 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∴△BCF∽△EDF，∴＝.∵DE＝2BC，CD＝6，∴＝＝，∴＝，∴CF＝2.
8. 8＋2 【解析】∵点O，E分别是AC，BC的中点，AB＝6，BC＝8，∴OE是△ABC的中位线，CE＝BC＝4，∴OE＝AB＝3.∵四边形ABCD为矩形，∴∠B＝∠CDA＝∠DCB＝90°，AO＝CO，CD＝AB＝6，在Rt△ABC中，AC＝＝10，∴DO＝AO＝5，在Rt△CDE中，DE＝＝2.∴△DOE的周长为DO＋OE＋DE＝8＋2.
9. 4＋4 【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB.∵AE垂直平分BO，∴OE＝BE＝OB＝OA，∴∠OAE＝30°，∴∠BAO＝60°，AB＝OA＝OB. ∵AE＝，∴AB＝2，BC＝AB·tan 60°＝2，∴矩形ABCD的周长为2(AB＋BC)＝4＋4.
10. 证明：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CEB＝∠ABE，
∴∠CEB＝∠AEB，
即BE平分∠AEC.
11. (1)证明：在△ABC中，∵AB＝AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.
∵AE⊥AD，∴∠EAD＝90°.
∵CE∥AD，
∴∠ADC＋∠DCE＝180°.
∴∠DCE＝90°.
∴∠ADC＝∠DCE＝∠EAD＝90°.
∴四边形ADCE是矩形.
(2)解：∵BC＝4，D是BC的中点，∴CD＝2.
∵四边形ADCE是矩形，CE＝3，
∴AD＝CE＝3.
∴在Rt△ADC中，
AC＝＝.
∵四边形ADCE是矩形，CD＝2，
∴AE＝2.
∵EF⊥AC，
∴AC·EF＝AE·CE.
∴EF＝.
12. A 【解析】∵四边形ABCD是矩形，BE＝EF＝FC，AB＝4，BC＝6，∴AD＝BC＝6，AD∥BC，BE＝EF＝FC＝2，∴△AGD∽△FGE，BF＝4，∴＝＝，∴＝，如解图，过点G作GH⊥BC于点H，则GH∥AB，∴△GHF∽△ABF，∴＝＝＝，∴FH＝BF＝1，GH＝AB＝1，∴BH＝BF－FH＝3，∴BG＝＝，∴sin∠GBF＝＝＝.
第12题解图
13. 2或1＋ 【解析】以点D，M，N为顶点的三角形是直角三角形时，分两种情况：①如解图①，当∠MND＝90°时，MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∴MN∥AB.∵M为对角线BD的中点，∴MN是△ABD的中位线，∴AN＝DN.∵AN＝AB＝1，∴AD＝2AN＝2；如解图②，当∠NMD＝90°时，MN⊥BD，∵M为对角线BD的中点，∴BM＝DM，∴MN垂直平分BD，∴BN＝DN.∵∠A＝90°，AB＝AN＝1，∴BN＝AB＝，∴AD＝AN＋DN＝1＋.综上所述，AD的长为2或1＋.
图① 图②
第13题解图
