第四节 全等三角形
基础巩固
1. (人教八上习题改编)已知图中的两个三角形全等，则∠1的度数是( )
A. 76° B. 60° C. 54° D. 50°
第1题图
2. (北师八下习题改编)如图，若△ABF≌△CDE，则下列结论中一定成立的是( )
第2题图
A. AB＝CE B. ∠FAB＝∠ECD
C. BF＝EF D. ∠ABF＝∠DCE
3. 数学课上，同学们探讨利用不同工具作角的平分线的方法，小明说：“我用两块完全相同的含30°角的直角三角板就可以作角平分线，把直角三角板按如图所示的位置放置，两顶点交于点P，则射线OP是∠AOB的平分线.”小明这样作的理论依据是( )
第3题图
A. HL B. AAS
C. SSS D. ASA
4. (2024遂宁)如图①，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”( )
图① 图②
第4题图
A. 1对 B. 2对
C. 3对 D. 4对
5. (人教八上习题改编)如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，AD，CE相交于点O，且AD＝CE，已知∠ACE＝25°，则∠OCD的度数为( )
A. 40° B. 45°
C. 30° D. 50°
第5题图
6. (2024佛山模拟)如图，在四边形ABCD中，AD⊥AB，AC⊥BC，且AD＝CD＝AB＝4，则BC的长为 .
第6题图
7. (2024临夏州)如图，在△ABC中，点A的坐标为(0，1)，点B的坐标为(4，1)，点C的坐标为(3，4)，点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD与△ABC全等，点D的坐标是 .
第7题图
8. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长BC至点D，使得CD＝AB，过点D作DE⊥AB于点E，作CF∥AB交DE于点F.求证：AC＝DF.
第8题图
9. (2024长沙)如图，点C在线段AD上，AB＝AD，∠B＝∠D，BC＝DE.
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)若∠BAC＝60°，求∠ACE的度数.
第9题图
能力提升
10. (2024烟台节选)在等腰直角△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为直线 BC 上任意一点，连接A D. 将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°得线段 ED， 连接 BE.
【尝试发现】
(1)如图①，当点D 在线段BC 上时，线段 BE 与CD的数量关系为 ；
【类比探究】
(2)当点D 在线段BC 的延长线上时，先在图②中补全图形，再探究线段 BE 与CD 的数量关系并证明.
图① 图②
第10题图
1. D 【解析】第一个三角形中b，c之间的夹角为180°－76°－54°＝50°，∠1是b，c之间的夹角.∵两个三角形全等，∴∠1＝50°.
2. B 【解析】由△ABF≌△CDE，可得AB＝CD，∠FAB＝∠ECD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE.
3. A 【解析】由题意得∠OMP＝∠ONP＝90°.∵MP＝NP，OP＝OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP，∴∠MOP＝∠NOP，即射线OP是∠AOB的平分线.此过程中判定三角形全等的依据是HL.
4. D 【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，易证得△ABE≌△ACD，∴AE＝AD，在△ABD和△ABE中，∠B＝∠B，AB＝AB，AD＝AE，∠BAD≠∠BAE；在△ACE和△ACD中，∠C＝∠C，AC＝AC，AE＝AD，∠CAE≠∠CAD；在△ABD和△ACD中，∠B＝∠C，AB＝AC，AD＝AD，∠BAD≠∠CAD；在△ACE和△ABE中，∠B＝∠C，AE＝AE，AC＝AB，∠CAE≠∠BAE.综上所述，共有4对“伪全等三角形”.
5. A 【解析】∵AD＝CE，∠CEA＝∠ADC＝90°，AC＝CA，∴Rt△CEA≌Rt△ADC(HL)，∴∠ACE＝∠CAD＝25°.∵∠ACD＝90°－∠CAD＝65°，∴∠OCD＝∠ACD－∠ACE＝40°.
6. 【解析】如解图，过点D作DE⊥AC于点E.∵AD⊥AB，AC⊥BC，∴∠DEA＝∠DAB＝∠ACB＝90°，∴∠DAE＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DAE＝∠B.又∵AD＝AB，∴△DAE≌△ABC(AAS)，∴AE＝BC.∵AD＝CD，DE⊥AC，∴AC＝2AE，设CB＝x，则AE＝x，AC＝2x，∵AC2＋BC2＝AB2，∴(2x)2＋x2＝42，解得x＝，∴BC＝.
第6题解图
7. (1，4) 【解析】∵点D在第一象限(不与点C重合)，且△ABD与△ABC全等，∴△BAD≌△ABC，∴AD＝BC，BD＝AC，如解图所示，由图可知D(1，4).
第7题解图
8. 证明：∵DE⊥AB，CF∥AB，
∴∠DCF＝∠ABC，
∠DFC＝∠DEB＝90°，
∴∠DFC＝∠ACB＝90°.
在△ABC和△DCF中，
，
∴△ABC≌△DCF(AAS)，
∴AC＝DF.
9. (1)证明：在△ABC与△ADE中，
∴△ABC≌△ADE(SAS)；
(2)解：∵△ABC≌△ADE，
∴AC＝AE，∠CAE＝∠BAC＝60°.
∴△ACE是等边三角形，
∴∠ACE＝60°.
10. 解：(1)BE＝CD.
(2)补全图形如解图，BE＝CD.
证明：如解图，过点E作EF⊥BC于点F，∴∠DFE＝∠BFE＝∠ACD＝90°.
∵∠ADE＝90°，
∴∠DAC＋∠ADC＝∠EDF＋∠ADC＝90°，
∴∠EDF＝∠DAC，
又∵DE＝DA，∴△DEF≌△ADC(AAS)，
∴EF＝CD，DF＝AC＝BC，
∴DF－CF＝BC－CF，
∴CD＝BF，∴EF＝BF，
∴△BEF为等腰直角三角形，
∴BE＝EF＝CD.
第10题解图
