衡山县前山片联考2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题
（时长：120分钟） （总分：120分）
一、填空题（共计30分，每小题30分）
1.式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
A. x＜1 B. x ≤1 C. x＞1 D. x ≥1
2.已知x=1是关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（ ）
A．1 B．-1 C．0 D．无法确定
3.用配方法解方程x2+4x+1=0，经过配方，得到（ ）
A（x+2）2=5 B．（x﹣2）2=5 C．（x﹣2）2=3 D．（x+2）2=3
4.已知，则的值是（ ）
A． B． C． D .
5.如图，△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC=（ ）
A． 1：2 B．2：3 C．1：3 D． 1：4
6.如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（ ）
A． 10米 B．10米 C．20米 D. 米
7.如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A.∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．
8.已知实数x1，x2满足x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以x1，x2为根的一元二次方程是( )
A. x2－7x＋12＝0 B. x2＋7x＋12＝0
C. x2＋7x－12＝0 D. x2－7x－12＝0
9．给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= m．
填空题（共计24分，每小题3分）
11.计算：cos245°+tan30° sin60°= _________
12.关于x的方程2x2－ax＋1＝0的一个根是1，则它的另一个根为________．
13.在△ABC中，若|tan A－3|＋(cos B－)2＝0，则∠C的度数是________．
14．在△ABC中，BC＝2，AB＝2，AC＝b，且关于x的方程x2－4x＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．
15.已知△ABC中，tan B＝，BC＝6，过点A作BC边上的高，垂足为点D，且满足BD∶CD＝2∶1，则△ABC面积的所有可能值为________．
16.如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于点E，∠CPD＝∠A＝∠B，BC交PD于点F，AD交PC于点G，则图中相似三角形有________对．
17.为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD.已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tan E＝，则CE的长为________米．
如图所示，双曲线y＝经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足＝，与BC交于点D，S△BOD＝21，则k＝________．
三、解答题（66分）
19、计算题：（总分8分，每小题4分）
＋|－3|－2sin 60°－()2＋20170
(2－)98(2＋)99－2×|－|－()0.
解方程：（总分8分，每小题4分）
（2）(2x－5)2－2＝0；
已知x1，x2是关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0的两个根，是否存在实数m，使x12＋x22－x1x2＝21成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．（6分）
已知x＝，y＝，求＋和(x－1)(y－1)的值．（6分）
23、（8分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
24、（8分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
(1)如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
(2)按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
25、（10分）今年“五一”长假期间，小陈、小余同学和家长去沙滩公园游玩，坐在如图的椅子上休息时，小陈感觉很舒服，激发了她对这把椅子的好奇心，就想出个问题考考同学小余，小陈同学先测量，根据测量结果画出了图1的示意图
(图2).在图2中，已知四边形ABCD是平行四边形，座板CD与地面MN平行，△EBC是等腰三角形且BC＝CE，∠FBA＝114.2°，靠背FC＝57 cm，支架AN＝43 cm，扶手的一部分BE＝16.4 cm.这时她问小余同学，你能算出靠背顶端F点距地面(MN)的高度是多少吗？请你帮小余同学算出结果(最后结果保留一位小数).(参考数据：sin 65.8°≈0.91，cos 65.8°≈0.41，tan 65.8°≈2.23)
26．(12分)已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点A，C的坐标分别为A(－3，0)，C(1，0)，tan ∠BAC＝.
(1)求过点A，B的直线的函数表达式；
(2)在x轴上找一点D，连结DB，使得△ADB与△ABC相似(不包括全等)，并求点D的坐标；
(3)在(2)的条件下，若P，Q分别是AB和AD上的动点，连结PQ，设AP＝DQ＝m，问是否存在这样的m使得△APQ与△ADB相似，如存在，请求出m的值；如不存在，请说明理由．
