2024—2025学年第一学期九年级月考
《数学》试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．中国传统扇文化有着深厚的底蕴，下列扇面图形是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．一元二次方程化成一般形式后，一次项系数和常数项分别为（ ）
A．，6 B．1， C． D．1，
3．下列说法中正确的是（ ）
A．不可能事件发生的概率为1
B．“相等的圆心角所对的弧相等”是必然事件
C．“抛一枚硬币，正面向上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上
D．“抛一枚均匀的正方体骰子，朝上的点数是6的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数是6”这一事件发生的频率稳定右在附近
4．若抛物线平移后经过原点，则抛物线经过了（ ）
A．向上平移3个单位 B．向下平移3个单位 C．向左平移3个单位 D．向右平移3个单位
5．下列函数在第一象限中，y的值随着x的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
6．某电影第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达18亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，分别是的直径和弦，于点D，连接，且，则的长为（ ）
A． B．4 C． D．4.8
8．如图，边长为1的正方形绕点A逆时针旋转45度后得到正方形，边与交于点O，则四边形的周长是（ ）
A．3 B． C． D．
9．某同学在研究二次函数（h为常数）的性质时得到以下结论：
①这个函数图像的顶点始终在直线上；
②当时，y随x的增大而减小，则h的取值范围为；
③点与点在函数图像上，若，则；
④存在一个h的值，使得函数图像与x轴的两个交点和函数图像的顶点构成等腰直角三角形．
其中错误结论的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
10．如图，半径为1的的圆心是坐标原点，P为直线上一点，过点P作的切线，切点为A，连接．下列结论：①当为等腰直角三角形时，点P坐标为；②当时，点P坐标为；③面积最小值为；④．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．若关于x的一元二次方程有一根为0，则____________．
12．如图，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作为同一个圆锥的侧面和底面，则的长为____________
13．小明做试验：在平整的桌面上摆放一张的正方形白纸，并画出正方形的内切圆，随机将一把大米撒到白纸上（若大米落在白纸外，则重新试验），统计落在圆内的米粒数a、落在正方纸上的米粒数b．当这样的试验次数很大时，大米落在圆内的频率会在常数____________（结果保留π）附近摆动
14．如图，是半圆O的直径，按以下步骤作图：
（1）分别以A，B为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点P，连接与半圆交于点C；
（2）分别以A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点Q，连接与半圆交于点D；
（3）连接，与交于点E．
根据以上作图过程及所作图形，下列结论：
①平分；②；③；④；正确结论有____个．
15．如图，在中，，，．点D为的中点，点P在上，且，将绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接．当时，的长为____________．
三、解答题（共75分）
16．（8分）解下列方程
（1） （2）
17．（9分）已知关于x的一元二次方程．
（1）时，求证：方程一定有两个实数根．
（2）有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，乙袋中装有4个除数字外完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为b，从乙袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为c，利用列表法或者树状图，求b、c的值使方程有两个相等的实数根的概率．
18．（9分）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长，篱笆长．设垂直于墙的边长为x米，围成的矩形面积为．
（1）平行于墙的边为_______米．（用含x的代数式表示）
（2）围成的矩形花圃面积能否为，若能，求出x的值．
（3）围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．
19．（9分）学校举办“科技之星”颁奖典礼，颁奖现场入口为一个拱门．小明要在拱门上顺次粘贴“科”“技”“之”“星”四个大字（如图1），其中，“科”与“星”距地面的高度相同，“技”与“之”距地面的高度相同，他发现拱门可以看作是抛物线的一部分，四个字和五角星可以看作抛物线上的点．通过测量得到拱门的最大跨度是10米，最高点的五角星距地面6.25米．
图1 图2
（1）请在图2中建立平面直角坐标系，并求出该抛物线的解析式；
（2）“技”与“之”的水平距离为米．小明想同时达到如下两个设计效果：
①“科”与“星”的水平距离是“技”与“之”的水平距离的2倍；
②“技”与“科”距地面的高度差为1.5米．
小明的设计能否实现？若能实现，求出a的值；若不能实现，请说明理由．
20．（9分）如图，四边形中，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求图中阴影部分的面积．
21．（10分）如图，当时，反比例函数与正比例函数的图象交于点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）观察图象，直接写出当时，x的取值范围；
（3）若点在反比例函数的图象上，直线向上平移后经过点B，交y轴于点C，求的面积．
22．（10分）在一次数学探究活动中，老师设计了一份活动单：已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：这样的点A唯一吗？点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），…小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．
图1 图2
（1）小乐同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为____________；
②面积的最大值为____________；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明．
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，点P在直线的左侧，且，则线段长的最小值为____________
23．（11分）我门不妨约定：在平面直角坐标系中，岩某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点与点是关于x的“T函数”的图象上的一对“T点”，则____________，____________，____________（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于x的函数（k，p是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；
（3）若关于x的“T函数”（，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线（，且m，n是常数）交于两点，当满足时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
2024—2025学年第一学期九年级月考数学试卷
答案及评分标准
一、选择题（每小题3分，共30分）
CADBB DCBCB
二、填空题（每空3分，共15分）
11．； 12．8； 13．； 14．3； 15．2或．
三、解答题（共75分）
16．（8分）解：（1），
，
即，
则，
； 4分
（2），
，
，
8分
17．（9分）解：（1），
．
，
∴方程一定有两个实数根． 4分
（2）∵方程有两个相等的实数根，
，
，
画树状图如下：
由树状图可知：所有可能情况数为12种，符合的情况数为2种，
的值使方程有两个相等的实数根的概率为． 9分
18．（9分）解：（1） 1分
（2）能，
整理得：，
此时，，
，
，
，
； 5分
（3）
，
有最大值，
又，
∴当时，s取得最大值，此时，
即当时，s的最大值为800 9分
19．（9分）（1）（答案不唯一）
如图，以抛物线顶点为原点，以抛物线对称轴为y轴，建立平面直角坐标系．
设这条抛物线表示的二次函数为．
∵抛物线过点，
∴这条抛物线表示的二次函数为． 4分
（2）能实现：．
由“技”与“之”的水平距离为米，设“技”，
“之”，
则“科”，
∵“技”与“科”距地面的高度差为1.5米，
，
解得：或（舍去） 9分
20．（9分）解：（1）过点B作，垂足为F，
，
，
，
，
．
又
，
，则点F在圆B上，
与相切； 5分
（2），，
是等边三角形，
，
，
，
在中，
∴阴影部分的面积
9分
21．（10分）
（1）解：把代入，
得：，
，
把代入，
得：，
∴反比例函数的解析式为； 4分
（2）解：观察图象可知，当时，x的取值范围是； 6分
（3）解：把代入反比例函数，
得：，
解得：，
，
∴直线向上平移后经过点B，交y轴于点C，
∴设直线的解析式为，
把代入，
得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
过点A作平行y轴交直线于点D，
∵直线的解析式为，
∴当时，；当时，；
，
10分
22．（10分）（1）①2；② 4分
（2）如图，延长，交圆于点D，连接，
∵点D在圆上，
，
，
，
，即； 8分
（3） 10分
23．（11分）
（1）4，，4； 3分
（2）由题意，分以下两种情况：
①当时，
假设关于x的函数（k，p是常数）是“T函数”，点与点是其图象上的一对“T点”，
则，
解得，与相矛盾，假设不成立，
所以当时，关于x的函数（k，p是常数）不是“T函数”； 5分
②当时，
函数是一条平行于x轴的直线，
是“T函数”，它有无数对“T点”； 6分
综上，当时，关于x的函数（k，p是常数）不是“T函数”；
当时，关于x的函数（k，p是常数）是“T函数”，它有无数对“T点”；
（3）由题意，将代入得：，
，
设点与点是“T函数”图象上的一对“T点”，
则，解得，
， 8分
联立得：，
∵“T函数”与直线交于点，
是关于x的一元二次方程的两个不相等的实数根，
，
，
，即，
解得，
则直线l的解析式为，
当时，，
因此，直线l总经过一定点，该定点的坐标为． 11分
