2024-2025学年江苏省宿迁市如东实验中学、崇文中学、洋河中学等校九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程的解是( )
A. B. C. D.
2.已知的半径为，，则点在( )
A. 内 B. 上 C. 外 D. 无法确定
3.已知一组数据，，，，，则这组数据的中位数是( )
A. B. C. D.
4.已知∽，与面积之比为：若，则的长是( )
A. B. C. D.
5.如图，是的直径，点、在上，且，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
6.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点若点的对应点为，则点的对应点的坐标为( )
A. B.
C. D.
7.如图，正方形是一块绿化带，其中阴影部分，都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为( )
A. B. C. D.
8.如图，过内任一点，作，，，则( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.若，则的值为______．
10.如图，点是线段的黄金分割点，如果，那么的长为______．
11.若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是______．
12.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为______．
13.小明参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的成绩分别是分、分、分若将三项得分依次按：：的比例确定最终成绩，则小明的最终比赛成绩为______分
14.周髀算经中记载了“偃矩以望高”的方法“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺即图中的“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，与相交于点测得，，，则树高______．
15.如图，是正十边形两条对角线的夹角，则的度数是______
16.已知，是的两个根，则 ______．
17.如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边三角形；分别以点，，为圆心，以的长为半径作，，三段弧所围成的图形就是一个曲边三角形，如果一个曲边三角形的周长为，那么这个曲边三角形的面积是______．
18.如图，矩形中，为上一动点与、不重合，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，连接交于，若，，，则折痕的长为______．
三、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
解方程：
；
．
20.本小题分
如图，在中，，，点是的中点请用无刻度直尺和圆规在边上作出点，使∽，并求的长．
21.本小题分
我市某中学举行“校园好声音”歌手大赛，初、高中根据初赛成绩各选出名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛，两个队各选出的名选手的决赛成绩满分如图所示：
根据图示信息，整理分析数据如表：
平均数分 中位数分 众数分
初中部
高中部
求出表格中、、；
小明同学已经算出高中代表队决赛成绩的方差是，请你计算出初中代表队决赛成绩的方差，并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
22.本小题分
如图，在 中，为边上一点，交于点．
求证：∽；
若，，，求对角线的长．
23.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：不论实数取何值，方程总有实数根；
若该方程的两根是一个直角三角形的两直角边的长，当这个直角三角形的斜边长为时，求的值．
24.本小题分
人工智能是数字经济高质量发展的引擎，也是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动人工智能市场分为决策类人工智能，人工智能机器人，语音类人工智能，视觉类人工智能四大类型，将四个类型的图标依次制成，，，四张卡片卡片背面完全相同，将四张卡片背面朝上洗匀放置在桌面上．
随机抽取一张，抽到决策类人工智能的卡片的概率为______；
从中随机抽取一张，记录卡片的内容后放回洗匀，再随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法求抽取到的两张卡片内容一致的概率．
25.本小题分
如图，在中，，以上一点为圆心，的长为半径作，交，分别于，两点，连接，且．
求证：是的切线；
若，，求的半径．
26.本小题分
年亚运会在杭州顺利召开，亚运会吉祥物莲莲爆红．
据统计某款莲莲玩偶在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件，求月平均增长率；
某实体店该款莲莲玩偶的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，经市场调查发现，售价每降价元，每天可多售出件，为了尽快减少库存，商家决定降价促销，若想要销售该款莲莲玩偶每天获利元，则售价应降低多少元？
27.本小题分
如图，在矩形中，，，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为每秒个单位，过点作，交对角线于点点从点出发，沿对角线向点匀速运动，速度为每秒个单位、两点同时出发，设它们的运动时间为秒．
当时，的值为______；
连接，当时，求出的值；
直接写出当为何值时，是等腰三角形．
28.本小题分
【阅读材料】克罗狄斯托勒密约年是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密定理是欧几里得几何中的重要定理定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立即：四边形中，有，当、、、四点共圆时，有．
【尝试证明】如图，四边形内接于，求证：．
证明：在上取点，连接，使．
，
______，
，
，
，
，即，
又，
∽，
，
______，得，
即______．
【直接应用】
如图，为的直径，，，，求的长；
【拓展应用】
如图，在四边形中，，，，，则的最大值为______；
【灵活运用】
如图，在等腰三角形中，，，点在底边上，且，将三角形沿着所在的直线翻折，使得点落在点处，连接，则的长为______．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.解：移项得，
，
，
，
，
，；
移项得，
，
，
或，
，．
20.解：作图如下；
∽，
，
，，点是的中点，
，
，
解得：．
21.解：初中组五名同学的成绩为：，，，，，
成绩的平均数分，
该组数据中，出现的次数最多，故其众数分；
高中组五名同学的成绩为：，，，，，故该组数据中的中位数分．
故答案为：，，；
初中代表队决赛成绩的方差是：
．
，
所以初中代表队选手成绩较为稳定．
22.证明：四边形为平行四边形，
，
，，
∽；
解：四边形为平行四边形，
，
，，
．
∽，
，
，
，
．
23.解：由题意可知：，
不论实数取何值，即方程总有实数根；
设方程的两个根为，，
则：，，
由题意可得：，
，
，
解得：或，
当时，，不合题意，舍去．
．
24.
25.证明：连接，
，
，
而，
，
，
，
，
，
，
为的切线；
解：，，
∽，
，
，
，，
，
，
设圆的半径为，则，
，
，
，
解得：．
26.解：设月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
答：月平均增长率为；
设售价降低元，
由题意得：，
解得：，不符合题意，舍去，
售价应降低元．
27.
28.
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