2024-2025学年福建省泉州市丰泽区城东中学九年级（上）期中
数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.要使二次根式有意义，则的取值可以是( )
A. B. C. D.
2.若，则的值为( )
A. B. C. D.
3.将一元二次方程化成一般形式后二次项的系数、一次项系数、常数项分别是( )
A. 、、 B. 、、 C. 、、 D. 、、
4.下列事件是必然事件的是( )
A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上
C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等
5.如图，，，，则的长为( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，，，则( )
A. B.
C. D.
7.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到的抛物线的解析式为( )
A. B. C. D.
8.若个人参加酒会，每两个人都只碰一次杯，如果一共碰杯次，则下列方程中符合题意的是( )
A. B. C. D.
9.潮汐塔是万平口区域内的标志性建筑，在其塔顶可俯视景区全貌某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点处测得潮汐塔顶端的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点，测得潮汐塔底端的俯角为点，，，在同一平面内，则潮汐塔的高度为( )
结果精确到参考数据：，，
A. B. C. D.
10.抛物线的顶点为，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：；当时，随增大而减小；；若方程没有实数根，则；其中正确结论的个数是( )
A. 个
B. 个
C. 个
D. 个
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.计算的结果是______．
12.抛物线的顶点坐标为______．
13.小红沿坡比为：的斜坡上走了米，则她实际上升了______米．
14.如图，将一个飞镖随机投掷到的方格纸中，则飞镖落在阴影部分的概率为______．
15.如图，在中，为的重心，连，，则： ______．
16.在矩形中，，是的中点，一块足够大的三角板的直角顶点与点重合，将三角板绕点旋转，三角板的两直角边分别交，或它们的延长线于点，，设，给出下列四个结论：；；；上述结论中正确的是______填写序号
三、计算题：本大题共1小题，共8分。
17.解方程：．
四、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分
计算：
19.本小题分
如图，已知，，求证：∽．
20.本小题分
如图，已知是坐标原点，点、两点的坐标分别为、．
以点为位似中心在轴的左侧将放大到原来的倍得到；
填空：
如果周长为，则的周长为______
若线段上有一点，请直接写出点的对应点的坐标______．
21.本小题分
“四大名著”红楼梦水浒传三国演义西游记是中国优秀文化的重要组成部分某校九年级计划开展“名著共读”活动．
若从中随机选取本开展共读活动，抽到西游记的概率是______；
若从中随机选取本名著开展活动，其中有一本是西游记的概率是多少？用树状图或列表的方法分析过程，并求出结果
22.本小题分
已知抛物线交轴于点和点，交轴于点．
求抛物线的函数表达式；
若点在抛物线上，且，求点的坐标．
23.本小题分
如图，在足够大的空地上有一段长为米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了米木栏．
若，所围成的矩形菜园的面积为平方米，求所利用旧墙的长；
求矩形菜园面积的最大值．
24.本小题分
如图，在正方形中，点在边上，点在边的延长线上，连结与边相交于点，连结与对角线相交于点，，．
求证：；
求大小；
求证：．
25.本小题分
【问题背景】如图，点，，在同一直线上，，求证：∽；
【问题探究】在条件下，若点为的中点，求证：；
【拓展运用】如图，在中，，点是的内心、若，，则的长为 ．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.：
16.
17.解： ，
或，
解得，．
18.解：
．
19.证明：，
，
即，
，
∽．
20.
21.
22.解：把，代入，
得：，解得：，
该抛物线的函数表达式为．
，
点．
设点，
，
，
整理，得：或，
解得：或，
点的坐标为或或．
23.解：设，则，依题意得：
，
解得，，
当时，，不合题意，舍去；
当时，，
答：的长为；
设，矩形菜园面积为，依题意得：
，
当时，则时，的最大值为；
当时，则当时，随的增大而增大，当时，的最大值为，
综上所述，当时，的最大值为；当时，的最大值为．
24.解：四边形是正方形，
，
，
四边形是平行四边形，
；
连接，
，
，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌
，
，
是等边三角形，
；
≌，
，
，
∽，
，
，，
，
．
25.
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