九上反比例函数+九下解直角三角形---强化练习
一．反比例函数系数k的几何意义（共11小题）
1．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线和的一个分支上，分别过点A、C作x轴的垂线段，垂足分别为点M和点N，先给出如下四个结论：
①；
②阴影部分的面积是；
③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；
④若OABC是菱形，则k1+k2＝0，
以上结论正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBP是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（ ）
A． B．3 C． D．5
5．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C、D两点，OC＝CA，△ACD的面积为4.5，则k等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
6．如图，A、B是函数y上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝4，正确有 ．（填序号）
7．如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第二象限内，BC＝2AB，反比例函数的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 ．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点AC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数y（x＞0）的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是 ．
9．如图，A（a，b）、B（﹣a，﹣b）是反比例函数y的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则点C'的坐标为 ．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线 上，且点O在AC上，AD交x轴于点E．
①当A点坐标为（1，m）时，D点的坐标为 ；
②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为 ．
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共5小题）
12．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥OB交y轴于点A，BC⊥OC，∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝1，反比例函数恰好经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
13．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 ．
14．如图，反比例函数的图象分别交矩形OABC的边AB，BC于点D，E，连接DE．若把△BDE沿DE翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，且AD：DB＝3：5，CE＝1.5，则k的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是 ．
16．如图，等腰△ABC的面积为100，底边BC在x轴上，腰AB交y轴于点D，反比例函数的图象交腰AB于点E，F，反比例函数（x＞0）的图象交腰AC于点A，G，恰有FG∥BC，FG交y轴于点H，且△DFH面积为18．则k2﹣k1的值为 ．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共8小题）
17．如图，已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB．给出下列结论：
①k1k2＞0；
②；
③S△AOP＝S△BOQ；
④不等式的解集是x≤﹣2或0＜x≤1．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
18．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为，则k的值为（ ）
A．9 B．13.5 C．14.5 D．15
19．方程x2+2x﹣1＝0的根可视为直线y＝x+2与双曲线y交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围是（ ）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0＜2 C．2＜x0＜3 D．3＜x0＜4
20．如图，已知直线y＝k1x+b与x轴，y轴相交于P，Q两点，与y的图象相交于A（﹣2，m），B（4，n）两点，连接OA，OB，给出下列结论：①k1 k2＞0；②m+2n＝0；③S△BOP＝2S△AOP；④当k1x+b时，x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
21．如图，反比例函数图象l1的表达式为y（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，直线y＝3x与双曲线交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若S△ABC＝70，则k＝ ．
23．如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC，则点D的坐标为 ．
24．如图，反比例函数y的图象与直线yx+b（b＞0）交于A，B两点（点A在点B右侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为18，则b的值为 ．
四．反比例函数的应用（共2小题）
25．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
26．如图，直线AB与反比例函数交于C、D两点，且D为CB中点，过DO的直线交反比例函数图象的另一点E，连结CE交y轴于点N，连结DN，若S△CDN＝3，则k的值为 ．
五．反比例函数综合题（共11小题）
27．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE、OF、EF，FD与OE相交于点G．下列结论：①OF＝OE；②∠EOF＝60°；③四边形AEGD与△FOG面积相等；④EF＝CF+AE；⑤若∠EOF＝45°，EF＝4，则直线FE的函数解析式为y＝﹣x+4+2．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
28．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OA，OB分别在y轴和x轴上，已知对角线OC＝5，tan∠BOC．F是BC边上一点，过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与AC边交于点E，若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
29．如图，点A为直线y＝﹣x上一点，过A作OA的垂线交双曲线y（x＜0）于点B，若OA2﹣AB2＝12，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
30．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是 ．
31．如图，l1，l2分别是反比例函数y（k＞2）和y在第一象限内的图象，点A在l1上，线段OA交l2于点B，作AC⊥x轴于点C，交l2于点D，延长OD交l1于点E，作EF⊥x轴于点F，下列结论：
①S△AOD＝S四边形CDEF；
②BD∥AE；
③；
④EF2＝AC CD．
其中正确的是 ．（填序号）
32．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数交于A（2，3），B两点，与x轴交于点C，且AB＝2BC．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点P是y轴上一动点，连接AP，BP，当△ABP面积为6时，请求出点P的坐标；
（3）将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接CD，在反比例函数上，是否存在一点Q，使得∠CDB+∠QCO＝90°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
33．如图，一次函数y＝2x+b与x轴y轴分别交于点A，B．与反比例函数交于点D，E．若点A坐标为，点D横坐标为1．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点C为x轴上一个动点，请直接写出∠ECA＝∠EDC时点C的坐标．
34．如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限的图象交于点B（n，4），其中a，b满足．
（1）直接写出k，n的值及点A的坐标；
（2）点D在反比例函数的图象上，其横坐标为m，且﹣4＜m＜﹣1，过点D的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为C，连接BC，AD，四边形ABCD的面积可以为12吗？若可以，求出m的值；若不可以，请说明理由；
（3）点P是x轴负半轴上一点，以BP为边向线段BP右侧作等边△BPF，若点F在双曲线关于x轴对称的图象上，求点P的坐标．
35．已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记S＝S△OEF﹣S△ECF，用k的代数式表示S；
（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
36．换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数y1＝﹣x+6（x＞0），当x取何值时，y1＞y2？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当y1＞y2时，x的取值范围是 ．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形M，如果存在另一个矩形N，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称N是M的“加倍矩形”，M是N的“双半矩形”．请你研究矩形N是否存在“双半矩形”M．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数y＝﹣x+7和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形N的“双半矩形”M的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形N的面积为 ，周长为 ．
②是否存在矩形M的“双半矩形”Q？如果存在，请求出Q的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以O，C，D，E为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
37．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD'，点A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点D'的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
六．解直角三角形（共6小题）
38．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，sin∠CEF，则△AEF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
39．如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A． B． C． D．
40．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
41．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于D，M在AC延长线上，N在BD上，MN经过BC中点E，MD＝MN，若sinA，则的值为（ ）
A． B． C． D．
42．已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB，则线段AB的长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
43．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（ ）
A． B． C． D．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
44．从水平地面到水平观景台之间有一段台阶路和一段坡路，示意图如下．台阶路AE共有8个台阶，每个台阶的宽度均为0.5m，台阶路AE与水平地面夹角∠EAB为28°．坡路EC长7m，与观景台地面的夹角∠ECD为15°．求观景台地面CD距水平地面AB的高度BD（精确到0.1m）．
[参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53；sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27]．
八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题）
45．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为23.9m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
46．根据以下素材，探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC且AEAB，AFAC，DE＝DF，D点为伞圈．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D'的位置，且A、E、D′三点共线．测得AD'＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示（参考值：24.49）．
素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为GH，此时发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm．
问题解决
任务1 判断AP位置 求证：AP平分∠BAC．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共5小题）
47．北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（ ）（精确到0.1米，参考数据：1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．21.5米 B．21.9米 C．22.0米 D．23.9米
48．贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度，如下是两种测量方案．
实物图 课题 测量公馆桥的高度
测量示意图 方案一 方案二
方案说明 无人机位于水面上方62米的P处，测得A的俯角为45°，C的俯角为37°（A，C在桥面上）． 无人机位于水面上方62米的N处，测得桥面正中心A的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为37°.
（1）根据以上数据判断，方案 不能求公馆桥的高度；
（2）利用以上可行方案求公馆桥的高度（参考数据，，cos37°）
49．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
50．如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i＝1：2．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
51．某班学生的社会实践课，他们走到某地看到前方不远处有幢大 楼顶部有广告牌CD（如图）．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在A处看大楼顶端点D的仰角为30°．乙：我站在B处看广告牌顶端点C的仰角为45°．甲：我们的身高都是1.60米．乙：我们相距14米，我到大楼的距离为31米．请你根据两位同学的对话，求这幢大楼的高DH和这块广告牌CD的高度．（1.732，计算结果保留一位小数）
一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）
52．观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即，同理有：，
所以．
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝ ；AC＝ ；
（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，）
53．阅读材料：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，，利用上述结论可以求解如下题目：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b．
解：在△ABC中，∵∴b3．
理解应用：
如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．
（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；
（2）求乙船每小时航行多少海里？
54．钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC＝12海里）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．
九上反比例函数+九下解直角三角形---强化练习
题号 1 2 3 4 5 12 17 18 19 20 21
答案 D B C B D B A B A D A
题号 25 27 28 29 38 39 40 41 42 43 47
答案 B B D D C A B A D B B
一．反比例函数系数k的几何意义（共11小题）
1．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线和的一个分支上，分别过点A、C作x轴的垂线段，垂足分别为点M和点N，先给出如下四个结论：
①；
②阴影部分的面积是；
③当∠AOC＝90°时，|k1|＝|k2|；
④若OABC是菱形，则k1+k2＝0，
以上结论正确的是（ ）
A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①④
【思路点拔】作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S△AOB＝S△COB，利用三角形面积公式得到AE＝CF，则有OM＝ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM|k1|OM AM，S△CON|k2|ON CN，所以有；由S△AOM|k1|，S△CON|k2|，得到S阴影部分＝S△AOM+S△CON（|k1|+|k2|）（k1﹣k2）；当∠AOC＝90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM＝CN，则不能确定|k1|＝|k2|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA＝OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM＝CN，所以|k1|＝|k2|，即k1＝﹣k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．
【解答】解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图
∵四边形OABC是平行四边形，
∴S△AOB＝S△COB，
∴AE＝CF，
∴OM＝ON，
∵S△AOM|k1|OM AM，S△CON|k2|ON CN，
∴，故①正确；
∵S△AOM|k1|，S△CON|k2|，
∴S阴影部分＝S△AOM+S△CON（|k1|+|k2|），
而k1＞0，k2＜0，
∴S阴影部分（k1﹣k2），故②错误；
当∠AOC＝90°，
∴四边形OABC是矩形，
∴不能确定OA与OC相等，
而OM＝ON，
∴不能判断△AOM≌△CNO，
∴不能判断AM＝CN，
∴不能确定|k1|＝|k2|，故③错误；
若四边形OABC是菱形，则OA＝OC，
而OM＝ON，
∴Rt△AOM≌Rt△CNO（HL），
∴AM＝CN，
∴|k1|＝|k2|，
∴k1＝﹣k2，
∴k1+k2＝0，故④正确．
故选：D．
2．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y、x轴上，BC⊥x轴，点M、N分别在线段BC、AC上，BM＝CM，NC＝2AN，反比例函数y（x＞0）的图象经过M、N两点，P为x轴正半轴上一点，且OP：BP＝1：4，△APN的面积为3，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），由OP：BP＝1：4，BM＝CM，得A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），又△NKC∽△ATC，NC＝2AN，可得CK＝2TK，NKAT，即，得，故，根据△APN的面积为3，有，得2ab+bc＝9，将点M（5b，c）， 代入，整理得：2a＝7c，代入2ab+bc＝9得，从而 ．
【解答】解：如图，过点N作NQ⊥x轴于点Q，过C作CT⊥y轴交y轴于T，交NQ于K，
设OA＝a，OP＝b，BM＝c，N（m，n），
∵OP：BP＝1：4，BM＝CM，
∴A（0，a），B（5b，0），M（5b，c），C（5b，2c），
∵∠NCK＝∠ACT，∠NKC＝90°＝∠ATC，
∴△NKC∽△ATC，
∴，
∵NC＝2AN，
∴CK＝2TK，NKAT，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∴，
∵△APN的面积为3，
∴S梯形OANQ﹣S△AOP﹣S△NPQ＝3，
∴，
∴2ab+bc＝9，
将点M（5b，c）， 代入得：
，
整理得：2a＝7c，
将2a＝7c代入2ab+bc＝9得：7bc+bc＝9，
∴，
∴，
故选：B．
3．如图，△AOB和△ACD均为正三角形，且顶点B、D均在双曲线（x＞0）上，连接BC交AD于P，连接OP，则图中S△OBP是（ ）
A． B．3 C．6 D．12
【思路点拔】先根据△AOB和△ACD均为正三角形可知∠AOB＝∠CAD＝60°，故可得出AD∥OB，所以S△ABP＝S△AOP，故S△OBP＝S△AOB，过点B作BE⊥OA于点E，由反比例函数系数k的几何意义即可得出结论．
【解答】解：如图：
∵△AOB和△ACD均为正三角形，
∴∠AOB＝∠CAD＝60°，
∴AD∥OB，
∴S△ABP＝S△AOP，
∴S△OBP＝S△AOB，
过点B作BE⊥OA于点E，则S△OBE＝S△ABES△AOB，
∵点B在反比例函数y的图象上，
∴S△OBE6＝3，
∴S△OBP＝S△AOB＝2S△OBE＝6．
故选：C．
4．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD与y轴分别交于E、F两点，对角线BD在x轴上，反比例函数的图象过点A并交AD于点G，连接DF．若BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，且△FCD的面积为，则k的值是（ ）
A． B．3 C． D．5
【思路点拔】过点作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，设点A（a，b），则AM＝b，OM＝a，可得△DGN∽△DAM，则OB：OM＝BE：AE，再由BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，可得到OBa，GNb，从而得到ONa，进而得到MN，继而DN＝a，再由平行四边形的性质，可得△BOF∽△DNG，从而得到OFb，再由S△FCD＝S△BCD﹣S△BDF，即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AM⊥x轴于点M，GN⊥x轴于点N，
设点A（a，b），则AM＝b，OM＝a，
∴AM∥NG，AM∥y轴，
∴△DGN∽△DAM，OB：OM＝BE：AE，
∴，
∵BE：AE＝1：2，AG：GD＝3：2，
∴OBOMa，，，
∴GNb，
∵点A、G在反比例函数y（k≠0）的图象上，
∴k＝abb ON，
∴ONa，
∴MN＝ON﹣OMa，
∴DNa，
∴BD＝OB+ON+DN＝4a，
∴∠OBF＝∠GDN，S△ABD＝S△BCD，
∵∠BOF＝∠GND＝90°，
∴△BOF∽△DNG，
∴，即，
∴OFb，
∵S△FCD＝S△BCD﹣S△BDF，
∴b×4ab×4a，
解得ab＝3，
∴k＝ab＝3．
故选：B．
5．如图，AB⊥x轴，B为垂足，双曲线与△AOB的两条边OA，AB分别相交于C、D两点，OC＝CA，△ACD的面积为4.5，则k等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
【思路点拔】由反比例函数k的几何意义得到△OCE与△OAC面积相等，由相似三角形面积之比等于相似比得到△ODE与△OBA面积之比，设△OAC面积为x，列出关于x的方程，求出方程的解确定出△OAC与△OCB面积之比即可．
【解答】解：连接OD，过点C作CE⊥x轴，
∵AB⊥x轴，
∴CE∥AB，
∵OC＝CA，
∴OE：OB＝1：2，
设△OBD面积为x，根据反比例函数k的意义得到△OCE面积为x，
∵△COE∽△AOB，
∴△COE与△BOA面积之比为1：4，
∵△ACD的面积为4.5，OC＝CA，
∴△OCD的面积为4.5，
∴△BOA面积为9+x，
即△BOA的面积为9+x＝4x，
解得x＝3，
∴|k|＝3，
∵k＞0，
∴k＝6，
故选：D．
6．如图，A、B是函数y上两点，P为一动点，作PB∥y轴，PA∥x轴，下列说法：①△AOP≌△BOP；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则OP平分∠AOB；④若S△BOP＝2，则S△ABP＝4，正确有 ②③④ ．（填序号）
【思路点拔】根据点P是动点，得到BP与AP不一定相等，判断出①错误；设出点P的坐标，得出AP，BP，利用三角形面积公式计算即可判断出②正确；利用角平分线定理的逆定理判断出③正确；求出矩形OMPN＝2，进而得出mn＝2，根据三角形的面积公式计算，即可得出结论．
【解答】解：点P是动点，
∴BP与AP不一定相等，
∴△BOP与△AOP不一定全等，故①错误；
设P（m，n），
∴BP∥y轴，
∴B（m，），
∴BP＝|n|，
∴S△BOP|n|×|m|＝|3mn|，
∵PA∥x轴，
∴A（，n）
∴AP＝|m|，
∴S△AOP|m|×|n|＝|3mn|，
∴S△AOP＝S△BOP，②正确；
如图1，作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，
∵S△AOP＝S△BOP，OA＝OB，
∴PE＝PF，
∵PE＝PF，PE⊥OB，PF⊥OA，
∴OP平分∠AOB，③正确；
如图2，延长BP交x轴于N，延长AP交y轴于M，
∴AM⊥y轴，BN⊥x轴，又∠MON＝90°，
∴四边形OMPN是矩形，
∵点A，B在双曲线y上，
∴S△AMO＝S△BNO＝3，
∵S△BOP＝2，
∴S△PMO＝S△PNO＝1，
∴S矩形OMPN＝2，
∴mn＝2，
∴m，
∴BP＝|n|＝|3n﹣n|＝2|n|，
AP＝|m|＝||，
∴S△ABP2|n|×||＝4，④正确；
故答案为②③④．
7．如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OA在y轴上，点C在第二象限内，BC＝2AB，反比例函数的图象经过B，C两点．若△AOC的面积是6，则k的值为 ﹣3 ．
【思路点拔】过点C作CD⊥OA于点D，过点B作BE⊥OA于点E，设C点坐标为，A点坐标为（0，c），根据比例关系求出B点的坐标，最后根据k的几何意义和三角形的面积公式联立即可求出结果．
【解答】解：如图，过点C作CD⊥OA于点D，过点B作BE⊥OA于点E，设C点坐标为，A点坐标为（0，c），
∵CD⊥OA，BE⊥OA，
∴CD∥BE，
又∵BC＝2AB，
∴，
∵∠BEA＝∠CDA＝90°，∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE～△ACD，
∴，
∵，A（0，c），
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
由题意得，，
解得k＝﹣3．
故答案为：﹣3．
8．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC顶点AC分别在x轴、y轴的正半轴上，顶点B在函数y（x＞0）的图象上，点P是矩形OABC内的一点，连接PO、PA、PB、PC，则图中阴影部分的面积是 3 ．
【思路点拔】作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．
【解答】解：作PE⊥OC于E，EP的延长线交AB于F．
∵S阴 OC PE AB PF OC EFS矩形ABCO＝3．
故答案为3．
9．如图，A（a，b）、B（﹣a，﹣b）是反比例函数y的图象上的两点，分别过点A、B作y轴的平行线，与反比例函数y的图象交于点C、D，若四边形ACBD的面积是8，则m、n之间的关系是 n﹣m＝4 ．
【思路点拔】连接AB，OC，根据反比例函数的性质可得点O在线段AB上，且OA＝OB，由点A（a，b）是反比例函数y的图象上的点，可得b，由AC∥y轴，可得点C的坐标为（a，），进而可得AC＝BD的长，从而可以判断四边形ACBD是平行四边形，根据平行四边形的性质可得S△AOCS△ACBS平行四边形ACBD＝2，然后根据三角形的面积公式可得AC|a|＝2，整理得：n﹣m＝4．
【解答】解：连接AB，OC，如图，
∵A（a，b）、B（﹣a，﹣b）关于原点对称，且是反比例函数y的图象上的两点，
∴点O在线段AB上，且OA＝OB，
∵A（a，b）是反比例函数y的图象上的点，
∴b，
∵AC∥y轴，
∴点C的坐标为（a，），
∴AC＝||，
同理可得BD＝||，
∴AC＝BD，
∴四边形ACBD是平行四边形，
∴S△AOCS△ACBS平行四边形ACBD＝2，
∴AC|a|＝2，
∴（） （﹣a）＝2，
整理得：n﹣m＝4．
故答案为：n﹣m＝4．
10．如图，在平面直角坐标系中，C，A分别为x轴、y轴正半轴上的点，以OA，OC为边，在第一象限内作矩形OABC，且S矩形OABC＝2，将矩形OABC翻折，使点B与原点O重合，折痕为MN，点C的对应点C'落在第四象限，过M点的反比例函数y（k≠0）的图象恰好过MN的中点，则点C'的坐标为 （，） ．
【思路点拔】利用△BQM≌△OQN（AAS），得到点Q是MN的中点，利用Rt△OHQ∽Rt△OCB得到（）2，求出k的值，设AM＝a，则BM＝3a＝OM，求得OA＝2a，再根据反比例函数系数k的几何意义求得a，从而求得OC′＝BC＝OA，ON＝BN＝OM，根据三角形面积求得C′G，再根据勾股定理即可求得OG，从而求得C′的坐标．
【解答】解：如图，连接OB，交MN于点Q，
∵矩形OABC翻折，使点B与原点重合，折痕为MN，
∴QB＝QO，MB＝MO，
∵AB∥CO，
∴∠ABQ＝∠NOQ，
∵∠MQB＝∠NQO，
而OQ＝BQ，
∴△BQM≌△OQN（AAS）
∴QM＝QN，即点Q是MN的中点，
过点Q作QH⊥OC于点H，则QH是△OBC的中位线，
则Rt△OHQ∽Rt△OCB，
则（）2，
而S△OBCS矩形AOCB，
则S△OHQ，
解得k，
∵点M是反比例函数上的点，
则S△AOMk，
而S△ABOS矩形AOCB4S△AOM，
故AMAB，
设AM＝a，则BM＝3a＝OM，
则OA2a，
则S△AOM AM AOa 2a，
解得a，（负值已舍去），
则AB＝4AM＝2，AM＝a，
连接BN，作C′G⊥ON于G，
∵QO＝BQ，QM＝NQ，
∴四边形MONB是平行四边形，
∴ON＝BN＝OM，
∵OC′＝BC＝OA，
∴Rt△AOM≌Rt△CBN≌Rt△C′ON（HL），
∴S△C′ON＝S△AOM，ON＝OM，OC′＝OAa，
∴ON C′G，
∴C′G，
∴C′G，
∴OG，
∴C′为（，），
故答案为：（，）．
11．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A、C恰好落在双曲线 上，且点O在AC上，AD交x轴于点E．
①当A点坐标为（1，m）时，D点的坐标为 （，﹣1） ；
②当CE平分∠ACD时，正方形ABCD的面积为 12 ．
【思路点拔】连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，由正方形的对角线相等且互相垂直平分，得OA＝OC＝OD，∠AOD＝90°，∠OAD＝45°，易证Rt△AOM≌Rt△ODN，再依据全等三角形的性质得OM＝DN，AM＝ON．
①根据已知条件，求出点A坐标为（1，），即可求出点D的坐标．
②作EF⊥OA于点F，当CE平分∠ACD时，根据角平分线的性质易证ED＝EF，在Rt△AEF中，∠OAD＝45°，所以AEEFED，因为AM⊥x轴，DN⊥x轴，易证△AME∽△DNE，，又因为OM＝DN，所以，设OM＝x，则AMx，x x，解得x，所以OA，AC，OD，求得S正方形ABCD12．
【解答】解：连接OD，作AM⊥x轴于点M，DN⊥x轴于点N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA＝OC＝OD，∠AOD＝90°，∠OAD＝45°，
∵AM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴∠AMO＝∠OND＝90°，
∵∠AOM+∠DON＝90°，∠AOM+∠OAM＝90°，
∴∠DON＝∠OAM，
∴△AOM≌△ODN（AAS），
∴OM＝DN，AM＝ON，
①将A（1，m）代入，
得m，
∴A（1，），
∴OM＝DN＝1，AM＝ON，
∴D（，﹣1），
故答案为：（，﹣1）．
②作EF⊥OA于点F，
∵CE平分∠ACD，EF⊥OA，ED⊥CD，
∴ED＝EF，
在Rt△AEF中，∠OAD＝45°，
∴AEEF，
∴AEED，
∵AM⊥x轴，DN⊥x轴，
∴∠AME＝∠DNE＝90°，
又∵∠AEM＝∠DEN，
∴△AME∽△DNE，
∴，
∵OM＝DN，
∴，
设OM＝x，则AMx，
∵点A在函数上，
∴x x，
解得x，
∴OA，AC，OD，
∴S正方形ABCD12．
故答案为：12．
二．反比例函数图象上点的坐标特征（共5小题）
12．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥OB交y轴于点A，BC⊥OC，∠AOB＝∠BOC＝30°，AB＝1，反比例函数恰好经过点C，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】先根据勾股定理，算出点C的横坐标和纵坐标，即可求出k的值．
【解答】解：在Rt△AOB中，
∠AOB＝30°，AB＝1，
∴AO＝1×2＝2，
BO；
在Rt△COB中，
∠COB＝30°，BO，
∴BC，
OC．
∴C点的纵坐标为：；
C点的横坐标为：，
∴k，
故选：B．
13．如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为 ．
【思路点拔】过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，由等腰三角形的判定与性质得出OA＝BA，∠OAB＝90°，证出∠AOM＝∠BAN，由AAS证明△AOM≌△BAN，得出AM＝BN，OM＝AN，即可得到求出B的坐标，代入反比例函数即可得出一元二次方程，解方程即可得到k的值．
【解答】解：如图所示，过A作AM⊥y轴于M，过B作BD⊥x轴于D，直线BD与AM交于点N，
则OD＝MN，DN＝OM，∠AMO＝∠BNA＝90°，
∴∠AOM+∠OAM＝90°，
∵∠AOB＝∠OBA＝45°，
∴OA＝BA，∠OAB＝90°，
∴∠OAM+∠BAN＝90°，
∴∠AOM＝∠BAN，
∴△AOM≌△BAN，
∴AM＝BN＝1，OM＝AN＝k，
∴OD＝1+k，BD＝OM﹣BN＝k﹣1
∴B（1+k，k﹣1），
∵双曲线y（x＞0）经过点B，
∴（1+k） （k﹣1）＝k，
整理得：k2﹣k﹣1＝0，
解得：k（负值已舍去），
故答案为：．
14．如图，反比例函数的图象分别交矩形OABC的边AB，BC于点D，E，连接DE．若把△BDE沿DE翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，且AD：DB＝3：5，CE＝1.5，则k的值为 12 ．
【思路点拔】过D作DH⊥OC 于点H，设AD＝3m，则DB＝FD＝5m，OC＝AB＝8m，则D（3m，），E（8m，1.5），利用待定系数法求得k＝12m，进而得到D（3m，4），于是OA＝DH＝4，则BC＝4，求得BE＝BC﹣CE＝2.5，再利用勾股定理求得FC＝2．利用相似三角形的判定与性质求得m值，则D（3，4），利用待定系数法解答即可得出结论．
【解答】解：过D作DH⊥OC 于点H，如图，
∵△BDE沿DE翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，
∴DF＝DB，
∵四边形OABC为矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
∵AD：DB＝3：5，
∴设AD＝3m，则DB＝FD＝5m，OC＝AB＝8m．
∵CE＝1.5，反比例函数，
∴D（3m，），E（8m，1.5），
∴3m8m×1.5，
∴k＝12m，
∴D（3m，4），
∴OA＝DH＝4，
∴BC＝4，
∴BE＝BC﹣CE＝2.5．
由翻折的性质得：EF＝BE＝2.5，∠DFC＝∠B＝90°，
∴FC2，∠DFH+∠EFC＝90°，
∵∠EFC+∠FEC＝90°，
∴∠DFH＝∠FEC．
∵∠DHF＝∠FCE＝90°，
∴△DHF﹣△FCE，
∴，
∴．
解得：m＝1，
∴AD＝3，
∴D（3，4），
∴k＝3×4＝12．
故答案为：12．
15．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD的边OB在x轴正半轴上，反比例函数y（x＞0）的图象经过该菱形对角线的交点A，且与边BC交于点F．若点D的坐标为（3，4），则点F的坐标是 （6，） ．
【思路点拔】由D的坐标为（3，4），可求出菱形的边长，进而求出B、C、A的坐标，确定反比例函数的关系式，直线BC的关系式，联立求出交点坐标即可．
【解答】解：过点D作DM⊥OB，垂足为M，
∵D（3，4）
∴OM＝3，DM＝4，
∴OD5，
∵菱形OBCD，
∴OB＝BC＝CD＝OD＝5，
∴B（5，0），C（8，4），
∵A是菱形OBCD的对角线交点，
∴A（4，2），代入y得，k＝8，
∴反比例函数的关系式为：y，
设直线BC的关系式为y＝kx+b，将B（5，0），C（8，4）代入得：
5k+b＝0且8k+b＝4，
解得：k，b，
∴直线BC的关系式为yx，
将反比例函数与直线BC联立方程组得：
解得：，（舍去），
∴F（6，），
解法二：过点F作FH⊥x轴于点H，设BH＝3a．
∵FB∥OD，
∴∠FBH＝∠DOM，
∴tan∠FBH＝tan∠DOM，
∴FH＝4a，
∴F（5+3a，4a），
∵A（4，2），
∴（5+3a）×4a＝8，
解得a或﹣2（舍去），
∴F（6，）．
故答案为：（6，）．
16．如图，等腰△ABC的面积为100，底边BC在x轴上，腰AB交y轴于点D，反比例函数的图象交腰AB于点E，F，反比例函数（x＞0）的图象交腰AC于点A，G，恰有FG∥BC，FG交y轴于点H，且△DFH面积为18．则k2﹣k1的值为 32 ．
【思路点拔】过点A作AM⊥x轴于点M，设A（x0，y0），则x0y0＝k2，AM＝y0，然后由△ABC的面积得到BC的长，即可得到CM和BM的长，然后求得直线AC的解析式，再联立反比例函数y2（x＞0）求得点G的坐标，再由等腰三角形的性质得到点F的坐标，进而求得直线AB的解析式，得到点D的坐标，进而得到FH和DH的长，再由△DFH的面积求得x0y0的值，即可得到点F的坐标和k2的值，进而求得k1的值，最后得到k2﹣k1的值．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，则BM＝CM，
设A（x0，y0），则x0y0＝k2，AM＝y0，
∵S△ABC100，
∴BC，
∴CM＝BM，
∴C（x0，0），
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则
，解得：，
∴直线AC的解析式为yx+y0，
由，解得：或，
∴点G的坐标为（，），
∵AB＝AC，FG∥x轴，
∴点F的坐标为（，），
设直线AB的解析式为y＝mx+n，则
，解得：，
∴直线AB的解析式为yx，
∴点D的坐标为（0，），
∴FH，DH，
∵△DFH的面积为18，
∴18，
∴x0y0＝20，
∴点F的坐标为（，0），k2＝20，
∴k112，
∴k2﹣k1＝20﹣（﹣12）＝32，
故答案为：32．
三．反比例函数与一次函数的交点问题（共8小题）
17．如图，已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，与的图象相交于A（﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB．给出下列结论：
①k1k2＞0；
②；
③S△AOP＝S△BOQ；
④不等式的解集是x≤﹣2或0＜x≤1．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【思路点拔】根据一次函数和反比例函数的性质得到k1k2＞0，故①正确；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y中得到﹣2m＝n故②正确；把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y＝k1x+b得到y＝﹣mx﹣m，求得P（﹣1，0），Q（0，﹣m），根据三角形的面积公式即可得到S△AOP＝S△BOQ；故③正确；根据图象得到不等式k1x+b的解集是x≤﹣2或0＜x≤1，故④正确．
【解答】解：①由图象知，k1＜0，k2＜0，
∴k1k2＞0，故①正确；
②把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y中得﹣2m＝n，
∴mn＝0，故②正确；
③把A（﹣2，m）、B（1，n）代入y＝k1x+b得，
解得，
∵﹣2m＝n，
∴y＝﹣mx﹣m，
∵已知直线y＝k1x+b与x轴、y轴相交于P、Q两点，
∴P（﹣1，0），Q（0，﹣m），
∴OP＝1，OQ＝m，
∴S△AOPm，S△BOQm，
∴S△AOP＝S△BOQ，故③正确；
④由图象知不等式k1x+b的解集是x≤﹣2或0＜x≤1，故④正确；
故选：A．
18．如图，正方形ABCD的顶点B在x轴上，点A，点C在反比例函数（k＞0，x＞0）图象上．若直线BC的函数表达式为，则k的值为（ ）
A．9 B．13.5 C．14.5 D．15
【思路点拔】根据一次函数求得B（6，0），G（0，﹣3），得到OB＝6，OG＝3，过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，根据正方形的性质得到AB＝BC，∠ABC＝90°，可证明△AEB≌△BFC，根据全等三角形的性质得到AE＝BF，BE＝CF，证明△OBG∽△FBC，根据相似三角形的性质得到，设设CF＝a，BF＝2a，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得到结论．
【解答】解：在中，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，
∴B（6，0），G（0，﹣3），
∴OB＝6，OG＝3，
过A作AE⊥x轴于E，过C作CF⊥x轴于F，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBF＝∠ABE+∠BAE＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF，
在△AEB与△BFC中，
，
∴△AEB≌△BFC（AAS），
∴AE＝BF，BE＝CF，
∵∠BOG＝∠BFC＝90°，∠OBG＝∠FBC，
∴△OBG∽△FBC，
∴，
∴设CF＝a，BF＝2a，
∴AE＝2a，B E＝a，
∴A（6﹣a，2a），C（6+2a，a），
∵点A，点C在反比例函数（k＞0，x＞0）图象上，
∴2a（6﹣a）＝a（6+2a），
解得：或a＝0（不合题意舍去），
∴，
∴，
故选：B．
19．方程x2+2x﹣1＝0的根可视为直线y＝x+2与双曲线y交点的横坐标，根据此法可推断方程x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围是（ ）
A．0＜x0＜1 B．1＜x0＜2 C．2＜x0＜3 D．3＜x0＜4
【思路点拔】首先根据题意推断方程y＝x2+3的实根是函数y＝x2+3与y的图象交点的横坐标，再根据四个选项中x的取值代入两函数解析式，找出抛物线的图象在反比例函数上方和反比例函数的图象在抛物线的上方两个点，即可判定推断方程实根x所在范围．
【解答】解：依题意得方程x3+3x﹣2＝0的实根是函数y＝x2+3与y的图象交点的横坐标，
这两个函数的图象如图所示，
∴它们的交点在第一象限，
当x＝1时，y＝x2+3＝4，y2，此时抛物线的图象在反比例函数上方；
当x时，y＝x2+3＝3，y4，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
当x时，y＝x2+3＝3，y6，此时抛物线的图象在反比例函数下方；
…
∴x3+3x﹣2＝0的实根x0所在的范围0＜x＜1．
故选：A．
20．如图，已知直线y＝k1x+b与x轴，y轴相交于P，Q两点，与y的图象相交于A（﹣2，m），B（4，n）两点，连接OA，OB，给出下列结论：①k1 k2＞0；②m+2n＝0；③S△BOP＝2S△AOP；④当k1x+b时，x的取值范围为x＜﹣2或0＜x＜4，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拔】根据一次函数和反比例函数的性质得到k1 k2＞0，故①正确；把A（﹣2，m）、B（4，n）代入y中得﹣2m＝4n，即m＝﹣2n，故②正确；把A（﹣2，m）、B（4，n）代入y＝k1x+b得到ynx﹣n，求得P（2，0），根据三角形的面积公式即可得到S△BOP＝2S△AOP；故③正确；根据图象得到不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜4，故④正确．
【解答】解：①由图象知，k1＜0，k2＜0，
∴k1 k2＞0，故①正确；
②把A（﹣2，m）、B（4，n）代入y中得﹣2m＝4n，即m＝﹣2n，
∴m+2n＝0，故②正确；
③把A（﹣2，m）、B（4，n）代入y＝k1x+b得，
，
解得，
∵m＝﹣2n，
∴ynx﹣n，
∵已知直线y＝k1x+b与x轴相交于P点，
∴P（2，0），
∴OP＝2，OQ＝﹣n，
∴S△AOP2×|﹣2|＝2，S△BOP2×4＝4，
∴S△BOP＝2S△AOP，故③正确；
④由图象知不等式k1x+b的解集是x＜﹣2或0＜x＜4，故④正确；
故选：D．
21．如图，反比例函数图象l1的表达式为y（x＞0），图象l2与图象l1关于直线x＝1对称，直线y＝k2x与l2交于A，B两点，当A为OB中点时，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】由对称性可得函数l2的解析式为：y，令k2x，组成一元二次方程，设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，由根与系数的关系可得出m+n＝2，mn，再结合点A是OB的中点，可得出m和n的值，由此可得出结论．
【解答】解：法一、设A（m，k2m），B（2m，2k2m），
∵A，B关于直线x＝1的对称点A′（2﹣m，k2m），B′（2﹣2m，2k2m）在反比例函数图象l1y（x＞0）上，
∴k1＝k2m（2﹣m）＝2k2m（2﹣2m），
解得，m，
∴m（2﹣m）．
法二、由对称性可得函数l2的解析式为：y，
令k2x，整理得，k2x2﹣2k2x+k1＝0，
设点A的横坐标为m，点B的横坐标为n，
则m和n是k2x2﹣2k2x+k1＝0的两根，
由根与系数的关系可得出m+n＝2①，mn，
∵点A是OB的中点，
∴2m＝n②，
由①②可知，m，n，
∴mn．
故选：A．
22．如图，直线y＝3x与双曲线交于A、B两点，将直线AB绕点A顺时针旋转45°，与双曲线位于第三象限的一支交于点C，若S△ABC＝70，则k＝ 12 ．
【思路点拔】作AH⊥x轴于H，OE⊥OA交AC于E，EF⊥x轴于F，CN⊥x轴于N，连接OC，设AC交x轴于M，证明△EOF≌△OAH，求出EF与AH的比，再求出MF的份数，证明出NC与MN的比，表示出NC的份数，利用△OAC的面积求出x＝2，即可求出k．
【解答】解：作AH⊥x轴于H，OE⊥OA交AC于E，EF⊥x轴于F，CN⊥x轴于N，连接OC，设AC交x轴于M，如图，
∵∠CAB＝45°，
∴△AOE为等腰直角三角形，
∴OA⊥OE，OA＝OE，
∴∠EOF+∠AOH＝90°，
∵∠OAH+∠AOH＝90°，
∴∠EOF＝∠OAH，
∴△EOF≌△OAH（AAS），
设OH＝EF＝x，
∵AB：y＝3x，
∴AH＝3x＝OF，
∴EF：AH＝1：3，
∵EF∥AH，
∴MF：MH＝1：3，即MF：（MF+4x）＝1：3，
∴MH＝2x，
∵CN∥EF，
∴NC：MN＝EF：MF＝1：2，
∵点C、A在反比例函数上，
∴NC ON＝OH AH，
设NC＝y，
∴MN＝2y，
∴y（2y+5x）＝x 3x，
解得：yx或y＝﹣3x（舍去），
∵OA＝OB，
∴S△OAC70＝35，
即OM（AH+CN）＝35，
即5x（3xx）＝35，
∴x＝2或x＝﹣2（舍去），
∴OH＝2，AH＝6，
∴k＝12．
故答案为：12．
23．如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，与反比例函数的图象交于点C，D．若tan∠BAO＝2，BC＝3AC，则点D的坐标为 （1，6） ．
【思路点拔】根据tan∠BAO＝2，可得出B点的坐标，运用待定系数法即可求出AB的解析式；设C（x1，y1），过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则CE∥BO，得出△ACE∽△ABO，根据相似三角形的性质解出点C的坐标，可得反比例函数表达式，联立反比例函数与一次函数即可求解．
【解答】解：在Rt△AOB中，
∵tan∠BAO＝2，
∴BO＝2OA，
∵A（4，0），
∴B（0，8），
∵A、B两点在函数y＝ax+b上，
将A（4，0）、B（0，8）代入y＝ax+b得：
，解得：，
∴y＝﹣2x+8，
设C（x1，y1），过点C作CE⊥x轴，垂足为E，则CE∥BO，
∴△ACE∽△ABO，
∴，
又∵BC＝3AC，
∴，
即，则CE＝2，即y1＝2，
∴﹣2x1+8＝2，
∴x1＝3，
∴C（3，2），
∴k＝x1y1＝3×2＝6，
∴y；
联立，解得：，
∴D（1，6），
故答案为：（1，6）．
24．如图，反比例函数y的图象与直线yx+b（b＞0）交于A，B两点（点A在点B右侧），过点A作x轴的垂线，垂足为点C，连接AO，BO，图中阴影部分的面积为18，则b的值为 ．
【思路点拔】先设出A点和B点的坐标，利用反比例函数的性质，得到S△OAC+S△OBD＝18，再由阴影面积也是18，得出S△GBD＝2S△OEC，分别表示出点E、D的坐标后，将S△GBD和S△OEC表示出来，建立关于x1和x2的方程，联立与得到关于x的一元二次方程后，利用求根公式法得到x1和x2的含b的表达式，代入方程求解即可．
【解答】解：如图所示，设B（x1，y1），A（x2，y2），直线与x轴交点记为点G，AC与OB的交点记为点E，作BD⊥x轴，垂足为点D，
∴x1 y1＝x2 y2＝﹣18，OD＝﹣x1，BD＝y1，
∴S△BOD |x1 y1|＝9，S△OAC |x2 y2|＝9，
∴S△OAC+S△OBD＝18，
又∵阴影部分面积为18，
∴S△GBD+（S△OBD﹣S△OEC）+（S△OAC﹣S△OEC）＝18，
∴S△GBD+（S△OBD﹣S△OEC）+（S△OAC﹣S△OEC）＝S△OAC+S△OBD，
∴S△GBD＝2S△OEC，
∵直线解析式为，
令y＝0，则x＝﹣2b，
∴G（﹣2b，0），
∴OG＝2b，
∴S△BDG DG BD（2b+x1）y1，
设直线OB的解析式为：y＝mx（m≠0），
代入B点坐标后得：，
∴，
∴OC＝﹣x2，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由，可得：，
其中，
∵x1＜x2，
∴，，
∴，
化简得：，
平方后得：9Δ2+b4＝10b2Δ，
将Δ＝b2﹣36代入可得：9（b2﹣36）2+b4＝10b2（b2﹣36），
∴9（b4﹣72b2+362）+b4＝10b4﹣360b2，
由b＞0，
解得：，
∴b的值为．
故答案为：．
四．反比例函数的应用（共2小题）
25．某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻R1＝10Ω，R2是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平，承受水压的面积S为0.01m2，压敏电阻R2的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示（水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时，报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示（参考公式，F＝pS，1000Pa＝1kPa），则下列说法中不正确的是（ ）
A．当水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa
B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N
C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m
D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻R1的阻值为12Ω
【思路点拔】由图3可以直接判断A；根据欧姆定律计算当报警器刚好开始报警时通过电路的电阻，根据串联电路电阻规律计算此时压敏电阻的阻值，根据F＝pS计算压敏电阻受到的压力即可判断B，根据液体压公式计算水箱中水的深度即可判断C；根据液体压强公式计算水深为1m时压敏电阻受到的压强，根据F＝pS计算此时压敏电阻受到的压力，由乙图可知此时压敏电阻的阻值，由B知当报警器刚好开始报警时电路总电阻，根据串联电路电阻规律计算选用的定值电阻的阻值．
【解答】解：A、由图3可知，水箱未装水（h＝0m）时，压强p为0kPa，
故A正确，不符合题意；
B、当报警器刚好开始报警时，根据欧姆定律可知此时电路的电阻：R20（Ω），
比时压敏电阻的阻值：R2＝R﹣R1＝20Q﹣10Q＝10Ω，由乙图可知此时压敏电阻受到压力为80N，
故B不正确，符合题意；
C、当报警器刚好开始报警时，则水箱受到的压强为P8000（Pa），
则水箱的深度为h0.8（m），
故C正确，不符合题意；
D、水深为lm时，压敏电阻受到的压强：P＝ρgh＝1.0×103×10×l＝10000（Pa），
此时压敏电阻受到的压力：F＝PS＝10000×0.01＝100（N），
由图2可知此时压敏电阻的阻值为8Ω，
由B知当报警器刚好开始报警时，电路总电阻为20Q，
根据串联电路电阻规律可知选用的定值电阻的阻值：R1＝R﹣R2＝20﹣8＝12．
故D正确，不符合题意．
故选：B．
26．如图，直线AB与反比例函数交于C、D两点，且D为CB中点，过DO的直线交反比例函数图象的另一点E，连结CE交y轴于点N，连结DN，若S△CDN＝3，则k的值为 ﹣6 ．
【思路点拔】求出直线BE的表达式为：y（x﹣3n），得到CT，由S△BCECT×（xE﹣xB）（﹣2n﹣3n）＝﹣3k，同理可得，S△CNE＝﹣k，即可求解．
【解答】解：连接BE，过点C作CT∥y轴交BE于点T，
设点C（n，），点D的纵坐标为y，
中点坐标公式得：y（0），
则点D的坐标为：（2n，），
由中点坐标公式得：点B（3n，0），
由点D的坐标得，点E（﹣2n，），
由点B、E的坐标得，直线BE的表达式为：y（x﹣3n），
当x＝n时，y（x﹣3n），
则CT，
则S△BCECT×（xE﹣xB）（﹣2n﹣3n）＝﹣3k，
同理可得，S△DNE＝﹣k，
而S△CDN＝3，
则S△CDE＝3﹣k，
∵D为CB中点，
则S△BCE＝2S△CDE，
则﹣3k＝2（3﹣k），
解得：k＝﹣6，
故答案为：﹣6．
五．反比例函数综合题（共11小题）
27．如图，在直角坐标系中，正方形OABC的顶点O与原点重合，顶点A、C分别在x轴、y轴上，反比例函数y（k≠0，x＞0）的图象与正方形的两边AB、BC分别交于点E、F，FD⊥x轴，垂足为D，连接OE、OF、EF，FD与OE相交于点G．下列结论：①OF＝OE；②∠EOF＝60°；③四边形AEGD与△FOG面积相等；④EF＝CF+AE；⑤若∠EOF＝45°，EF＝4，则直线FE的函数解析式为y＝﹣x+4+2．其中正确结论的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拔】①利用S△OCF＝S△AOEk，证明△OCF≌△OAE（SAS），即可求解；
②证明△EFO不一定是等边三角形，即可求解；
③四边形AEGD的面积＝S△AEO﹣S△ODGk﹣S△ODG，△FOG面积＝S△ODF﹣S△ODGk﹣S△ODG，即可求解；
④证明若∠EOF＝45°，才有EF＝CF+AE成立，即可求解；
⑤求出点E的坐标为（2+2，2），即可求解．
【解答】解：①S△OCF＝S△AOEk，
而OC＝OA，故CF＝AE，
又∠OCF＝∠OAE＝90°，
∴△OCF≌△OAE（SAS），
∴OF＝OE；
故①正确，符合题意；
②由①知，OF＝OE，而EF不一定和OE或OF相等，
即△EFO不一定是等边三角形，故∠EFO不一定等于60°，
故②不一定正确，不符合题意；
③四边形AEGD的面积＝S△AEO﹣S△ODGk﹣S△ODG，
△FOG面积＝S△ODF﹣S△ODGk﹣S△ODG，
故四边形AEGD与△FOG面积相等，故③正确，符合题意；
④将△OAE绕点O旋转到OCE′时，即CE′＝AE，
若∠EOF＝45°，则∠EOA+∠FOC＝45°，
故∠FOE′＝∠E′OC+∠FOC＝45°＝∠EOF，
而OE＝OE′，FO＝FO，
∴△FOE′≌△FOE（SAS），
∴EF＝E′F＝CF+CE′＝AE+CF，
即当∠EOF＝45°时，才有EF＝CF+AE成立，
故④错误，不符合题意；
⑤若∠EOF＝45°，由④得EF＝CF+AE，由①知CF＝AEEF＝2，
则BF＝BE，故△BEF为等腰直角三角形，
则BE＝BFEF＝2，
则OA＝AB＝AE+BE＝2+2，
故点E的坐标为（2+2，2），
∵△BEF为等腰直角三角形，故∠BFE＝45°，故设直线EF的表达式为：y＝﹣x+b，
将点E的坐标代入上式并解得：b＝4+2，
故直线FE的函数解析式为y＝﹣x+4+2，故⑤正确，符合题意，
故正确的为①③⑤，
故选：B．
28．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边OA，OB分别在y轴和x轴上，已知对角线OC＝5，tan∠BOC．F是BC边上一点，过点F的反比例函数y（k＞0）的图象与AC边交于点E，若将△CEF沿EF翻折后，点C恰好落在OB上的点M处，则k的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【思路点拔】过点E作ED⊥OB于点D，根据折叠的性质得∠EMF＝∠C＝90°，EC＝EM，CF＝DF，易证Rt△DEM∽Rt△BMF；而EC＝AC﹣AE＝4，CF＝BC﹣BF＝3，可得的比值；故可得出EM：MB＝ED：MF＝4：3，而ED＝3，从而求出BM，然后在Rt△MBF中利用勾股定理得到关于k的方程，解方程求出k的值．
【解答】解：过点E作ED⊥OB于点D，
∵对角线OC＝5，tan∠BOC，
∴BC＝3，BO＝4，
∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，
∴∠EMF＝∠C＝90°，EC＝EM，CF＝MF，
∴∠DME+∠FMB＝90°，
而ED⊥OB，
∴∠DME+∠DEM＝90°，
∴∠DEM＝∠FMB，
∴Rt△DEM∽Rt△BMF；
又∵EC＝AC﹣AE＝4，CF＝BC﹣BF＝3，
∴EM＝4，MF＝3，
∴；
∴ED：MB＝EM：MF＝4：3，而ED＝3，
∴MB，
在Rt△MBF中，MF2＝MB2+BF2，即（3）2＝（）2+（）2，
解得：k，
故选：D．
29．如图，点A为直线y＝﹣x上一点，过A作OA的垂线交双曲线y（x＜0）于点B，若OA2﹣AB2＝12，则k的值为（ ）
A．12 B．﹣12 C．6 D．﹣6
【思路点拔】延长AB交x轴于C点，作AF⊥x轴于F点，BE⊥x轴于E点，由于直线y＝﹣x为第二、四象限的角平分线，则△AOB、△BEC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得AC＝AOAF，BCBECE，AFOC，可得到AB＝AC﹣BC（AF﹣BE），利用OA2﹣AB2＝12变形得2AF BE﹣BE2＝6，即BE（2AF﹣BE）＝6，由于OC＝2AF，BE＝EC，所以
BE OE＝6，则得到B点的横纵坐标之积为﹣6，从而得到k的值为﹣6．
【解答】解：延长AB交x轴于C点，作AF⊥x轴于F点，BE⊥x轴于E点，如图，
∵点A为直线y＝﹣x上一点，
∴∠AOC＝45°，
∵AB⊥直线y＝﹣x，
∴△AOC、△BEC为等腰直角三角形，
∴AC＝AOAF，BCBECE，AFOC，
∴AB＝AC﹣BC（AF﹣BE），
∵OA2﹣AB2＝12，
∴（AF）2﹣[（AF﹣BE）]2＝12，
整理得2AF BE﹣BE2＝6，
∴BE（2AF﹣BE）＝6，
∴BE（OC﹣CE）＝6，即BE OE＝6，
设B点坐标为（x，y），则BE＝y，OE＝﹣x，
∴BE OE＝﹣xy＝6，
∴xy＝﹣6，
∴k＝﹣6．
故选：D．
30．如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是 3 ．
【思路点拔】分别过A、B两点作x轴的垂线，构成直角梯形，根据AC＝BC，判断OC为直角梯形的中位线，得出OD＝OE＝a，根据双曲线解析式确定A、B两点的坐标及AD、BE的长，根据S△AOB＝S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE求解．
【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC＝CB，∴OD＝OE，
设A（﹣a，），则B（a，），
故S△AOB＝S梯形ADBE﹣S△AOD﹣S△BOE
（）×2aaa
＝3，
故答案为：3．
31．如图，l1，l2分别是反比例函数y（k＞2）和y在第一象限内的图象，点A在l1上，线段OA交l2于点B，作AC⊥x轴于点C，交l2于点D，延长OD交l1于点E，作EF⊥x轴于点F，下列结论：
①S△AOD＝S四边形CDEF；
②BD∥AE；
③；
④EF2＝AC CD．
其中正确的是 ①②④ ．（填序号）
【思路点拔】由反比例函数的性质可得S△AOCS△OEF，可得S△AOD＝S四边形CDEF；故①正确；通过证明△OBH∽△OAC，可得，可证△BOD∽△AOE，可得∠OBD＝∠OAE，，可证BD∥AE，故②正确；故③错误；设点A（a，），则点D（a，），点C（a，0），可求AC CD的值，由相似三角形的性质可求EF的长，即可判断④正确，即可求解．
【解答】解：∵点A，点E在反比例函数y的图象上，
∴S△AOCS△OEF，
∴S△AOD＝S四边形CDEF；故①正确；
如图，过点B作BH⊥OC于H，
∴BH∥AC，
∴△OBH∽△OAC，
∴，
∴，
∴，
同理可证：，
∴，
又∵∠BOD＝∠AOE，
∴△BOD∽△AOE，
∴∠OBD＝∠OAE，，故③错误，
∴BD∥AE，故②正确；
设点A（a，），则点D（a，），点C（a，0），
∴AC，CD，
∴AC CD，
∵CD∥EF，
∴△ODC∽△OEF，
∴，
∴EF，
∴EF2AC CD，故④正确；
故答案为：①②④．
32．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数交于A（2，3），B两点，与x轴交于点C，且AB＝2BC．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）点P是y轴上一动点，连接AP，BP，当△ABP面积为6时，请求出点P的坐标；
（3）将线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，连接CD，在反比例函数上，是否存在一点Q，使得∠CDB+∠QCO＝90°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）把A（2，3）代入y，即可求得反比例函数的解析式，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，可得△CBF∽△CAE，利用相似三角形性质可求得点B的坐标，再运用待定系数法即可求得直线AB的解析式；
（2）设直线AB交y轴于点G，可得G（0，4），设P（0，y），则PG＝|y﹣4|，利用三角形面积公式即可求得答案；
（3）设CQ交y轴于点M，可证得△CDB∽△CMO，得出M（0，16），进而求得直线CQ的解析式，再联立方程组求解即可求得答案．
【解答】解：（1）∵反比例函数经过点A（2，3），
∴m＝2×3＝6，
∴反比例函数的解析式为y；
如图1，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
则∠CFB＝∠CEA＝90°，
设B（n，），又A（2，3），
∴OE＝2，AE＝3，OF＝n，BF，
∴EF＝OF﹣OE＝n﹣2，
∵∠CFB＝∠CEA，∠BCF＝∠ACE，
∴△CBF∽△CAE，
∴，
∵AB＝2BC，
∴，
∴，
∴BFAE，即1，
解得n＝6，
∴B（6，1），
把A（2，3）和B（6，1）分别代入y＝kx+b，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为yx+4；
（2）设直线yx+4交y轴于点G，如图2，
则G（0，4），
设P（0，y），则PG＝|y﹣4|，
∵S△ABPPG×（xB﹣xA）＝6，
∴|y﹣4|×（6﹣2）＝6，
解得：y＝1或7，
∴点P的坐标为（0，1）或（0，7）；
（3）存在，如图3，设CQ交y轴于点M，
∵直线AB与x轴交于点C，
∴yx+4＝0，
解得x＝8，
∴C（8，0），
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°，得到线段BD，
∴BD＝AB，∠CBD＝90°，
∵∠COM＝90°，
∴∠CBD＝∠COM，
∵∠CDB+∠DCB＝90°，∠CDB+∠QCO＝90°，
∴∠DCB＝∠QCO，
∴△CDB∽△CMO，
∴，
即，
∴OM＝16，
∴M（0，16），
∴直线CQ的解析式为y＝﹣2x+16，
联立得，
解得：，．
∴点Q的坐标为（4，8+2）或（4，8﹣2）．
33．如图，一次函数y＝2x+b与x轴y轴分别交于点A，B．与反比例函数交于点D，E．若点A坐标为，点D横坐标为1．
（1）求一次函数和反比例函数解析式；
（2）直接写出不等式的解集；
（3）点C为x轴上一个动点，请直接写出∠ECA＝∠EDC时点C的坐标．
【思路点拔】（1）将点A坐标代入一次函数求出b值，再点求出点D坐标，然后代入反比例函数解析求出k值；
（2）直接观察图象即可得解，找反比例函数在一次函数上方的部分；
（3）由∠ECA＝∠EDC易得出一组反A字型相似，，因为E、A、D是已知点，所以设C点坐标，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点在y＝2x+b图象上，
∴，
解得，b＝3，
∵点D在y＝2x+3图象上且点D的横坐标为1，
∴点D坐标为（1，5），
∵点D在反比例函数图象上，
∴，
∴k＝5，
∴一次函数解析式为y＝2x+3，反比例函数解析式为；
（2）令2x+3，
整理得2x2+3x﹣5＝0，
解得x＝1或x，
∴E（，﹣2），
观察函数图象知，不等式的解集0＜x＜1或x；
（3）∵∠CEA＝∠DEC，∠ECA＝∠EDC，
∴△ECA∽△EDC，
∴，
∴EC2＝EA ED，
∵E（，﹣2），A（，0），D（1，5），
∴EA，ED，
∴EC2，
设C（m，0），
∴EC2＝（m）+4，
解得m或，
∴C点坐标为（，0）或（，0）．
34．如图，一次函数y＝ax+b的图象与x轴交于点A，与反比例函数在第一象限的图象交于点B（n，4），其中a，b满足．
（1）直接写出k，n的值及点A的坐标；
（2）点D在反比例函数的图象上，其横坐标为m，且﹣4＜m＜﹣1，过点D的正比例函数图象与反比例函数的图象的另一个交点为C，连接BC，AD，四边形ABCD的面积可以为12吗？若可以，求出m的值；若不可以，请说明理由；
（3）点P是x轴负半轴上一点，以BP为边向线段BP右侧作等边△BPF，若点F在双曲线关于x轴对称的图象上，求点P的坐标．
【思路点拔】（1）由非负数的性质可得：a＝1，b＝3，可得出一次函数的解析式为y＝x+3，进而求得A（﹣3，0），B（1，4），再运用待定系数法即可求得k的值；
（2）过点A作AF∥y轴交CD于F，过点B作BG∥y轴交CD于G，可得S四边形ABCD＝S△ADF+S四边形ABGF+S△BCG2m+6＝12，即可求得答案；
（3）以BP为边向右侧作等边三角形BPF，以B为顶点作等边三角形BCD，使CD边在x轴上，设射线CF交y轴于点G，可证得△PBD≌△FBC（SAS），得出∠FCB＝∠PDB＝120°，利用待定系数法求得直线CG的解析式，根据题意点F在反比例函数y（x＞0）的图象上，通过联立方程组即可求得答案．
【解答】解：（1）∵|b﹣3|＝0，
∴a＝1，b＝3，
∴一次函数的解析式为y＝x+3，
当y＝0时，x+3＝0，
解得：x＝﹣3，
∴A（﹣3，0），
把点B（n，4）代入y＝x+3得：n+3＝4，
解得：n＝1，
∴B（1，4），
把B（1，4）代入y得：4，
解得：k＝4；
（2）四边形ABCD的面积可以为12．
过点A作AF∥y轴交CD于F，过点B作BG∥y轴交CD于G，
由题意得：D（m，），直线CD的解析式为yx，
则C（﹣m，），
∵A（﹣3，0），B（1，4），
∴F（﹣3，），G（1，），
当﹣4＜m＜﹣3时，点D在AF的左侧，
则S四边形ABCD＝S△ADF+S四边形ABGF+S△BCG
AF （xA﹣xD）（AF+BG） （xB﹣xA）BG （xG﹣xB）
（﹣3﹣m）（4）×（1+3）（4）×（﹣m﹣1）
2m+6，
∵S四边形ABCD＝12，
∴2m+6＝12，
解得：m＝﹣1或m＝﹣2，
∵﹣4＜m＜﹣3，
∴此时无解；
当﹣3≤m＜﹣1时，点D在AF的右侧，
则S四边形ABCD＝S四边形ABGF+S△BCG﹣S△ADF
（AF+BG） （xB﹣xA）BG （xG﹣xB）AF （xD﹣xA）
（4）×4（4）×（﹣m﹣1）（m+3）
2m+6，
∵S四边形ABCD＝12，
∴2m+6＝12，
解得：m＝﹣1或m＝﹣2，
∵﹣3≤m＜﹣1，
∴m＝﹣2；
（3）如图，以BP为边向右侧作等边三角形BPF，以B为顶点作等边三角形BCD，使CD边在x轴上，设直线CF交y轴于点G，
则C（1，0），∠PBF＝∠DBC＝∠BDC＝∠BCD＝60°，BP＝BF，BD＝BC，
∴∠PBD+∠DBF＝∠DBF+∠FBC，∠PDB＝120°，
∴∠PBD＝∠FBC，
∴△PBD≌△FBC（SAS），
∴∠FCB＝∠PDB＝120°，
∴∠PCF＝∠FCB﹣∠BCD＝120°﹣60°＝60°，
∴OG＝OC tan60°＝（1）4，
∴G（0，4），
∴直线CG的解析式为yx4，
∵点F在双曲线y（x＞0）关于x轴对称的图象上，
∴点F在双曲线y（x＞0）的图象上，
联立得，
解得：，，
∴F1（，），F2（1，﹣4），
设P（x，0），且x＜0，
当F（，）时，则BP＝BF，
∴（x﹣1）2+42＝（1）2+（4）2，
解得：x＝3（舍去）或x1，
∴点P的坐标为（1，0）；
当F（1，﹣4）时，则PB＝BF＝8，
∴（x﹣1）2+42＝82，
解得：x＝1+4（舍去）或x＝1﹣4，
∴点P的坐标为（1﹣4，0）；
综上所述，点P的坐标为（1，0）或（1﹣4，0）．
35．已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数的图象与AC边交于点E．
（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；
（2）记S＝S△OEF﹣S△ECF，用k的代数式表示S；
（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）分别用点E，F的坐标表示出△AOE与△FOB的面积，进行比较；
（2）应分别用矩形面积和能用图中的点表示出的三角形的面积表示出所求的面积；
（3）点F的横坐标已有，与点B的横坐标相同，利用折叠以及相似求得点F的纵坐标．
【解答】（1）证明：设E（x1，y1），F（x2，y2），△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2，
则S1x1y1k，S2x2y2k，
∴S1＝S2，
即△AOE与△FOB的面积相等；
（2）解：由题意知E，F两点坐标分别为E（，3），F（4，），
∴S△ECFEC CF（4k）（3k），
∴S△EOF＝S矩形AOBC﹣S△AOE﹣S△BOF﹣S△ECF
＝12kk﹣S△ECF
＝12﹣k﹣S△ECF
∴S＝S△OEF﹣S△ECF＝12﹣k﹣2S△ECF＝12﹣k﹣2（4k）（3k）．
∴Sk2+k；
（3）解：存在，理由：
设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，
过点E作EN⊥OB，垂足为N．
由题意得：EN＝AO＝3，EM＝EC＝4k，MF＝CF＝3k，
∵∠EMN+∠FMB＝∠FMB+∠MFB＝90°，
∴∠EMN＝∠MFB．
又∵∠ENM＝∠MBF＝90°，
∴△EMN∽△MFB．
∴EN：MB＝EM：MF，
∴，
∴MB．
∵MB2+BF2＝MF2，即（）2+（k）2＝（3k）2，
解得k．
∴BF，
∴存在符合条件的点F，它的坐标为（4，）．
36．换一个角度初看
华罗庚先生曾说过，数缺形时少直观，形缺数时难入微．这真实地刻画了数形结合的互补性和不可分．例如：已知两个函数y1＝﹣x+6（x＞0），当x取何值时，y1＞y2？根据“代数”的思想要解一元二次不等式，比较麻烦．而利用数形结合思想，只要画出图象后观察交点，就很好理解了．
（1）如图1，当y1＞y2时，x的取值范围是 1＜x＜5 ．
换一个角度二看
我们定义：任意给定一个矩形M，如果存在另一个矩形N，它的周长和面积都是原矩形的2倍，那么我们称N是M的“加倍矩形”，M是N的“双半矩形”．请你研究矩形N是否存在“双半矩形”M．我们利用数形结合思想来解决方程问题．如图2，在同一平面直角坐标系中画出一次函数y＝﹣x+7和反比例函数的部分图象，其中x和y分别表示矩形N的“双半矩形”M的两边长．
（2）请你结合之前的研究，回答下列问题：
①这个图象所研究的矩形N的面积为 20 ，周长为 28 ．
②是否存在矩形M的“双半矩形”Q？如果存在，请求出Q的边长；如果不存在，请说明理由．
（3）在第（2）问的条件下，坐标平面内是否存在以O，C，D，E为顶点的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）观察函数图象，即可求解；
（2）①由题意得：x+y（m+n）且yxmn，即可求解；
②假设存在矩形Q，其边长为s，t，同理可得：s+t（x+y），stxy，则存在方程：2x2﹣7x+10＝0，而方程无解，即可求解；
（3）当CO为对角线时，由中点坐标公式列出方程组即可求解；当OD或OE为对角线时，同理可解．
【解答】解：（1）联立y1＝﹣x+6（x＞0）和得：﹣x+6，
解得：x＝1或5，
观察函数图象知，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜5，
故答案为：1＜x＜5；
（2）①设矩形N的边长分别为：m，n，
由题意得：x+y（m+n）且yxmn，
而x+y＝7，xy＝10，
则m+n＝14，mn＝20，
故周长为28，面积为20，
故答案为：20，28；
②假设存在矩形Q，其边长为s，t，
同理可得：s+t（x+y），stxy，
则存在方程：2x2﹣7x+10＝0，
∵Δ＝49﹣80＜0，
方程无解，
故不存在矩形Q；
（3）存在，理由：
联立两个函数表达式得：x+7，
解得：x＝2或5，
即点C、D的坐标分别为：（2，5）、（5，2）；
设点E（x，y），
当CO为对角线时，
由中点坐标公式得：
，解得：，即点E（﹣3，3）；
当OD或OE为对角线时，
同理可得：或，
解得：或，
即点E（3，﹣3）或（7，7）；
综上，E（﹣3，3）或（3，﹣3）或（7，7）．
37．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝2OB，反比例函数 在第一象限的图象经过正方形的顶点C．
（1）求点C的坐标；
（2）如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移得到正方形 A'B'CD'，点A'恰好落在反比例函数的图象上，求此时点D'的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P为y轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、A'、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．
【思路点拔】（1）作CH⊥x轴于H，利用AAS证明△AOB≌△BHC，得BH＝OA＝6，CH＝OB＝3，可得点C的坐标，再将点C代入反比例函数解析式可得答案；
（2）由（1）同理可得，点D（6，9），根据A'的坐标求出m的值，再利用平移的性质可得D'的坐标；
（3）分OA'＝OP，A'O＝A'P，PA'＝PO三种情形，分别画出菱形，根据菱形的性质可得答案．
【解答】解：（1）作CH⊥x轴于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBH＝90°，
∵∠ABO+∠OAB＝90°，
∴∠OAB＝∠CBH，
∴△AOB≌△BHC（AAS），
∴BH＝OA，CH＝OB，
∵OA＝2OB，
∴OH＝3OB，
∵点C在反比例函数的图象上，
∴3OB2＝27，
∴OB＝3（负值已舍去），
∴C（9，3）；
（2）由（1）同理可得，点D（6，9），
∵点A'恰好落在反比例函数的图象上，
∴当y＝6时，x，
∴反比例函数向右平移个单位长度，
∴D'（6，9），即D'（，9）；
（3）当OA'＝OP时，如图，
∵A'（，6），
∴OA'，
∵四边形OPQA'是菱形，
∴A'Q∥OP，A'Q＝OP，
∴Q′（，），
当点Q在第四象限时，Q（，），
当A'O＝A'P时，如图，
则点A'与Q关于y轴对称，
∴Q（，6），
当PO＝PA'时，如图，设P（0，m），
则PO＝PA'，
∴m2＝（6﹣m）2+（）2，
解得m，
∴OP＝A'Q，
∴Q（，），
综上：Q（，）或（，）或（，6）或（，）．
六．解直角三角形（共6小题）
38．如图，在Rt△ABC中，ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，sin∠CEF，则△AEF的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【思路点拔】利用解直角三角形、三角形相似求得EF、AE的长，利用面积公式求解即可．
【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为D，
∵EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠DCE＝∠CEF，
在Rt△CDE中，sin∠DCE＝sin∠CEF，
设DE＝3x，则CE＝5x，
∴CD4x，
在Rt△ABC中，BE＝EA，
∴CE＝BE＝EA＝5x，
∴AB＝2BE＝10x，
∴BD＝BE﹣DE＝2x，
在Rt△BCD中，BC2＝BD2+CD2，BC＝4，
∴42＝（4x）2+（2x）2
∴x，
∵Rt∠CDA＝Rt∠FEA，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△AFE，
∴
∴，
∴EF，
∵AE＝5x＝2，
∴
＝5．
故选：C．
39．如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KMTB＝2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．
【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．
∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，
∴△OAT是等边三角形，
∵A（4，0），
∴TO＝TA＝TB＝4，T（2，2），K（1，），
∵OK＝KT，OM＝MB，
∴KMTB＝2，
∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，
当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，
∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，
∴AK⊥OT，
∴AK2，
∵AM是切线，KM是半径，
∴AM⊥KM，
∴AM2，
过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．
∵∠PML＝∠AMK＝90°，
∴∠PMK＝∠LMA，
∵∠P＝∠MLA＝90°，
∴△MPK∽△MLA，
∴，
设PK＝x，PM＝y，则有MLy，ALx，
∴yx①，y＝3x，
解得，x，y，
∴MLy，
∴sin∠OAM．
故选：A．
40．如图，在△ABC中，∠ACB＝60°，∠B＝45°，AB，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【思路点拔】作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，分别解直角三角形ABD求得BD，AD和CD，从而求得BC，设EF＝x，在直角三角形EFC中表示出CF，进而根据CF+BF＝BC列出方程求得x，进而求得结果．
【解答】解：如图，
作AD⊥BC于D，作EF⊥BC于F，
在Rt△ABD中，
BD＝AD＝AB sinB，
在Rt△ADC中，∠DAC＝90°﹣∠ACB＝30°，
CD＝AD tan30°1，
∴BC1，
在Rt△BEF中，设BF＝EF＝x，
在Rt△EFC中，∠FEC＝90°﹣∠BCE＝60°，
CF＝EF tan60°x，
由CF+BF＝BC得，
，
∴x＝1，
∴EC＝2EF＝2，
故答案为：B．
41．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC的平分线交AC于D，M在AC延长线上，N在BD上，MN经过BC中点E，MD＝MN，若sinA，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】过D作DH⊥AB于H，延长MN交AB于F，由sinA，设BC＝6x，则AB＝7x，而E为BC中点，得BEBC＝3x，根据BD平分∠ABC，可得△BCD≌△BHD（AAS），即有BH＝BC＝6x，∠CDB＝∠HDB，而MD＝MN，可得DH∥MN，即知NF⊥AB，根据sin∠BEF＝sinA，得BFx，从而可得．
【解答】解：过D作DH⊥AB于H，延长MN交AB于F，如图：
在Rt△ABC中，sinA，
∴，
设BC＝6x，则AB＝7x，
∵E为BC中点，
∴BEBC＝3x，
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠DBH，
∵∠DHB＝∠DCB＝90°，BD＝BD，
∴△BCD≌△BHD（AAS），
∴BH＝BC＝6x，∠CDB＝∠HDB，
∵MD＝MN，
∴∠CDB＝∠MND，
∴∠MND＝∠HDB，
∴DH∥MN，
∵DH⊥AB，
∴MN⊥AB，即NF⊥AB，
∴∠BEF＝90°﹣∠EBF＝∠A，
∴sin∠BEF＝sinA，
∴，即，
∴BFx，
∵NF⊥AB，DH⊥AB，
∴NF∥DH，
∴，
故选：A．
42．已知：如图，点O是直线l外一点，点O到直线l的距离是4，点A、点B是直线l上的两个动点，且cos∠AOB，则线段AB的长的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．4
【思路点拔】如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．首先证明当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小，解直角三角形求出此时AB的值，可得结论．
【解答】解：如图，过点O作直线l′∥直线l，则直线l与直线l′之间的距离为4，作点B关于直线l′的对称点B′，连接OB′，AB′，AB′交直线l′于点T，连接BT，过点A作AH⊥BT于H，过点T作TW⊥AB于W．
在Rt△ABB′中，AB，
∴AB′的值最小时，AB的值最小，
∵OA+OB＝OA+OB′≥AB′，
∴当A，O，B′共线时，AB′的值最小，此时AB的值最小，
∵直线l垂直平分线段BB′，
∴TB＝TB′，
∴∠TBB′＝∠TB′B，
∵∠TBA+∠TBB′＝90°，∠TAB+∠TB′B＝90°，
∴∠TAB＝∠TBA，
∴TA＝TB，
∵cos∠AOB＝cos∠ATB，
∴，
∴可以假设TH＝3k，AT＝TB＝5k，
∴BH＝TB﹣TH＝2k，
∴AH4k，
∴AB2k，
∵S△TAB AB TW TB AH，
∴2k×45k×4k，
解得k，
∴AB的最小值＝24，
故选：D．
43．如图，已知A、B两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C、F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，tan∠BAD的值是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拔】如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KDCF＝5，推出点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，推出当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，作EH⊥AB于H．求出EH，AH即可解决问题．
【解答】解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KDCF＝5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO，
∴，
∴OE，
∴AE，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE AB EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH，
∴AH，
∴tan∠BAD，
故选：B．
七．解直角三角形的应用（共1小题）
44．从水平地面到水平观景台之间有一段台阶路和一段坡路，示意图如下．台阶路AE共有8个台阶，每个台阶的宽度均为0.5m，台阶路AE与水平地面夹角∠EAB为28°．坡路EC长7m，与观景台地面的夹角∠ECD为15°．求观景台地面CD距水平地面AB的高度BD（精确到0.1m）．
[参考数据：sin28°＝0.47，cos28°＝0.88，tan28°＝0.53；sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27]．
【思路点拔】作EM⊥CD于M，EN⊥AB于N，在直角三角形ANE中求出EN的值，在直角三角形CME中，求出ME的值，进而求出BD的长．
【解答】解：作EM⊥CD于M，EN⊥AB于N．
在△ANE中，∠ENA＝90°，，
∵∠BAE＝28°，AN＝0.5×8＝4m，
∴EN＝AN tan28°＝4×0.53＝2.12m，
在△CME中，∠CME＝90°，
sin∠ECM，
∵∠DCE＝15°，EC＝7m，
∴ME＝CE sin15°＝7×0.26＝1.82m，
∴NE+ME＝2.12+1.82＝3.94m≈3.9m，
答：观景台地面CD距水平地面AB的高度BD约3.9m．
八．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共2小题）
45．日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为23.9m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
【思路点拔】（1）在Rt△EFH中，根据坡度的定义得出tan∠EFH＝i＝1：0.75，设EH＝4x，则FH＝3x，由勾股定理求出EF5x，那么5x＝15，求出x＝3，即可得到山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）根据该楼的日照间距系数不低于1.25，列出不等式1.25，解不等式即可．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，∠H＝90°，
∴tan∠EFH＝i＝1：0.75，
设EH＝4x m，则FH＝3x m，
∴EF5x m，
∵EF＝15m，
∴5x＝15m，x＝3，
∴FH＝3x＝9m．
即山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）∵L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，
H＝AB+EH＝23.9+12＝35.9，H1＝0.9，
∴日照间距系数＝L：（H﹣H1），
∵该楼的日照间距系数不低于1.25，
∴1.25，
∴CF≥30.75．
答：底部C距F处30.75m远．
46．根据以下素材，探索完成任务
探究纸伞中的数学问题
素材1 我国纸伞制作工艺十分巧妙，如图1，伞不管是张开还是收拢，AP是伞柄，伞骨AB＝AC且AEAB，AFAC，DE＝DF，D点为伞圈．
素材2 伞圈D能沿着伞柄滑动，如图2是完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D滑动到D'的位置，且A、E、D′三点共线．测得AD'＝50cm，AE＝20cm，伞完全张开时∠BAC＝120°，如图1所示（参考值：24.49）．
素材3 项目化学习小组同学经过研究发现：雨往往是斜打的，且都是平行的．如图3，某一天，雨线BM与地面夹角为60°，小明同学站在伞圈D点的正下方点G处，记为GH，此时发现身上被雨淋湿，测得BN＝150cm．
问题解决
任务1 判断AP位置 求证：AP平分∠BAC．
任务2 探究伞圈移动距离 当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D移动的距离（精确到0.1）．
任务3 拟定撑伞方案 求伞至少向下移动距离 60 cm，使得人站在G处身上不被雨淋湿．（直接写出答案）
【思路点拔】（1）利用SSS证明△ADE≌△ADF即可得到答案；
（2）过点E作EG⊥AD于点G，求出AD的长，即可利用DD'＝AD'﹣AD求出答案；
（3）设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，先求出BO，可得NG，再求出MN，进而可求出QG，即为问题的答案．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，且AEAB，AFAC，
∴AE＝AF，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（SSS），
∴∠BAD＝∠CAD，
∴AP平分∠BAC；
（2）过E做EQ⊥AP，
∵∠BAC＝120°，
∴∠DAE＝60°，
∴∠AEQ＝30°，
∵AE＝20cm，
∴AQAE＝10cm，
由勾股定理，得EQ（cm），
∵DE＝30cm，
∴DQ（cm），
∴AD＝AQ+DQ＝（10）cm，
∵AD'＝50cm，
∴DD'＝AD'﹣AD＝50﹣（10）＝4015.5（cm），
（3）解：设AG与BC交于点O，与BM交于点Q，如图，
在Rt△ABO中，
AB＝3AE＝60cm，∠BAO＝60°，
∴BO＝AB sin∠BAO＝60 sin60°＝30（cm），
∴NG＝BO＝30cm，
在Rt△BMN中，
BN＝150cm，∠BMN＝60°，
∴MN50（cm），
∴MG＝MN﹣NG＝503020（cm），
在Rt△QGM中，
QG＝MG tan60°＝20 60（cm），
故答案为：60．
九．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共5小题）
47．北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（ ）（精确到0.1米，参考数据：1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
A．21.5米 B．21.9米 C．22.0米 D．23.9米
【思路点拔】延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，根据锐角三角函数即可求出结果．
【解答】解：如图，延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，
∵CD的坡度为i＝1：0.75，
∴，
设DG＝4k米，CG＝3k米，则CD＝5k米，
∴5k＝15，
∴k＝3，
∴DG＝12米，CG＝9米，
∵EF的坡角为45°，EF＝3米，
∴EH＝FH＝3米，
∵四边形BNHF和四边形DGMN是矩形，
∴BF＝NH＝DE，BN＝FH＝3米，DN＝MG，NM＝DG＝12米，
∴BM＝BN+NM＝15米，
在Rt△BCM中，∠BCM＝37°，
MC＝MG+CG＝DN+CG＝NH+HE+DE+CG＝2BF+3+9＝（2BF+12）米，
∴BM＝CM tan∠BCM，
∴15＝（2BF+12）×0.75，
∴BF＝4米，
在Rt△ABF中，∠AFB＝60°，
∴AB＝BF tan60°＝46.92（米），
∴AM＝AB+BM＝6.92+15≈21.9（米）．
故选：B．
48．贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度，如下是两种测量方案．
实物图 课题 测量公馆桥的高度
测量示意图 方案一 方案二
方案说明 无人机位于水面上方62米的P处，测得A的俯角为45°，C的俯角为37°（A，C在桥面上）． 无人机位于水面上方62米的N处，测得桥面正中心A的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达M处，测得点A的俯角为37°.
（1）根据以上数据判断，方案 一 不能求公馆桥的高度；
（2）利用以上可行方案求公馆桥的高度（参考数据，，cos37°）
【思路点拔】（1）根据题目的数据和图形，即可解答；
（2）延长BA交MN于点C，根据题意可得：AC⊥MN，BC＝61米，MN＝91米，设MC＝x米，则CN＝（91﹣x）米，然后分别在Rt△ACM和Rt△ACN中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）根据以上数据判断，方案一不能求公馆桥的高度，
故答案为：一；
（2）延长BA交MN于点C，
由题意得：AC⊥MN，BC＝61米，MN＝91米，
设MC＝x米，
∴CN＝MN﹣MC＝（91﹣x）米，
在Rt△ACM中，∠AMC＝37°，
∴AC＝MC tan37°x（米），
在Rt△ACM中中，∠ANC＝45°，
∴AC＝CN tan45°＝（91﹣x）米，
∴x＝91﹣x，
解得：x＝52，
∴ACx＝39（米），
∴AB＝BC﹣AC＝62﹣39＝23米．
答：公馆桥的高度约为23米．
49．如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA＝100米，山坡坡度（竖直高度与水平宽度的比）i＝1：2，且O、A、B在同一条直线上．求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度．（测倾器高度忽略不计，结果保留根号形式）
【思路点拔】在图中共有三个直角三角形，即Rt△AOC、Rt△PCF、Rt△PAE，利用60°、45°以及坡度比，分别求出CO、CF、PE，然后根据三者之间的关系，列方程求解即可解决．
【解答】解：作PE⊥OB于点E，PF⊥CO于点F，
在Rt△AOC中，AO＝100，∠CAO＝60°，
∴CO＝AO tan60°＝100（米）．
设PE＝x米，
∵tan∠PAB，
∴AE＝2x．
在Rt△PCF中，∠CPF＝45°，CF＝100x，PF＝OA+AE＝100+2x，
∵PF＝CF，
∴100+2x＝100x，
解得x．
答：电视塔OC高为100米，点P的铅直高度为（米）．
50．如图，广安市防洪指挥部发现渠江边一处长400米，高8米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤（横截面为梯形ABCD）急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽2米，加固后，背水坡EF的坡比i＝1：2．
（1）求加固后坝底增加的宽度AF的长；
（2）求完成这项工程需要土石多少立方米？
【思路点拔】（1）分别过E、D作AB的垂线，设垂足为G、H．在Rt△EFG中，根据坡面的铅直高度（即坝高）及坡比，即可求出FG的长，同理可在Rt△ADH中求出AH的长；由AF＝FG+GH﹣AH求出AF的长．
（2）已知了梯形AFED的上下底和高，易求得其面积．梯形AFED的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．
【解答】解：（1）分别过点E、D作EG⊥AB、DH⊥AB交AB于G、H，
∵四边形ABCD是梯形，且AB∥CD，
∴DH平行且等于EG，
故四边形EGHD是矩形，
∴ED＝GH，
在Rt△ADH中，AH＝DH÷tan∠DAH＝8÷tan45°＝8（米），
在Rt△FGE中，i＝1：2，
∴FG＝2EG＝16（米），
∴AF＝FG+GH﹣AH＝16+2﹣8＝10（米）；
（2）加宽部分的体积V＝S梯形AFED×坝长（2+10）×8×400＝19200（立方米）．
答：（1）加固后坝底增加的宽度AF为10米；（2）完成这项工程需要土石19200立方米．
51．某班学生的社会实践课，他们走到某地看到前方不远处有幢大 楼顶部有广告牌CD（如图）．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在A处看大楼顶端点D的仰角为30°．乙：我站在B处看广告牌顶端点C的仰角为45°．甲：我们的身高都是1.60米．乙：我们相距14米，我到大楼的距离为31米．请你根据两位同学的对话，求这幢大楼的高DH和这块广告牌CD的高度．（1.732，计算结果保留一位小数）
【思路点拔】首先分析图形：根据题意构造直角三角形Rt△DME与Rt△CNE，分别求出DE，CE的长度，然后根据EH＝1.60可求出DH的长度，继而求出CD的长度．
【解答】解：在Rt△DME中，tan∠DME，
∴DE＝4515×1.732≈25.98 （米），
∴DH＝25.98+1.6≈27.6 （米），
在Rt△CNE中，∠CNE＝45°，
则NE＝CE＝31（米），
∴CD＝CE﹣DE＝31﹣25.98≈5.0（米）．
答：楼高DH为27.6米，广告牌CD的高度为5.0米．
一十．解直角三角形的应用-方向角问题（共3小题）
52．观察与思考：阅读下列材料，并解决后面的问题
在锐角△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，过A作AD⊥BC于D（如图（1）），则，即AD＝csinB，AD＝bsinC，于是csinB＝bsinC，即，同理有：，
所以．
即：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等在锐角三角形中，若已知三个元素（至少有一条边），运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素．
根据上述材料，完成下列各题．
（1）如图（2），△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，BC＝60，则∠A＝ 60° ；AC＝ 20 ；
（2）自从去年日本政府自主自导“钓鱼岛国有化”闹剧以来，我国政府灵活应对，现如今已对钓鱼岛执行常态化巡逻．某次巡逻中，如图（3），我渔政204船在C处测得A在我渔政船的北偏西30°的方向上，随后以40海里/时的速度按北偏东30°的方向航行，半小时后到达B处，此时又测得钓鱼岛A在的北偏西75°的方向上，求此时渔政204船距钓鱼岛A的距离AB．（结果精确到0.01，）
【思路点拔】（1）利用题目总结的正弦定理，将有关数据代入求解即可；
（2）在△ABC中，分别求得BC的长和三个内角的度数，利用题目中总结的正弦定理求AC的长即可．
【解答】解：（1）由正弦定理得：∠A＝60°，AC＝20；
故答案为：60°，20；
（2）如图，依题意：BC＝40×0.5＝20（海里）
∵CD∥BE，∴∠DCB+∠CBE＝180°．
∵∠DCB＝30°，∴∠CBE＝150°．
∵∠ABE＝75°，∴∠ABC＝75°．
∴∠A＝45°．
在△ABC中，，
即，
解之得：AB＝1024.49海里．
所以渔政204船距钓鱼岛A的距离约为24.49海里．
53．阅读材料：
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，，利用上述结论可以求解如下题目：
在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c．若∠A＝45°，∠B＝30°，a＝6，求b．
解：在△ABC中，∵∴b3．
理解应用：
如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里．
（1）判断△A1A2B2的形状，并给出证明；
（2）求乙船每小时航行多少海里？
【思路点拔】（1）先根据路程＝速度×时间求出A1A2＝3010，又A2B2＝10，∠A1A2B2＝60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出△A1A2B2是等边三角形；
（2）先由平行线的性质及方向角的定义求出∠A1B1B2＝75°﹣15°＝60°，由等边三角形的性质得出∠A2A1B2＝60°，A1B2＝A1A2＝10，那么∠B1A1B2＝105°﹣60°＝45°．然后在△B1A1B2中，根据阅读材料可知，，求出B1B2的距离，再由时间求出乙船航行的速度．
【解答】解：（1）△A1A2B2是等边三角形，理由如下：
连接A1B2．
∵甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，
∴A1A2＝3010，
又∵A2B2＝10，∠A1A2B2＝60°，
∴△A1A2B2是等边三角形；
（2）过点B作B1N∥A1A2，如图，
∵B1N∥A1A2，
∴∠A1B1N＝180°﹣∠B1A1A2＝180°﹣105°＝75°，
∴∠A1B1B2＝75°﹣15°＝60°．
∵△A1A2B2是等边三角形，
∴∠A2A1B2＝60°，A1B2＝A1A2＝10，
∴∠B1A1B2＝105°﹣60°＝45°．
在△B1A1B2中，
∵A1B2＝10，∠B1A1B2＝45°，∠A1B1B2＝60°，
由阅读材料可知，，
解得B1B2，
所以乙船每小时航行：20海里．
54．钓鱼岛自古就是中国的领土，中国有关部门已对钓鱼岛及其附属岛屿开展常态化监视监测．一日，中国一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距钓鱼岛（设M，N为该岛的东西两端点）最近距离为12海里（即MC＝12海里）．在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向；航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东60°方向，（其中N，M，C在同一条直线上），求钓鱼岛东西两端点MN之间的距离．
【思路点拔】在直角△ACM，∠CAM＝45°，则△ACM是等腰直角三角形，即可求得AC的长，则BC可以求得，然后在直角△BCN中，利用三角函数求得AN，根据MN＝CN﹣CM即可求解．
【解答】解：在直角△ACM，∠CAM＝45度，则△ACM是等腰直角三角形，
则AC＝CM＝12（海里），
∴BC＝AC﹣AB＝12﹣4＝8（海里），
直角△BCN中，CN＝BC tan∠CBNBC＝8（海里），
∴MN＝CN﹣CM＝（812）（海里）．
答：钓鱼岛东西两端点MN之间的距离是（812）海里．
