2024 年秋季学期九年级
数学科目
考生注意：本练习共 3 道大题，25 道小题，满分 120 分，时量 120 分钟.
一、选择题（本大题共 10 道小题，每小题 3 分，共 30 分）
1．中国是最早采用正负数表示相反意义的量的国家，如果将“收入 60元”记作“+60元”，那么“支出 40元”
记作（ ）.
A． 40元 B． 40元 C．+20元 D．20元
2．甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（ ）.
A． B． C． D．
3．我国高速公路发展迅速，到目前为止，全国高速公路总里程约为118000千米，用科学记数法表示为（ ）.
A．1.18 105 B．11.8 103 C．118 102 D．1.18 104
a b a
4．若 ，则 的值是（ ）.
4 5 b
5 4 1
A． B． C． 20 D．
4 5 20
5．关于反比例函数 y
6
，下列说法中错误的是（ ）.
x
A． x 0时，y随 x的增大而减小 B．当1 x 6时，1 y 6
C．当 x 1时，y有最大值为 6 D．它的图象位于第一、三象限
6．如图，在 O中， AB是直径，点C,D在圆上且 ADC 30 ，则 BAC的度数是（ ）.
A．30 B． 45 C．60 D．75
第 6题图 第 7题图 第 8题图 第 9题图
7．如图，△ ABC与△ A'B'C '位似，点O为位似中心，且点O在边 AA'上．若 AA' 3OA，BC 5，则 B C
的长为（ ）.
A．5 B．10 C．15 D．20
8．如图，线段 AB∥CD，连接 AD，BC交于点 O，若 CD＝2AB，则下列选项中错误的是（ ）.
AO 1 AOB的面积 1 AOB的周长 1
A．△AOB∽△DOC B． C． = D． =
OC 2 DOC的面积 4 DOC的周长 2
9．正多边形的一部分如图所示，点 O为正多边形的中心，若 ACB 20 ，则该正多边形的边数为（ ）.
A．8 B．9 C．10 D．12
试卷第 1页，共 4页
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10．如图，将正方形纸片 ABCD沿 PQ折叠，使点 C的对称点 E落在边 AB上，点 D的对称点为点 F，EF为
交 AD于点 G，连接CG交 PQ于点 H，连接CE．下列四个结论中：①△PBE∽△QFG ；
② S CEG S CBE S四边形CDQH ；③ EC平分 BEG；④EG2 CH 2 GQ GD，正确的是（ ）.
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
第 15题图
第 10题图 第 16题图
二、填空题（本大题共 6 道小题，每小题 3 分，共 18 分）
11． 4x2 y2因式分解的结果为 ．
12．要使二次根式 3 x 在实数范围内有意义，则 x的取值范围为 ．
13．二次函数 y (x 2)2 2的顶点坐标是 ．
14．若圆锥的高为8cm，母线长为10cm，则这个圆锥的侧面展开图的弧长是 cm．（结果保留π）
15．如图，这是一种用于液体蒸馏或分馏物质的玻璃容器——蒸馏瓶，其底都是圆球形．截面圆中弦 AB的
长为 2 21 cm，瓶内液体的最大深度CD 3cm，则截面圆的半径为 cm．
1
16．如图，点 A为反比例函数 y x 0 图象上的一点，连接 AO，过点 O作OA的垂线与反比例
x
y 4 x 0 AO 的图象交于点 B，则 的值为 ．
x BO
三、解答题（本大题共 9 道小题，第 17、18、19 题每小题 6 分，第 20、21 题每小题 8 分，第 22、
23 题每小题 9 分，第 24、25 题每小题 10 分，共 72 分）
17 2
0 1
．计算：3 8 1 1 ．
9
x2 2x 1 4
18 1 ．先化简，再求值： 2 ，然后从 3，0，1，3中选一个合适的数作为 x的值代入求值．x 3x x 3
19．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为 1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．
（1）以O为原点建立直角坐标系，点 B的坐标为 3,1 ，则点 A的坐标为 ；
（2）画出△ABO绕点O顺时针旋转 90°后的△A1B1O．
试卷第 2页，共 4页
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20．为提高学生的综合素养，小北所在学校开设了四个兴
趣小组，A“健美操”、B“跳绳”、C“剪纸”、D“书法”为了了
解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学
进行调查，并将调查结果绘制出上面不完整的统计图，请
结合图中的信息解答下列问题：
(1)本次共调查了______名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)C组所对应的扇形圆心角为_______度；
(3)若该校共有学生 1400人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是__________；
(4)现选出了 4名跳绳成绩最好的学生，其中有 1名男生和 3名女生．要从这 4名学生中任意抽取 2名学生
去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到 1名男生与 1名女生的概率．
21．如图，在平面直角坐标系 xOy
k
中，一次函数 y1 2x 6的图像与反比例函数 y2 的图像相交于 A a, 4 ，x
B b, 2 两点．
(1)求反比例函数的表达式及点 B的坐标；
(2)观察图像，直接写出 y1 y2时 x的取值范围．
22．为筹集爱心基金资助贫困生，小北组织了线上的爱心售卖活动，线上直播中推出的一款“雅美”文创
礼盒，每盒的成本为 10元，若按每盒 35元销售，则同时段每小时可售出 50盒．为了让利全国网友，小北
决定降价销售，经核算，发现销售价每降低 1元，同时段每小时的销量就增加 10盒．设该礼盒售价为每盒
x元，则降价（35-x）元，每小时的销售利润为 w元．
(1)求 w关于 x的函数关系式；
(2)直播间在让利顾客的前提下，要使一小时的销售利润达到 2000元，销售价应定为每盒多少元？
(3)当销售价定为多少元时每小时的利润最大？并求出最大利润．
23．如图，在菱形 ABCD中，点 G在边CD上，连线 AG并延长交 BC的延长线于点 F，连结 BD交 AF 于点
E，连结CE．
(1)求证：△AED≌△CED
(2)求证： EC 2 EF EG；
CE
(3)若 AB 6， 3，求CF的长．
EG
试卷第 3页，共 4页
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1
24 2．如图 1，抛物线 y x bx c与 x轴交于 O、A（8,0）两点，点 B为抛物线的顶点，连接 OB．
4
(1)求抛物线解析式；
(2)如图 2，以点 A为圆心，4为半径作⊙A，点 M在⊙A上．连接 OM、BM，
①当△OBM是以 OB为底的等腰三角形时，求点 M的坐标；
②如图 3，取 OM的中点 N，连接 BN，当点 M在⊙A上运动时，求线段 BN长度的取值范围．
25．【阅读材料】克罗狄斯 托勒密（约 90-168 年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家，托勒密
定理是欧几里得几何中的重要定理．定理内容如下：任意一个凸四边形，两组对边乘积的和不小于两条对
角线的乘积，当且仅当四边形四个顶点共圆时，等号成立．即：四边形 ABCD中，有
AB CD BC AD AC BD，当 A, B ,C ,D 四点共圆时，有 AB CD BC AD AC BD．
【尝试证明】（1）如图 1，四边形 ABCD内接于 O，求证： AB CD BC AD AC BD．
证明：在 AC上取点 E，连接DE，使 CDE BDA．
∵ DCA DBA，
∴______，
CD EC
∴ ，
BD AB
∴ AB·CD EC·BD①，
∵ CDE BDA，
∴ CDE BDE BDA BDE，即 ADE BDC，
又∵ DAE DBC，
∴△ADE∽△BDC，
AD AE
∴ ，
BD BC
∴______②，① ②得 AB CD BC AD EC AE BD，即______．
【直接应用】
（2）如图 2， AB为 O的直径， AB 5， AD 4， BF 1，求DF的长。
图 3
【灵活运用】
（3）如图 3，在等腰三角形 ABC中， AB AC 8，BC 12，点 D在底边 BC上，且 DAC ACD，将
三角形 ACD沿着 AD 所在的直线翻折，使得点 C落在点 E处，连接 EB，求 BE的长．
试卷第 4页，共 4页
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