2023-2024 学年上海外国语大学附属大境中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知 ， ， ， 为实数，若 > 且 > ，则下列结论中，正确的是( )
A. 2 > 2 B. 2 > 2 C. + > + D. >
2.已知函数 ( ) = lg|1 + | + lg|1 |，则 ( )( )
A. 是奇函数，且在(1, +∞)上是增函数 B. 是奇函数，且在(1, +∞)上是减函数
C. 是偶函数，且在(1, +∞)上是增函数 D. 是偶函数，且在(1, +∞)上是减函数
3.已知函数 ( )的导函数 ′( )的图像如图所示，以下结论：
① ( )在区间( 2,3)上有2个极值点；
② ′( )在 = 1处取得极小值；
③ ( )在区间( 2,3)上单调递减；
④ ( )的图像在 = 0处的切线斜率小于0．
正确的序号是( )
A. ①④ B. ②③④ C. ②③ D. ①②④
4.若实数 、 满足2023 2023 < 2024 2024 ，则( )
A. < 0 B. > 0 C. < 1 D. > 1
二、填空题：本题共 12 小题，共 54 分。
5.函数 ( ) = √ 1 + lg(2 )的定义域为 ．
6. ： 是2的倍数， ： 是6的倍数；则 是 的______条件(填“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既
非充分又非必要”)．
7.若函数 = + 1( > 0, ≠ 1)的图像恒过定点，则该定点坐标为______．
(1+2 ) (1)
8.设函数 ( )在 = 1处的导数为2，则 → 0 = ______．
9.方程 3 1 = 0在[1,1.5]上的近似解为______(精确到0.1)．
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2
10.设0 < < 1，则关于 的不等式 2 +3 > 6的解集是______．
11.设 ∈ ，则方程|3 5| + | + 2| = |4 3|的解集为______．
2 + 1( < 0)
12.若函数 ( ) = { 是奇函数，则 = ______．
+ ( > 0)
13.如图，函数 = ( )的图像为折线 ，则不等式 ( ) ≥ 2 1 的解为
2
______．
14.已知正数 ， 满足 = 4，且 + log2 = 3，则 + =______．
15.若函数 ( ) = | | + 1( ≠ 0)有三个不同的零点，则实数 的取值范围是______．
16.已知函数 ( ) = 22 ， ( ) = + 2 + 1( ≠ 0)，若对于任意的 1 ∈ [ 2,2]总存在 2 ∈ [ 1,2]，使 +4
得 ( 1) = ( 2)成立，则 的取值范围是______．
三、解答题：本题共 4 小题，共 46 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
3
设全集为 ，已知 = { | > 0}， = { |2 < < 2 + 3}．
+1
(1)若 = 1，求 ∩ ；
(2)若 ∪ = ，求实数 的取值范围．
18.(本小题12分)
(1)求函数 ( ) = (2 2 1)(3 + 1)的导数．
(2)求函数 ( ) = 2 的单调区间和极值．
19.(本小题12分)
提高隧道的车辆通行能力可改善附近路段高峰期间的交通状况．在一般情况下，隧道内的车流速度 和车流
50 , 0 < ≤ 30
6
密度 满足关系式： = { ( > 0).研究表明：当隧道内的车流密度 = 120时造成
65 , 30 < ≤ 120
160
堵塞，此时车流速度 = 0．
(1)若车流速度 ≥ 40，求车流密度 的取值范围；
(2)定义隧道内的车流量为 = ，求隧道内的车流量 的最大值，并指岀当车流量最大时的车流密度 ．
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20.(本小题12分)
已知函数 = ( )的定义域为 ，若存在区间[ , ] 使得函数 = ( )满足：
①函数 = ( )在区间[ , ]上是严格增函数或严格减函数；
②函数 = ( )， ∈ [ , ]的值域是[ , ]( ∈ ， ≥ 2)；
则称区间[ , ]是函数 = ( )的“ 倍区间”．
(1)判断函数 = 1 是否存在“2倍区间”；
(2)证明函数 = 2不存在“ 倍区间”；
(3)证明：当有理数 满足 ∈ (0,1) ∪ (1, +∞)时，对于任意的 ( ∈ , ≥ 2)，函数 = 都存在“ 倍区
间”，并求出 = 3的所有的“10倍区间”．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】[1,2)
6.【答案】必要非充分
7.【答案】(0,2)
8.【答案】4
9.【答案】1.3
10.【答案】( 1,3)
5
11.【答案】( ∞, 2] ∪ [ , +∞)
3
12.【答案】 1
13.【答案】[2,4]
14.【答案】4或5
1 1
15.【答案】( , 0) ∪ (0, )
4 4
5 5
16.【答案】( ∞, ] ∪ [ , +∞)
32 4
3
17.【答案】解：(1) = 1时， = { | > 0} = { | < 1或 > 3}，
+1
= { |2 < < 2 + 3} = { |1 < < 5}，
= { | 1 ≤ ≤ 3}，
∴ ∩ = { |1 < ≤ 3}；
3
(2) ∵ = { | > 0} = { | < 1或 > 3}，
+1
= { |2 < < 2 + 3}， ∪ = ，
2 < 2 + 3
∴ {2 < 1 ，解得 > 3，
2 + 3 > 3
∴实数 的取值范围是(3, +∞)．
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18.【答案】解：(1)因为 ( ) = (2 2 1)(3 + 1) = 6 3 + 2 2 3 1，函数定义域为 ，
可得 ′( ) = 18 2 + 4 3；
(2)易知 ( )的定义域为 ，
可得 ′( ) = ( 2 + 2 ) ，
当 < 2时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 2 < < 0时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 0时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以当 = 2时， ( )取得极大值，极大值 ( 2) = 4 2．
当 = 0时， ( )取得极小值，极小值 (0) = 0．
19.【答案】解：(1)由题意可知：当 = 120时， = 0，
所以0 = 65 ，解得 = 2600，
160 120
50 , 0 < ≤ 30
6
所以 = { 2600 ，
65 , 30 < ≤ 120
160
当0 < ≤ 30时， = 50 ≥ 40，解得 ≤ 60，所以0 < ≤ 30；
6
2600
当30 < ≤ 120时， = 65 ≥ 40，解得： ≤ 56，所以30 < ≤ 56，
160
综上，车流速度 ≥ 40，车流密度 的取值范围为(0,56]．
2
5 , 0 < ≤ 30
(2)由题意可得： = = { 6 ，
2600
65 , 30 < ≤ 120
160
2 1
当0 < ≤ 30时， = 50 = ( 150)2 + 3750，
6 6
由二次函数的性质可知：当 = 30时， 取最大值为1350；
当30 < ≤ 120时，160 > 0，
2600 40 40( 160) + 6400
= 65 = 65( ) = 65[ + ]
160 160 160
6400 6400
= 65[( 160) + + 200] = 65[(160 ) + 200]
160 160
6400 6400
≤ 65(2 × √ (160 ) 200) = 2600(当且仅当160 = ，即 = 80时取等)，
160 160
所以当 = 80时， 取最大值为2600，
综上可知： 的最大值为2600，此时车流密度为80．
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20.【答案】解：(1)根据题意，函数 = 1 不存在“2倍区间”；
理由如下：函数 = 1 是一次函数，在 上严格单调递减，
若[ , ]是函数的2倍区间，则函数的值域为[2 , 2 ]，
1 = 2 1
则有{ ，解可得 = = ，与 < 相矛盾，
1 = 2 3
故函数 = 1 不存在“2倍区间”；
(2)证明：假设存在区间[ , ]是 = 2的“ 倍区间”( ∈ ≥ 2)，
由条件(1)可知，[ , ] ( ∞，0)或[ , ] (0，+∞)．
当[ , ] (0，+∞)，即0 < < 时，
2 1因为 = =
2
在(0, +∞)是严格减函数，
1
=
2
所以{ 1 ，变形可得 = 1，即 = ，
= 2
这与 < 的假设矛盾，所以假设不成立，
则 = 2在 ∈ (0, +∞)不存在“ 倍区间“；
当[ , ] ( ∞，0)时，其值域为[ , ] ( ∞，0)，
1
这与 ∈ ( ∞, 0)时， = 2 = 2 > 0矛盾，
即 = 2在 ∈ ( ∞, 0)不存在“ 倍区间”，
综上所述， = 2不存在“ 倍区间“；
(3)证明：先考虑 = ， ∈ [0, +∞)的情况，
而 ∈ (0,1) ∪ (1, +∞)，则 = 在[0, +∞)是严格增函数，
若存在“ 倍区间”，则 = 有两个非负解，
原方程可化为 ( 1 ) = 0，
当 ∈ (0,1) ∪ (1, +∞)时，原方程有两个非负解 = 0和 = ，
1
所以，至少存在一个“ 倍区间”为[0, ]，
1
= 3在( ∞, +∞)是严格增函数，
令 3 = 10 得 1 = 0， 2 = √ 10， 3 = √ 10，
所以 = 3有三个“10倍区间”，分别为[ √ 10, 0]，[ √ 10, √ 10]，[0, √ 10].
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