吉林省“BEST”合作体六校2025届高三上学期第三次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知数列是等差数列，若，，则( )
A. B. C. D.
3.已知集合，集合，如果命题“”为假命题，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.已知，若与的夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为( )
A. B. C. D.
6.已知数列满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数，若恒成立，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别是，，，，，，则线段长度的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 的图象与轴的交点坐标为
D. 函数的图象关于直线对称
10.已知函数，则下列正确的是( )
A. 的极小值为
B. 在单调递增
C. 有三个实根
D. ，当时，恒成立，则的取值范围是
11.定义在的函数满足，且，都有，若方程的解构成单调递增数列，则下列说法中正确的是( )
A.
B. 若数列为等差数列，则公差为
C. 若，则
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为 ．
13.已知数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围是 ．
14.如图点，我们知道复数可用点表示一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角以非负半轴为始边，所在射线为终边的角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值由复数的三角形式可得出，若，则其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角，再把它的模变为原来的倍如图，已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，点所对应的复数分别为若，以为边作正方形，点在下方，若长度为，则复数 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角的对边分别为．
求的值；
若的面积为，且，求的周长．
16.本小题分
已知函数．
若恰有两个极值点，求实数的取值范围；
若的两个极值点分别为，证明：．
17.本小题分
已知数列中，，且，为数列的前项和，，数列是等比数列，，．
求数列和的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数．
若的定义域为，求的取值范围；
设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
设函数有两个不同的零点，
求实数的取值范围：
(ⅱ)若满足，求实数的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 或
13.
14.
15.解：
解：因为，由正弦定理得，
可得，
即，
因为 ，可得，所以，即，
所以．
解：由知，
因为若的面积为，可得，即，解得，
又因为，
由余弦定理得，
整理得，解得，
所以，
所以的周长为．
16.解：
在上恰有两个不同的解，
令，所以
解得，即实数的取值范围是；
证明：由知是方程的两个不同的根，所以
所以
，
令，
令在上恒成立，
所以在上单调递减，即在上单调递减，
所以，所以在上单调递减，
所以，
所以．
17.解：由已知当，时，，，
所以，
又，
所以，
所以，
所以数列为等差数列，公差为，
又，所以，
所以当，时，，
又，
所以，，
设等比数列的公比为，
因为，，
所以，，
所以，所以，
由，
所以，
所以数列的前项和，
所以．
18.解：由函数的定义域为，
可得在上恒成立，
结合二次函数的图象可知，需使，解得，
即的取值范围为；
设，则在定义域内是增函数，
因，，故对任意，函数在区间上单调递增，
故，，
依题意，对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，则需使，
因函数图象的对称轴为，
当，即时，在上单调递增，故由，解得，不合题意，舍去；
当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
故，解得，因，故
综上，的取值范围是．
19.解：
函数的定义域为，
求导得，
当时，恒成立，
函数在上单调递增；
当时，
由，得，
由，得，
即函数在上单调递增，
在上单调递减，
所以
当时， 在单调递增，
当时， 在 单调递增，
在 单调递减；
(ⅰ)由，得，
令，求导得，
当时，，
当时，，
则函数在上单调递增，
在上单调递减，
，
而当时，恒成立，且，
由有两个零点，
即方程有两个不等的正根，
亦即直线与的图象有两个公共点，
因此，即，
所以实数的取值范围是 ；
(ⅱ)由，
得，
且，
不妨设，
将代入，
得，
即，
令，
求导得，
令，
求导得，
则函数在上单调递减，
有，即，
函数在上单调递减，
由，得，
则，
因此函数在上单调递减，
即，
于是，有，
则
又，
令，
由(ⅰ)知，在上递增，
而，
因此在上递增，
则，即，
解得，
所以的最大值是．
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