2024-2025学年广东省佛山市南海区高二上学期“升基工程”学业水平监测（12月）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点的直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知点在轴上，且点到点与点的距离相等，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
3.已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是( )
A. 内含 B. 相交 C. 外切 D. 外离
4.已知点位于平面内，是平面的一个法向量，则点到平面的距离是( )
A. B. C. D.
5.投篮测试中，每人投次，至少投中次才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知两条直线，若与平行，则的值为( )
A. B. C. D. 或
7.若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是( )
A. B.
C. D.
8.已知直线过定点过定点与交于点异于两点，则的面积的最大值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是椭圆的两个焦点，点在上且不在轴上，则( )
A. 椭圆的长轴长为 B. 椭圆的离心率为
C. 椭圆的焦距为 D. 的周长为
10.下列说法正确的是( )
A. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则与互斥
B. 互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C. 事件与事件中至少有一个发生的概率可以等于与中恰有一个发生的概率
D. 一个袋子中有大小和质地完全相同的个球标号为，从袋中不放回地依次随机摸出个球设事件“第一次摸到标号小于的球”事件“第二次摸到标号小于的球”，则与相互独立
11.如图，在棱长为的正方体中，分别为的中点，是线段含端点上的一个动点，则( )
A. 点到平面的距离为定值
B. 平面截正方体所得的截面为六边形
C. 若，且，则为线段的中点
D. 直线与平面所成角的正切值的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知为平面的一个法向量，点位于平面内，写出平面内异于点的另一个点的坐标 ．
13.已知的三个顶点分别是，则边上的中线所在直线方程为 ．
14.已知是椭圆的右焦点，是的右顶点，是的上顶点，为上一点且在第二象限，若，则的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋子中有个大小和质地完全相同的球，其中个白球，个黑球，从中同时摸出个球．
写出试验的样本空间；
求下列事件的概率：
“摸出来的个球都是白球”；
“摸出来的个球颜色不同”．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面为平行四边形，分别为的中点．
证明：平面；
若，求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知的三个顶点分别是．
求的外接圆的方程；
一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切，求反射光线所在的直线方程．
18.本小题分
如图，三棱柱中，．
若是线段上一点，且，证明：；
若分别为线段上的点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
已知点在运动过程中，总满足关系式．
求点的轨迹方程
设点的轨迹为曲线，点在曲线上，直线交于两点，直线的斜率之和为．
求的斜率；
若，求的面积．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.
记个白球为，记个黑球为，
所以试验的样本空间．
由知，试验的样本空间含有个样本点，
事件，共有个样本点，
所以．
事件，共个样本点，
所以．
16.
取的中点，连接，
在中，因为分别为中点，所以，
在四边形中，且相等，，
所以，即四边形为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面．
因为平面，平面，所以，
又，所以两两垂直，
所以以为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
因为，，所以，
又，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，则，
设直线与平面所成的角为，
所以，
即直线与平面所成的正弦值为．
17.
线段的中点，该点与点的距离，
因此的外接圆的圆心为，半径为，
所以圆的方程为．
点关于轴的对称点，由光的反射定律知，经轴反射后的光线所在直线过点
显然直线与圆不相切，设反射光线所在的直线方程方程为，即，
于是，整理得，解得或，
方程为或，
所以反射光线所在的直线方程为或．
18.
由题设，且，
所以，则，同理，
所以、，即、，
由都在面内，故面，面，则．
由题设，易知直棱柱的 底面为等边三角形且，
由平面，平面，则，，
在等边中，，则为中点，
在中，则，故是中点，
又面面，面，面，面，
所以面，面，则，
过作，连接，而且都在面内，
所以面，面，则，
综上，是平面与平面夹角的平面角或其补角，
由上，，则，而，
所以，
在中，则，
所以，则，而，
所以，故，
综上，平面与平面夹角的余弦值．
19.
由的几何意义可得点到点的距离之和为，大于两点的距离，
所以点的轨迹是以为焦点，的椭圆，
由，
所以点的轨迹方程为，
由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，，
联立，消去得，
，
，
，且，
即，即，
代入韦达定理，
整理化简可得，解得或，
当时，直线，恒过定点，与题意不符，舍去，
所以；
，
因为，所以，
即，
化简可得，
代入可得，
代入韦达定理可得，
整理可得，解得或，
所以直线方程为或，
当直线方程为时，由弦长公式可得，
点到直线的距离为，
此时；
当直线方程为时，点在直线上，无三角形，所以不符合题意，
所以的面积为．
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