10.2.1 复数的加法与减法
课标要求 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则. 2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.
【引入】 (链接教材P33)我们知道，任意两个实数都可以相加、减，实数的加法运算还满足交换律与结合律.
复数中的加法应如何规定，才能满足类似于实数加法的交换律与结合律？这正是这一节我们要讨论的问题.
一、复数的加、减法运算
探究1 多项式的加减运算实质是合并同类项，类比想一想复数如何进行加减运算？
________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
【知识梳理】
1.运算法则
(1)复数的加法
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝____________.
(2)复数的减法
①一般地，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的__________记作－z，并规定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi.
②复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(－z2).
③一般地，如果z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝___________________.
2.加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1＋z2＝z2＋z1
结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
例1 (链接教材P35例1)(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，
若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
思维升华 (1)复数的加减法运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，类似于多项式合并同类项.
(2)当需设出复数z的表达式时，一般设z＝a＋bi(a，b∈R)，用待定系数法求解.
训练1 (1)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________.
(2)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________.
二、复数加、减法的几何意义
探究2 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
___________________________________________________________________________________________________________________________________________
【知识梳理】
复数加法的几何意义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为1与2，则当1与2不共线时，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，则z1＋z2所对应的向量就是.
推论：||z1|－|z2||≤|z1＋z2|≤|z1|＋|z2|
复数减法的几何意义 如果复数z1，z2所对应的向量分别为1与2，设点Z满足＝，则z1－z2所对应的向量就是.
推论：||z1|－|z2||≤|z1－z2|≤|z1|＋|z2|
温馨提示 关于复数加、减法的几何意义：
因为复数z与复平面内的向量一一对应，因此复数的加减法对应向量的加减法，可以用向量的加减法表示，符合平行四边形、三角形法则.
例2 如图，已知平行四边形OABC的三个顶点O，A，C对应的复数分别为0，3＋2i，－2＋4i.
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求B点对应的复数.
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
______________________________________________________________________
思维升华 (1)复数的加、减运算可按平面向量加、减运算的法则进行运算；
(2)若复平面内点Z1，Z2对应的复数分别为z1和z2，则对应z2－z1，对应z1－z2.
训练2 在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长.
__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
三、复数模的综合问题
探究3 类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
角度1 复平面内动点的轨迹
例3 (1)若|z－i|＝|z＋i|，则复数z对应的点Z在( )
A.实轴上 B.虚轴上
C.第一象限 D.第二象限
(2)满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应点的轨迹是( )
A.一条直线 B.两条直线
C.圆 D.一条线段
角度2 两复数和及差的模的关系
例4 (1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是________.
(2)若复数z满足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
迁移 (变条件，变设问)若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|的最小值.
____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
思维升华 (1)|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
(2)在复平面内，复数z1，z2对应的点为A，B.
①若|z－z1|＝|z－z2|，则复数z对应点的轨迹是线段AB的中垂线；
②若|z－z1|＝r(r＞0)，则复数z对应点的轨迹是圆.
(3)复平面内最值问题，可利用数形结合方法解决，有时也可直接用||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解.
训练3 (1)在复平面内，复数1＋i和1＋3i分别对应向量和，则|＋|＝( )
A.2 B.2
C. D.4
(2)已知非零复数z1，z2分别对应复平面内的向量，，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则( )
A. ⊥ B.||＝||
C.＝ D.和共线
(3)如果复数z满足|z＋3i|＋|z－3i|＝6，那么|z＋1＋i|的最小值是( )
A.1 B.
C.2 D.
【课堂达标】
1.(多选)以下为真命题的是( )
A.纯虚数z的共轭复数为－z
B.若z1＋z2＝0，则z1＝2
C.若z1＋z2∈R，则z1与z2互为共轭复数
D.若z1－z2＝0，则z1与2互为共轭复数
2.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量，对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则对应的复数是( )
A.2＋4i B.－2＋4i
C.－4＋2i D.4－2i
3.已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
4.复数z满足|z－2＋i|＝1，则|z|的最大值是________.
10.2.1 复数的加法与减法
探究1 提示 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
知识梳理
1.(1)(a＋c)＋(b＋d)i (2)①相反数 ③(a－c)＋(b－d)i
例1 (1)－2－i (2) [(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
(2)z1－z2＝(3x－4y)－(－2x＋y)＋[(y－2x)－(x－3y)]i
＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
所以解得
所以z1＝3－2i，z2＝－2＋i，
则z1＋z2＝1－i，
所以|z1＋z2|＝.]
训练1 (1)－a＋(4b－3)i (2)－4＋3i
[(1)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i
＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
(2)设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝，
∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i，
∴
解得∴z＝－4＋3i.]
探究2 提示 设1＝(a，b)，2＝(c，d)，则1＋2＝(a，b)＋(c，d)＝(a＋c，b＋d).
几何意义是以1，2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线.
例2 解 (1)∵＝－，
∴对应的复数为－(3＋2i)＝－3－2i.
(2)连接CA.∵＝－，
∴对应的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)
＝5－2i.
(3)连接OB.∵＝＋，
∴表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)
＝1＋6i.
即B点对应的复数为1＋6i.
训练2 解 如图所示，对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，对应复数z4－z1.
由复数加减运算的几何意义，
得＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
探究3 提示 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
例3 (1)A (2)C [(1)∵|z－i|＝|z＋i|，∴点Z到(0，1)和(0，－1)的距离相等，即点Z在以(0，1)和(0，－1)为端点的线段的中垂线上.故选A.
(2)因为|z－i|＝|3＋4i|＝5，所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，以5为半径的圆.]
例4 (1)1 [设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，
所以|z＋i＋1|min＝1.]
INCLUDEPICTURE"D55.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D55.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D55.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D55.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D55.tif" \* MERGEFORMATINET
(2)解 设M(－，－1)，如图所示，
则||＝＝2.
INCLUDEPICTURE"D56.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D56.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D56.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D56.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D56.tif" \* MERGEFORMATINET
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
迁移 解 因为|z|＝1且z∈C，作图如图所示.
INCLUDEPICTURE"D57.tif" INCLUDEPICTURE "E:\\配套学生WORD文档\\D57.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "G:\\共享文件\\陈红\\2025（春）数学 必修 第四册 人教B版（鲁京辽贵蒙）\\配套学生WORD文档\\答案精析\\D57.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\人教B版 必修第四册\\答案精析\\D57.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "C:\\Users\\Administrator\\Desktop\\D57.tif" \* MERGEFORMATINET
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，
所以|z－2－2i|的最小值为|OP|－1＝2－1.
训练3 (1)A (2)A (3)A [(1)＋＝(1，1)＋(1，3)＝(2，4)＝2＋4i，
所以|＋|＝2.
(2)因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，
所以|＋|＝|－|，
即以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线相等，
即以OA，OB为邻边的平行四边形为矩形，
因此⊥.故选A.
(3)复数z满足|z＋3i|＋|z－3i|＝6，∴z所对应的点的轨迹是以A(0，3)，B(0，－3)为端点的线段AB.|z＋1＋i|＝|z－(－1－i)|的几何意义为线段AB上的点与点C(－1，－1)的距离.
由图知点C到线段AB的距离的最小值为1，故选A.]
课堂达标
1.AD [对于A，若z为纯虚数，
可设z＝bi(b≠0，b∈R)，
则＝－bi＝－z，故纯虚数z的共轭复数为－z，
故A正确；
对于B，由z1＋z2＝0，得出z1＝－z2，
可设z1＝1＋i，
则z2＝－1－i，则2＝－1＋i，
此时z1≠2，故B错误；
对于C，设z1＝a＋bi，
z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i∈R，
则b＋d＝0，
但a，c不一定相等，所以z1与z2不一定互为共轭复数，故C错误；
对于D，z1－z2＝0，
则z1＝z2，则z1与2互为共轭复数，故D正确.]
2.D [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即对应的复数为4－2i.故选D.]
3.3 [由条件知
z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，
又z1＋z2是纯虚数，
所以解得a＝3.]
4.＋1 [由|z－2＋i|＝1得|z－(2－i)|＝1，
则z对应的点构成以C(2，－1)为圆心，1为半径的圆，|z|的几何意义是圆上的点到原点的距离，则最大值为
|OC|＋1＝＋1＝＋1.](共54张PPT)
10.2.1 复数的加法与减法
第十章 10.2 复数的运算
1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.
2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.
课标要求
(链接教材P33)我们知道，任意两个实数都可以相加、减，实数的加法运算还满足交换律与结合律.
复数中的加法应如何规定，才能满足类似于实数加法的交换律与结合律？这正是这一节我们要讨论的问题.
引入
课时精练
一、复数的加、减法运算
二、复数加、减法的几何意义
三、复数模的综合问题
课堂达标
内容索引
复数的加、减法运算
一
探究1 多项式的加减运算实质是合并同类项，类比想一想复数如何进行加减运算？
提示 两个复数相加(减)就是把实部与实部、虚部与虚部分别相加(减)，即(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.
1.运算法则
(1)复数的加法
一般地，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，称z1＋z2为z1与z2的和，并规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝__________________________.
(2)复数的减法
①一般地，复数z＝a＋bi(a，b∈R)的________记作－z，并规定－z＝－(a＋bi)＝－a－bi.
②复数z1减去z2的差记作z1－z2，并规定z1－z2＝z1＋(－z2).
③一般地，如果z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝__________________________.
知识梳理
(a＋c)＋(b＋d)i
相反数
(a－c)＋(b－d)i
2.加法运算律
对任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1＋z2＝z2＋z1
结合律 (z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)
(链接教材P35例1)(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________.
例1
－2－i
(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i.
(2)已知z1＝(3x－4y)＋(y－2x)i，z2＝(－2x＋y)＋(x－3y)i，x，y为实数，
若z1－z2＝5－3i，则|z1＋z2|＝________.
z1－z2＝(3x－4y)－(－2x＋y)＋[(y－2x)－(x－3y)]i
＝(5x－5y)＋(－3x＋4y)i＝5－3i，
(1)复数的加减法运算就是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，类似于多项式合并同类项.
(2)当需设出复数z的表达式时，一般设z＝a＋bi(a，b∈R)，用待定系数法求解.
思维升华
(1)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝________________.
(2)已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝____________.
训练1
－a＋(4b－3)i
－4＋3i
(1)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋(b＋3b－3)i＝－a＋(4b－3)i.
复数加、减法的几何意义
二
探究2 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，平面向量的坐标运算法则是什么？向量加法的几何意义是什么？
类比平面向量的加减运算，给出空间向量的加减运算及运算律.
知识梳理
温馨提示
例2
思维升华
在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长.
训练2
复数模的综合问题
三
探究3 类比绝对值|x－x0|的几何意义，|z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是什么？
提示 |z－z0|(z，z0∈C)的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离.
(1)若|z－i|＝|z＋i|，则复数z对应的点Z在
A.实轴上 B.虚轴上 C.第一象限 D.第二象限
√
例3
角度1 复平面内动点的轨迹
∵|z－i|＝|z＋i|，∴点Z到(0，1)和(0，－1)的距离相等，即点Z在以(0，1)和(0，－1)为端点的线段的中垂线上.故选A.
√
(2)满足条件|z－i|＝|3＋4i|的复数z在复平面内对应点的轨迹是
A.一条直线 B.两条直线 C.圆 D.一条线段
因为|z－i|＝|3＋4i|＝5，所以复数z在复平面内对应点的轨迹是以(0，1)为圆心，以5为半径的圆.
(1)如果复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是________.
例4
角度2 两复数和及差的模的关系
1
设复数－i，i，－1－i在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，因为|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以点Z的集合为线段Z1Z2.
问题转化为动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，
所以|z＋i＋1|min＝1.
(变条件，变设问)若本例(2)条件改为已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|的最小值.
迁移
因为|z|＝1且z∈C，作图如图所示.
所以|z－2－2i|的几何意义为单位圆上的点M到复平面上的点P(2，2)的距离，
思维升华
(1)|z1－z2|表示复平面内z1，z2对应的两点间的距离.利用此性质，可把复数模的问题转化为复平面内两点间的距离问题，从而进行数形结合，把复数问题转化为几何图形问题求解.
(2)在复平面内，复数z1，z2对应的点为A，B.
①若|z－z1|＝|z－z2|，则复数z对应点的轨迹是线段AB的中垂线；
②若|z－z1|＝r(r＞0)，则复数z对应点的轨迹是圆.
(3)复平面内最值问题，可利用数形结合方法解决，有时也可直接用||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|求解.
训练3
√
√
√
【课堂达标】
√
√
对于A，若z为纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)，
对于B，由z1＋z2＝0，得出z1＝－z2，
可设z1＝1＋i，
√
3.已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
3
由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，
又z1＋z2是纯虚数，
4.复数z满足|z－2＋i|＝1，则|z|的最大值是________.
由|z－2＋i|＝1得|z－(2－i)|＝1，
则z对应的点构成以C(2，－1)为圆心，1为半径的圆，|z|的几何意义是圆上的点到原点的距离，
【课时精练】
√
1.若z＋3－2i＝4＋i，则z＝
A.1＋i B.1＋3i C.－1－i D.－1－3i
z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.
√
2.已知a，b∈R，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，且z1－z2＝0，则复数a＋bi＝
A.1＋i B.2＋I C.3 D.－2－i
z1－z2＝2＋bi－a－i＝(2－a)＋(b－1)i＝0，
∴2－a＝0，b－1＝0，
∴a＝2，b＝1，
∴a＋bi＝2＋i.
√
√
4.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的
A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心
由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，
∴P为△ABC的外心.
√
5.(多选)已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值可以是
A.1 B.2 C.3 D.4
√
由题意得z1－z2＝(2－a)＋(a－1)i，
6.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
-1
∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，
因为z＋2i是正实数，可设z＝a－2i(a＞0)，
3＋5i
∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，
9.计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)].
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
10.已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点分别是正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点D对应的复数.
设第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图.
√
设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，
又以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
12.已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R).设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝___________，z2＝___________.
5－9i
－8－7i
z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
由已知，复数z对应的点Z在复平面内以原点为圆心，半径为2的圆上，
√
√
√
复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，课时精练9 复数的加法与减法
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分.
一、基础巩固
1.若z＋3－2i＝4＋i，则z＝( )
1＋i 1＋3i
－1－i －1－3i
2.已知a，b∈R，设z1＝2＋bi，z2＝a＋i，且z1－z2＝0，则复数a＋bi＝( )
1＋i 2＋i
3 －2－i
3.在复平面内，O是原点，向量对应的复数为z1＝2＋i，点A关于虚轴的对称点为B，向量对应的复数为z2，则z1－z2＝( )
2i 4
2－i －2－i
4.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2，z3，复数z满足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，则z对应的点P是△ABC的( )
外心 内心
重心 垂心
5.(多选)已知复数z1＝2＋ai，z2＝a＋i(a∈R)，且复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，则a的取值可以是( )
1 2
3 4
6.已知复数z1＝(a2－2)＋(a－4)i，z2＝a－(a2－2)i(a∈R)，且z1－z2为纯虚数，则a＝________.
7.已知|z|＝4，且z＋2i是正实数，则复数z＝________，复数z的共轭复数＝________.
8.在复平面内点A，B，C所对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，若＝，则点D表示的复数是________.
9.(13分)计算：
(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)].
10.(15分)已知复数z1＝1＋2i，z2＝－2＋i，z3＝－1－2i，它们在复平面上的对应点分别是正方形ABCD的三个顶点A，B，C，求这个正方形的第四个顶点D对应的复数.
二、综合运用
11.已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，则|z1＋z2|＝( )
1
2
12.已知z1＝(3x＋y)＋(y－4x)i(x，y∈R)，z2＝(4y－2x)－(5x＋3y)i(x，y∈R).设z＝z1－z2，且z＝13－2i，则z1＝________，z2＝________.
13.(15分)已知复数|z|＝2，求复数1＋i＋z的模的最大值、最小值.
三、创新拓展
14.(多选)已知复数z0＝1＋2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点为P0，复数z满足|z－1|＝|z－i|，下列结论正确的是( )
点P0的坐标为(1，2)
复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于虚轴对称
复数z对应的点Z在一条直线上
P0与z对应的点Z间的距离的最小值为
复数的加法与减法
1.B [z＝4＋i－(3－2i)＝1＋3i.]
2.B [z1－z2＝2＋bi－a－i
＝(2－a)＋(b－1)i＝0，
∴2－a＝0，b－1＝0，
∴a＝2，b＝1，
∴a＋bi＝2＋i.]
3.B [向量对应的复数是2＋i，
即A(2，1)，点A关于虚轴的对称点为
B(－2，1)，
则向量对应的复数z2＝－2＋i.
∴z1－z2＝(2＋i)－(－2＋i)＝4.]
4.A [由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z对应的点P到△ABC的顶点A，B，C的距离相等，
∴P为△ABC的外心.]
5.CD [由题意得z1－z2＝(2－a)＋(a－1)i，
因为复数z1－z2在复平面内对应的点位于第二象限，
所以
所以a>2，故选CD.]
6.－1 [∵z1－z2＝(a2－a－2)＋(a－4＋a2－2)i＝(a2－a－2)＋(a2＋a－6)i(a∈R)为纯虚数，
∴解得a＝－1.]
7.2－2i 2＋2i [因为z＋2i是正实数，
可设z＝a－2i(a＞0)，
由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，
所以a＝2或a＝－2(舍去)，
所以z＝2－2i，
所以＝2＋2i.]
8.3＋5i [∵点A，B，C对应的复数分别为1＋3i，－i，2＋i，
∴A(1，3)，B(0，－1)，C(2，1).
∴＝(2，2).
设D(x，y)，则＝(x－1，y－3).
∵＝，∴(x－1，y－3)＝(2，2)，
∴解得
∴点D表示的复数为3＋5i.]
9.解 (1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)
＝(1＋3－5)＋(2－4－6)i＝－1－8i.
(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]
＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.
10.解 设第四个顶点D对应的复数为x＋yi(x，y∈R)，如图.
则＝－＝(x，y)－(1，2)＝(x－1，y－2)，
＝－＝(－1，－2)－(－2，1)＝(1，－3).
∵＝，∴解得
故点D对应的复数为2－i.
11.C [设O为坐标原点，
z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.
∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，
∴△OAB是边长为1的正三角形，
又以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，
且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，
∴|z1＋z2|＝||
＝
＝.]
12.5－9i －8－7i [z＝z1－z2＝[(3x＋y)＋(y－4x)i]－[(4y－2x)－(5x＋3y)i]＝(5x－3y)＋(x＋4y)i＝13－2i，
所以解得
所以z1＝5－9i，z2＝－8－7i.]
13.解 由已知，复数z对应的点Z在复平面内以原点为圆心，半径为2的圆上，
设w＝1＋i＋z，所以z＝w－1－i，
所以|z|＝|w－(1＋i)|＝2.
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于是复数w对应的点在复平面内以(1，)为圆心，半径为2的圆上，如图所示，此时圆上的点A对应的复数wA的模有最大值，圆上的点B对应的复数wB的模有最小值，
故|1＋i＋z|max＝4，
|1＋i＋z|min＝0.
14.ACD [复数z0＝1＋2i在复平面内对应的点为P0(1，2)，A正确；复数z0的共轭复数对应的点与点P0关于实轴对称，B错误；
设z＝x＋yi(x，y∈R)，代入|z－1|＝|z－i|，得|(x－1)＋yi|＝|x＋(y－1)i|，
即＝，整理得y＝x，即Z点在直线y＝x上，C正确；
易知点P0到直线y＝x的垂线段的长度即为P0，Z之间距离的最小值，结合平面几何知识知D正确.故选ACD.]
