第三次月考答案
一、单选题
1．设集合，.若，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】集合，，由，则，将代入可得，解得，
则，所以解得，故选：B
2．i是虚数单位，复数（ ）
A． B．1 C． D．
【详解】.故选：C.
3．设等差数列的前项的和为，若，则（ ）
A．17 B．34 C．51 D．102
【详解】设公差为，则由得，即，故.
故选：B
4．已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
【详解】的定义域为，，令，解得，
故的单调递减区间为，故选：B
5．若向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【详解】因为，，所以，，
所以在上的投影向量为.故选：C
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【详解】解：因为，所以，即，所以.故选：A.
7．2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
【详解】若甲、乙选的景点没有其他人选，则分组方式为：的选法总数为：，若甲、乙选的景点还有其他人选择，则分组方式为：的选法总数为：，所以不同的选法总数为: .故选：B.
8．已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【详解】依题意，恒成立，即，恒成立，
所以，恒成立，又在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，所以当时，所以，即的取值范围是.故选：B
二、多选题
9．已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则与的夹角为 D．若，则
【详解】选项A，，，即，所以，A正确；
选项B，，，，B错；选项C，，，，C错；
选项D，，，，D正确．故选：AD．
10．已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．公差
C．当时最大 D．使的n的最大值为16
【详解】根据等差数列的性质知，，，又，所以，所以，B项正确；又，所以，A项正确；根据，，，，可知，等差数列前8项均为正数，从第9项起为负数，所以当时最大，C项正确；，，所以使的n的最大值为15.故选：ABC.
11．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则（ ）
A． B．平面截正方体所得的截面为等腰梯形
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．
【详解】
对于A，在正方体中，因为分别为中点，所以，在正方体中，，所以，因此A正确；对于B，因为，，，所以四边形为等腰梯形，即平面截正方体所得截面为等腰梯形，因此B正确；对于C，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，设所成角为，则，因此C不正确；
对于D，由，，，平面，因此平面，
又平面，所以，因此D正确.故选：ABD.
三、填空题
12．已知向量，的夹角为60°，且，则 .
【详解】由题意，故答案为：
13．已知等差数列前n项和为，，则 ．
【详解】等差数列前n项和为，则也成等差数列，则，由，有，解得．又，即，解得．
故答案为：20
14．在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为
【详解】设，因为，所以，①因为，且，
所以，由正弦定理可得，②又，所以，③由①，②，③解得，由余弦定理，所以，，
因为点三点共线，所以，所以，
当且仅当，即时，等号成立.故答案为：.
四、解答题
15．已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前n项和.
【详解】（1）根据题意，数列满足，即，所以根据题意，数列为以为公差的等差数列，又，则，所以；
（2）根据题意，，
所以数列的前n项和为：.
16．的内角A，，的对边分别为，，，已知.
(1)求； (2)若，的面积为，求的周长.
【详解】（1）因为，所以由正弦定理可得.
又，所以.因为，所以；
（2）的面积，则.由余弦定理：，
得，所以，故的周长为.
17．如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点.
(1)求证：平面；(2)求证：；
【详解】（1）
如图，取的中点，连接,因E、F分别为、的中点.，则
又故即得,则,因平面，平面，故平面；
（2）因，，，由，可得，在直三棱柱中，因平面，平面，则，又平面，故平面，
因平面,故；
18．2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场．当地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观冰雪大世界，另外的人计划既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场．每位游客若只参观冰雪大世界，则发1个纪念币；若既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，则发2个纪念币．假设每位首次来哈尔滨的游客计划是否游玩冰雪大世界和亚布力滑雪场互不影响，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为，求的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取人（），记这人合计纪念币的个数恰为的概率为，求.
【详解】（1）
由题意知，每位游客计划不游玩亚布力滑雪场的概率为，游玩亚布力滑雪场的概率为，则的可能取值为4，5，6，7，8.，，，
，.
所以的分布列为：
4 5 6 7 8
所以
（2）因为这人的合计纪念币的个数为，则其中只有1人计划游玩亚布力滑雪场，
所以，设，
则，由两式相减得：
，
所以.
19．已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求k的值；
(3)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.
【详解】（1）当时，，，所以，所以切线的斜率为，
又因为，所以曲线在处的切线方程为，即.
（2）因为，当时，，
所以在上单调递增，又因为，与不符；
当时，由得，所以在上单调递减，在上单调递增.
所以，所以，设，
则，由，可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以有唯一解，且.
（3）由（2）知当时，，当且仅当时，.
所以当且时，，则.
取（），所以，所以，，，
所以.所以
所以于是对于任意正整数n，，
只需，又因为，所以，则m的最小值为.佳木斯第二中学高三学年第三次月考试题
数学试卷
本试卷分选择题部分和非选择题部分。满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
答题前，考生务必按要求填写考生信息并在指定位置粘贴条形码。
选择题部分，每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。选择题部分不能答在试题卷上。
非选择题部分各题的答案，必须书写在答题卡指定的区域，指定区域外答题不得分。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1．设集合，.若，则（ ）
A． B． C． D．
2．i是虚数单位，复数（ ）
A． B．1 C． D．
3．设等差数列的前项的和为，若，则（ ）
A．17 B．34 C．51 D．102
4．已知函数，则的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
5．若向量，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．2025年第9届亚冬会将在哈尔滨举办，某校的五位同学准备前往哈尔滨冰雪文化博物馆、群力音乐公园、哈尔滨极地公园三个著名景点进行打卡，已知每个景点至少有一位同学前往，并且每位同学只能选择其中一个景点，若学生甲和学生乙必须选同一个景点，则不同的选法种数是（ ）
A．18 B．36 C．54 D．72
8．已知函数，若数列为递增数列，则称函数为“数列保增函数”，已知函数为“数列保增函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9．已知向量，，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则与的夹角为 D．若，则
10．已知数列为等差数列，其前n项和为，且，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．公差
C．当时最大 D．使的n的最大值为16
11．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，则（ ）
A． B．平面截正方体所得的截面为等腰梯形
C．异面直线与所成角的余弦值为 D．
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知向量，的夹角为60°，且，则 .
13．已知等差数列前n项和为，，则 ．
14．在中，，，，为线段上的动点，且，则的最小值为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（13分）已知数列满足，且.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前n项和.
16．（15分）的内角A，，的对边分别为，，，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求的周长.
17．（15分）如图，在直三棱柱中，，，，，点E、F分别为、的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：；
18．（17分）2024年，“网红”城市哈尔滨吸引了大量游客前来旅游，著名景点有冰雪大世界和亚布力滑雪场．当地为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来哈尔滨的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观冰雪大世界，另外的人计划既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场．每位游客若只参观冰雪大世界，则发1个纪念币；若既参观冰雪大世界又游玩亚布力滑雪场，则发2个纪念币．假设每位首次来哈尔滨的游客计划是否游玩冰雪大世界和亚布力滑雪场互不影响，视频率为概率．
(1)从游客中随机抽取4人，记这4人合计的纪念币的个数为，求的分布列和数学期望；
(2)从游客中随机抽取人（），记这人合计纪念币的个数恰为的概率为，求.
19．（17分）已知函数.
(1)当时，求曲线在处的切线方程；
(2)若，求k的值；
(3)设m为整数，且对于任意正整数n，，求m的最小值.
