北京二中2024—2025学年度高三年级12月月考
数学参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5
A A C B B
6 7 8 9 10
A C D D A
二、填空题
11．
12. ;
13.
14． ;
15．①③④
16.设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一．
（1）求函数的解析式；
（2）求在区间上的最大值和最小值．
条件①：；
条件②：；
条件③：最大值为；
条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
答案： （1）选择条件②④，
得到，，
由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，
所以解得，所以.
选择条件③④，
由题意可得，
最大值为得到，
所以
由的图象的相邻两条对称轴之间的距离为可得，
所以解得，所以.
（2）由正弦函数的图象可得当时，，，
当即时，有最大值；
当即时，有最小值.
17．为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：
(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列和数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀.写出方差，，，的大小关系（不必写出证明过程）.
【详解】（1）由题意知从高一年级的（1）班~（8）班了抽测共80人，
其中身体素质监测成绩达到优秀的共有，
故估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率为；
（2）由题意可知高一2班抽测的10人中优秀的有6人，高一5班抽测的10人中优秀的有7人，
则可取
，，
则的分布列为：
的数学期望.
（3）.
18．如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为中点，在棱上，平面,．
（1）求证：为中点；
（2）求二面角的余弦值；
（3）设为棱上任意一点，求证：与平面不垂直.
解：（1）连结，因为底面是正方形，所以与互相平分，所以为中点
因为平面，平面，平面平面，所以，
因为为中点，所以为中点.
（2）取中点，连接，，因为，所以
∵侧面底面，侧面底面，平面
∴底面，所以
因为分别为中点，所以,因为,所以
所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系，
则（1，0，0），（1，2，0），（﹣1，2，0），（﹣1，0，0），，，（0，1，0），是平面的一个法向量
设平面的一个法向量是，∵，
令，则，，
所以二面角的余弦值为
（3）假设平面，所以，设，则，
∴，由，所以
由，所以，导致矛盾，
所以假设不成立，与平面不垂直.
19．已知椭圆的左焦点为，直线l过点F交椭圆于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线上是否存在点C，使得为正三角形？若存在，求出点C的坐标及直线l的方程；若不存在，请说明理由．
【详解】（1）设椭圆的焦距为，由题得，且．令，代入椭圆得，
故的面积为．
所以．结合，解得．
所以椭圆的方程为．
当直线l垂直于x轴时，，
显然不满足为正三角形，
当直线l不垂直于x轴时，设直线AB方程为，与椭圆显然有两个交点，
由得，
设的中点，
则，，
，
因为为正三角形，所以，而，
所以，解得，
当时，所以，
所以直线所以，
同理当时，直线所以，
综上：点C的坐标为，对应直线l的方程分别为
20．已知函数其中
当时，求函数的图象在处的切线方程；
若恒成立，求a的取值范围；
设，且函数有极大值点求证：
【答案】解：当时，，则，，，
函数的图象在处的切线方程为，即
不等式，即，，，恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
当时，取得极大值，也为最大值，故，
由，得，实数a的取值范围是
证明：由，得，
①当时，，单调递增无极值点，不符合题意；
②当或时，令，设的两根为和，
为函数的极大值点，，由，，知，，
又由，得，
，
令，，则，
令，，则，
当时，，当时，，，
，在上单调递减，，
21. 已知集合，集合且满足：与恰有一个成立. 对于定义（）.
（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；
（Ⅱ）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为. 证明： ；
（Ⅲ）求证：对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得.
解：（Ⅰ）因为 ，
所以 ，，，故. …………2分
因为 ，所以 .
所以 .
所以 当时，取得最大值. …………4分
（Ⅱ）证明：由的定义可知：.
所以
. …………6分
设删去的两个数为，则.
由题意可知：，且当其中一个不等式中等号成立，不放设时，，. 所以 . ……………8分
所以.
所以 ，即. ………………9分
（Ⅲ）任取集合，由（）可知， 中存在最大数，不妨记为（若最大数不唯一，任取一个）.
因为 ，
所以 存在，使得，即.
由可设集合.
则中一定存在元素使得. 否则，，与是最大数矛盾.
所以 ，，即.
………………15分北京二中2024—2025学年高三年级12月月考
数学
一、单选题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．设集合，则（ ）.
A． B． C． D．
2．已知（为虚数单位），则的虚部为（ ）.
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，圆经过点，且圆心在直线上，若直线被圆截得弦长为，则正实数的值为（ ）.
A．1 B． C． D．2
4. 已知点是抛物线上的一个动点，则点到点的距离与点到轴的距离之和的最小值为（ ）.
A． B． C． D．
5.在中，，则（ ）.
A. B. C. D.
6.若,,则的值为（ ）.
A. B. C. D.
7. 设a，b均为单位向量，则“a⊥b” 是“”的（ ）条件.
A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充分必要 D.既不充分也不必要
8.《九章算术》是中国古代的第一部自成体系的数学专著.其中卷五记载：“今有刍甍，下广三丈，表四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？”问题即为：今有如图所示的屋脊状楔体，下底面ABCD是矩形，假设屋脊没有歪斜，即PQ中点R在底面 ABCD上的投影为矩形 ABCD的中心 O，，，，，长度单位：丈则楔体的体积为体积单位：立方丈（ ）.
A. 10 B. 8 C. 6 D. 5
9. 已知非零向量，，在同一平面，其中是单位向量.与的夹角为，，则的最小值是（ ）.
A．2 B． C．1 D．
10.已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）.
A. B. C. D.
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的离心率________．
12. 在等差数列中，公差不为，，且成等比数列，则__________；
当__________时，数列的前n项和有最大值．
13.已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是 ．
14．设函数
（1）当时， ；
（2）若恰有2个零点，则a的取值范围是 ．
15．对于数列，若存在，使得对任意，有，则称为“有界变差数列”. 给出以下四个结论：
① 若等差数列为“有界变差数列”，则的公差等于0；
② 若各项均为正数的等比数列为“有界变差数列”，则其公比的取值范围是；
③ 若数列是“有界变差数列”，则存在，使得对任意，有；
④ 若数列是“有界变差数列”，则数列必是“有界变差数列”.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16.（13分）设函数，从条件①、条件②、条件③、条件④这四个条件中选择两个作为已知，使得存在且唯一．
（Ⅰ）求函数的解析式；
（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．
条件①：； 条件②：； 条件③：最大值为；
条件④：的图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分．
17．（13分）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的1班~8班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（x轴表示对应的班号，y轴表示对应的优秀人数）：
（Ⅰ）若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，试估计该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
（Ⅱ）若从高一2班抽测的10人中随机抽取1人，从高一5班抽测的10人中随机抽取1人，设X表示这2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等。现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第k班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第k班抽到的这名同学身体素质不是优秀。直接写出方差，，，的大小关系（无需过程）.
18．（14分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，为中点，点在棱上，平面，．
（Ⅰ）求证：为中点；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）设为棱上任意一点，
求证：与平面不垂直.
19．（15分）已知椭圆的左焦点为，直线l过点F交椭圆于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，的面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）直线上是否存在点C，使得为正三角形？若存在，求出点C的坐标及直线l的方程；若不存在，请说明理由．
20．（15分）已知函数其中
（Ⅰ）当时，求函数的图象在处的切线方程；
（Ⅱ）若恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设，且函数有极大值点求证：
21. （15分）已知集合，集合且满足：与恰有一个成立. 对于定义（）.
（Ⅰ）若，，求的值及的最大值；
（Ⅱ）从中任意删去两个数，记剩下的个数的和为. 证明： ；
（Ⅲ）求证：对于满足（）的每一个集合，集合中都存在三个不同的元素，使得.
