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高二联考数学
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一册第一 二章.
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在正方体中，下列向量与平行的是（）
A. B. C. D.
2. 直线的倾斜角为（）
A. B. C. D.
3. 已知点，则（）
A. B. C. D.
4. 下列命题正确的是（）
A. 一条直线的方向向量是唯一的
B. 若直线的方向向量与平面的法向量平行，则
C. 若平面的法向量与平面的法向量平行，则
D. 若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则
5. 直线在轴 轴上的截距之和的最小值为（）
A. B. C. D. 10
6. 在正四面体中，为棱的中点，，则（）
A. B. 3 C. D. 6
7. 已知为坐标原点，点在圆上运动，则线段的中点的轨迹方程为（）
A. B.
C. D.
8. 已知点在直线上，则的最小值为（）
A. B. C. 3 D.
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9已知直线，则（）
A. 当时，
B当时，
C. 不存在实数，使得
D. 与直线之间的距离为
10. 已知几何体为长方体，则（）
A. 在方向上的投影向量为
B. 在方向上投影向量为
C. 在方向上的投影向量为
D. 在方向上的投影向量为
11. 已知圆：与圆：，则下列结论正确的是（）
A. 若圆与圆外切，则或
B. 当时，圆与圆的公共弦所在直线的方程为
C. 若圆与圆关于点对称，则
D. 当时，对任意的，曲线W：恒过圆与圆的交点
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12. 已知直线经过定点，则点的坐标为__________.
13. 曲线的长度为__________，若直线与曲线有公共点，则的取值范围是__________.
14. 如图，在四棱台体中，平面，底面为正方形，，则该四棱台的体积__________，直线与平面所成角的正弦值为__________.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15. 已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）求边上的高所在直线的方程.
16. 已知直线，圆.
（1）若，判断直线与圆的位置关系；
（2）若，直线与圆交于两点，求.
17. 在三棱锥中，平面平面，，，，分别为棱，的中点，为上靠近点的三等分点.
（1）证明：平面
（2）求二面角的余弦值.
18. 如图，平面分别为线段的中点，为线段上的点，且直线与平面所成角的正弦值为.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
19. 已知圆，点在圆C上，点D，G在x轴上，且关于y轴对称.
（1）圆C在点Q处的切线的斜率为，直线QD，QG的斜率分别为，，证明：为定值.
（2）过点Q作轴，垂足为E，，点D满足.
①直线AD与圆C的另一个交点为F，且F为线段AD的中点，，求r；
②证明：直线QG与圆C相切.
高二联考数学
一 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】A
6.
【答案】B
7.
【答案】D
8.
【答案】D
二 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.
【答案】BCD
10.
【答案】AC
11.
【答案】ABD
三 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.
12.
【答案】
13.
【答案】 ①. ； ②. .
14.
【答案】 ①. ②.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15.
【解析】
【分析】（1）求得直线的斜率，利用点斜式即可求得直线方程；
（2）由两直线垂直关系可得所求直线的斜率为3，代入点斜式方程可得结果.
【小问1详解】
由，可知，
故所求直线的方程为，
即.
【小问2详解】
易知，
则所求直线的斜率为3，
故所求直线的方程为，
即.
16.
【解析】
【分析】（1）将圆的一般方程化为标准方程得到圆心和半径，再由圆心到直线的距离与半径比较即可；
（2）先求圆心到直线的距离，再由勾股定理求出弦长即可；
【小问1详解】
圆的标准方程为，
圆心为，半径.
设圆心到直线的距离为，
因为圆心到直线的距离，
所以直线与圆相离.
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为，
由（1）知圆心到直线的距离，
所以.
17.
【解析】
【分析】（1）连接，，由题意可得，可证，，建立空间直角坐标系，利用向量法可证平面.
（2）求得平面平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，利用向量的夹角公式可求二面角的余弦值.
【小问1详解】
连接，，
因为，所以.
因为平面平面，平面平面，所以平面，
因为平面，进而.因为，所以.
以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，.
因为，所以，则，，
又，平面，
所以平面.
【小问2详解】
由（1）得，，，.
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的一个法向量为.
易得平面的一个法向量为.
设二面角的大小为，则，
由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.
18.
【解析】
【分析】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，由线面位置关系的向量表示即可求证；
（2）由点到面距离的向量法即可求解.
【小问1详解】
因为平面平面，所以.以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示.
，
，
.
设平面的法向量为，
则令，得，得.
因为，所以，故平面.
【小问2详解】
连接.因为，都在平面内，
所以平面，又在平面内，则，
又，所以.
因为是的中点，所以，都在平面内，
所以平面，则为平面的一个法向量.
设，则.
根据题意可得
解得或（舍去），
则.因为平面的一个法向量为，
所以点到平面的距离.
19.
【解析】
【分析】（1）利用两点式斜率公式表示出，即可证明.
（2）①利用三角形中位线性质求得，然后利用直角三角形性质求得半径r；
②先求得点，然后求出直线QG的方程，利用原点O到直线QG的距离等于半径证明即可.
【小问1详解】
设，.，.
记坐标原点为O，直线OQ的斜率为，.
.
综上，为定值，定值为.
【小问2详解】
①在中，AD为斜边，OF为斜边上的中线，所以.
又因为，所以，.
因为，所以，解得.
②因为点在圆C上，所以.
直线AE的斜率为，直线AD的斜率为，
直线AD的方程为.
令，得，则，.
直线QG的方程为，即，
原点O到直线QG的距离
，
所以直线QG与圆C相切.
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