2023-2024 学年甘肃省陇南一中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“ ∈ ， 2 > 1 2 ”的否定是( )
A. ∈ ， 2 < 1 2 B. ∈ ， 2 ≤ 1 2
C. ∈ ， 2 ≤ 1 2 D. ∈ ， 2 < 1 2
2.函数 ( ) = √ (2 ) + ( 1)0的定义域为( )
A. [0,2] B. [1,2] C. [0,1) ∪ (1,2] D. (0,1) ∪ (1,2)
3.已知不等式2 2 + 4 > 0的解集是( 1,1)，则 +1的值为( )
A. 2 B. 1 C. √ 2 D. 2
4.要得到 = cos(4 + )的图象，可以将函数 = 的图象上所有的点( )
3
1
A. 向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的
3 4
1
B. 向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的
12 4
1
C. 横坐标缩短到原来的 ，再把所得图象上各点向左平移 个单位长度
4 3
1
D. 横坐标缩短到原来的 ，再把所得图象上各点向右平移 个单位长度
4 12
5.已知 = 2 32√ 2， = 0.3
0.01， = √ 22，则 ， ， 的大小关系为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
2 + 2 3, ≤ 0
6.函数 ( ) = { 的所有零点之和为( )
1, > 0
A. 7 B. 5 C. 4 D. 3
7.函数 ( ) =
2
的大致图象为( )
1
A. B.
C. D.
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8.国家新能源车电池衰减规定是在质保期内，电池的性能衰减不能超过20%，否则由厂家免费为车主更换
电池.某品牌新能源车动力电池容量测试数据显示：电池的性能平均每年的衰减率为1.5%，该品牌设置的质
保期至多为( )(参考数据： 2 ≈ 0.3010， 985 ≈ 2.9934)
A. 12年 B. 13年 C. 14年 D. 15年
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论错误的是( )
A. 集合{1,2,3}的真子集有8个
B. 设 ， 是两个集合，则 ∪ =
C. 与角 的终边相同的角有无数个
3
D. 若 = 1，则 =
2
1
10.已知 ∈ (0, )，sin + cos = ，则下列结论正确的是( )
5
12
A. sin cos = B. ∈ ( , )
25 2
7 4
C. sin cos = D. tan =
5 3
11.下列说法正确的是( )
A. = √ (8 2 )的最大值为2√ 2
2+1
B. = 的最小值为2
4
C. = 2 + 2的最小值为4
1
D. = √ 2 2 + 3 + 的最小值为2
√ 2 2+3
12.定义：在平面直角坐标系 中，若某一个函数的图象向左或向右平移若干个单位长度后能得到另一个
函数的图象，则称这两个函数互为“原形函数”.下列四个选项中，函数 = ( )和函数 = ( )互为“原
形函数”的是( )
4
A. ( ) = ， ( ) = cos( ) B. ( ) = , ( ) = 2 2
1 3
C. ( ) = , ( ) = ln 5 D. ( ) = , ( ) = 1 1 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.480°用弧度制表示为______．
14.已知 (2 ) = 4 1，则 (4) (2) = ______．
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15.已知 ： 2 8 + 15 < 0， ：( 2 )( 5 ) < 0，其中 > 0.若 是 的必要不充分条件，则实数
的取值范围是______．
√ 3 2
16.设函数 ( ) = sin( + )，其中 > 0． (0) = ，且 ( ) + ( ) = 0，则 的最小值为______．
2 6 3
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
(1)解方程：log2[log3(3 6)] = 1．
1 1 1 16 1
(2)求值：(2 )2 [( 3)2] 2 + (0.01) 0.5 ( ) 4．
4 81
18.(本小题12分)
已知非空集合 = { |3 < < 3 + 1}， = { | = + √ 2 }．
(1)若 = 1，求 ∪ ；
(2)若 ∩ = ，求 的取值范围．
19.(本小题12分)
设 ( ) = log (2 + ) + log (4 )( > 0，且 ≠ 1)．
(1)若 (2) = 3，求实数 的值及函数 ( )的定义域；
(2)求函数 ( )的值域．
20.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 ( 3 + )(0 < < )的图象的一条对称轴是 = ．
4
(1)求 ( )的单调减区间；
(2)求 ( )的最小值，并求出此时 的取值集合．
21.(本小题12分)
国庆黄金周期间，旅游潮、探亲潮必将形成高交通压力现象．已知某火车站候车厅，候车人数与时间 相关，
时间 (单位：小时)满足0 < ≤ 24， ∈ .经测算，当16 ≤ ≤ 24时，候车人数为候车厅满厅状态，满厅人
数为5000人，当0 < < 16，候车人数相对于满厅人数会减少，减少人数与 (16 )成正比，且时间为6点
时，候车人数为3800人，记候车厅候车人数为 ( )．
(1)求 ( )的表达式，并求当天中午11点时，候车厅候车人数；
( ) 3000
(2)铁路系统为了体现“人性化”管理，每整点时会给旅客提供的免费面包数量为 = + 400，则
当 为何值时需要提供的免费面包数量最少．
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22.(本小题12分)
已知函数 ( ) = √ 1 2 + √ 1 + + √ 1 ( ∈ )．
(1)若 = 0，求 ( )的值域；
(2)求 ( )的最大值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
8
13.【答案】
3
14.【答案】12
3
15.【答案】{ |1 }
2
4
16.【答案】
3
17.【答案】解：(1)由指数与对数的互化得log3(3 6) = 2 3 6 = 3
2 = 9，
解得 = 5，经检验，符合题意．
9 1 1 2 1
(2)原式= ( ) 3 + (10 2) [( )4]
3 3
2 2 4 = 3 + 10 = 7．
4 3 2 2
18.【答案】解：(1)因为 = 1，所以 = { |3 < < 3 + 1} = { |2 < < 4}．
因为 = { | = + √ 2 } = { |0 < ≤ 2}，
所以 ∪ = { |0 < < 4}．
3 < 3 + 1 3 < 3 + 1 1
(2)因为 ∩ = ，所以{ ，或{ ，解得 < ≤ 1．
3 + 1 ≤ 0 3 ≥ 2 2
1
故 的取值范围为( , 1]．
2
19.【答案】解：(1)因为 ( ) = log (2 + ) + log (4 )( > 0, ≠ 1)，且 (2) = 3，
所以 (2) = log 4 + log 2 = 3 2 = 3，解得 = 2，
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2 + > 0
所以 ( ) = log2(2 + ) + log2(4 )的定义域需满足{ ， 4 > 0
解得 2 < < 4，
即函数 ( )的定义域为( 2,4)．
(2) ( ) = (2 + ) + (4 ) = (
2 + 2 + 8) = ( ( 1)
2 + 9)，
由 2 < < 4，根据二次函数的性质可得0 < ( 1)2 + 9 ≤ 9，
①当 > 1时， = log 在(0,+∞)上递增，函数 ( )的值域为( ∞, 2 3]，
②当0 < < 1时， = log 在(0,+∞)上递减，函数 ( )的值域为[2 3,+∞)．
20【. 答案】解：(1) ∵函数 ( ) = 2 ( 3 + ) = 2 (3 )(0 < < )的图象的一条对称轴是 = ，
4
∴ 3 × ( ) = + ， ∈ ，
4 2
3 3
令 = 2，可得 = ， ( ) = 2 (3 ).
4 4
3 2 2 5
令2 ≤ 3 ≤ 2 + ， ∈ ，求得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 4 2 3 12 3 12
2 2 5
可得函数的减区间为[ + , + ]， ∈ ．
3 12 3 12
3
(2) ( )的最小值为 2，此时，3 = 2 + ， ∈ ，
4 2
2 5 2 5
即 = + ， ∈ ，故此时 的取值集合为{ | = + , ∈ }．
3 12 3 12
21.【答案】解：(1)当0 < < 16时，设 ( ) = 5000 (16 )， (6) = 3800，则 = 20，
5000 20 (16 ), (0 < < 16)
( ) = { , ( ∈ )，
5000, (16 ≤ ≤ 24)
(11) = 5000 20 × 11 × 5 = 3900，
故当天中午11点时，候车厅候车人数为3900人．
5000 20 (16 ) 3000 100 100
(2)当0 < < 16， = + 400 = 20( + ) + 80 ≥ 20 × 2√ × + 80 = 480，当且
仅当 = 10时等号成立；
5000 3000 2000
当16 ≤ ≤ 24时， = + 400 ≥ + 400 ≈ 483．
24
又483 > 480，
所以当 = 10时，需要提供的面包数量最少．
1 + ≥ 0
22.【答案】解：(1)当 = 0时，由题意可得：{ ，解得 1 ≤ ≤ 1，
1 ≥ 0
令 = √ 1 + + √ 1 ，则 2 = 2 + 2√ 1 2， 2 ∈ [2,4]，
即 ∈ [√ 2 ,2]，
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当 = 0时，原函数可化为 = ，
故函数的值域为[√ 2 ,2]．
1 2 ≥ 0
(2)由题意可得：{1 + ≥ 0 ，解得 1 ≤ ≤ 1，
1 ≥ 0
1
由(1)可知函数 ( ) = √ 1 2 + √ 1 + + √ 1 ( ∈ )可转化为函数 ( ) = 2 + , ∈ [√ 2 ,2]，
2
1 1 1
当 > 0时， < 0，函数 ( ) = 2 + 开口向上，所以 ( ) = 2 + 在 ∈ [√ 2, 2]上单调递增，
2 2
设 ( )最大值为 ( )，因此 ( ) = (2) = + 2；
1
当 = 0时， ( ) = 2 + 在 ∈ [√ 2, 2]上单调递增，此时 ( ) = (2) = 2；
2
1 1 1 √ 2 1
当 < 0时， > 0，函数 ( ) = 2 + 开口向下，若0 < ≤ √ 2，即 ≤ 时，函数 ( ) = 2 +
2 2 2
在 ∈ [√ 2, 2]上单调递减，因此 ( ) = (√ 2) = √ 2；
1 √ 2 1 1 1 1
若√ 2 < < 2，即 ≤ ≤ 时， ( ) = 2 + 在 ∈ [√ 2 , ]上单调递增，在 ∈ [ ,2]上单
2 2 2
1 1
调递减，因此 ( ) = ( ) = ；
2
1 1 1
若 ≥ 2，即 ≤ < 0时， ( ) = 2 + 在 ∈ [√ 2, 2]上单调递增，因此 ( ) = (2) = + 2；
2 2
√ 2
√ 2, ≤
2
综上所述 ( ) 1 √ 2 1 = , < < ．
2 2 2
1
{ + 2, ≥ 2
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