2023-2024 学年吉林省延边州珲春第一高级中学高二（上）期末数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1+ ) (1)
1.已知函数 ( ) = √ + 1，则 → 0 =( )
3 1
A. B. 1 C. D. 2
2 2
26
2.数列 2，4， ，20，…的一个通项公式可以是( )
3
3
A. = ( 1)
2 B. = ( 1)
2
+1 2 3 1C. = ( 1) D. = ( 1)
2 2
3.已知曲线 + = 1表示双曲线，则实数 的取值范围是( )
2 3 5
3
A. ( ∞, ) ∪ (5,+∞) B. (5,+∞)
2
3 3
C. ( ∞, ) D. ( , 5)
2 2
4.已知平面 的一个法向量为 = (2,3, 6)，直线 的方向向量为 = (2 , + 1,4)，若 // ，则实数 =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.已知 是等差数列{ }的前 项和，若
12
= 25，则
18 =( )
7 13
A. 15 B. 18 C. 23 D. 27
4
6.已知函数 ( ) = + 2 , ( ) = + ，若 1 ∈ [1,4]， 2 ∈ [1, ]，使得 ( ) = ( 1 2)，则实数 的取
值范围是( )
17 17
A. [5 , ] B. [5 , 3] C. (5 , 3) D. (5 , )
4 4
7.在正三棱柱 1 1 1中， = 2， 1 = 6，点 ， 分别为棱 1， 的中点，则点 1到平面 1 的
距离为( )
3√ 6 6√ 6 3√ 10 6√ 10
A. B. C. D.
5 5 5 5
8.已知二次函数 = 2 + (2 3) 4 11 与 轴交于 ， 两点，点 (1,3)，圆 过 ， ， 三点，存在
一条定直线 被圆 截得的弦长为定值，则该定值为( )
A. 2√ 3 B. √ 13 C. 4√ 3 D. 2√ 13
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.已知 为等差数列{ }的前 项和，且 1 = 7， 2 = 12，则下列结论正确的是( )
A. = 2 9 B. { }为递减数列 C. 3 + 6 = 0 D. 7 = 1
10.已知函数 ( )的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. ( )在区间( 5, 2)上单调递减
B. ( )在区间( 3,1)上单调递增
C. ( )在 = 3处取得极大值
D. ( )在 = 1处取得极大值
11.已知抛物线 ： 2 = 8 ，点 是抛物线 准线上的一点，过点 作抛物线 的切线，切点分别为 ， ，直
线 ， 的斜率分别为 1， 2，则下列说法正确的是( )
A. 直线 恒过定点(0,2) B. | 1 2| = 2
C. 1 2 = 1 D. △ 的面积最小值为16
12.如图，已知正方体 1 1 1 1中， ， ， ， 分别是 ， 1 1， 1，
的中点，则下列说法正确的有( )
A. ， ， ， 四点共面
B. 与 所成的角为
3
C. 在线段 上存在点 ，使 1 ⊥平面
D. 在线段 1 上任取点 ，三棱锥 的体积不变
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知圆 ： 2 + 21 6 12 = 0和圆 2：
2 + 2 + 4 5 3 = 0，则圆 1与圆 2的公共弦所在的
直线方程为______．
14.曲线 = ( 2 + ) + 2在点(1,2)处的切线方程为______．
2 2
15.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1， 2，点 是椭圆 上的一点，延长 交椭 2
圆 于点 ，且△ 1 为等边三角形，则椭圆 的离心率为______．
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16.“物不知数”是中国古代著名算题，原载于《孙子算经》卷下第二十六题：“今有物不知其数，三三数
之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二．问物几何？”它的系统解法是秦九韶在《数书九章》大衍求一术
中给出的．大衍求一术(也称作“中国剩余定理”)是中国古算中最有独创性的成就之一，属现代数论中的一
次同余式组问题．已知问题中，一个数被3除余2，被5除余3，被7除余2，则在不超过2022的正整数中，所
有满足条件的数的和为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
5
(1)已知椭圆的焦距为10，离心率为 ，求椭圆的标准方程；
13
(2)已知双曲线的渐近线方程为 = ±√ 5 ，虚轴长为4，求双曲线的标准方程．
18.(本小题12分)
已知数列{ }是等差数列，且 2 = 25，2 3 + 5 = 50．
(1)求{ }的通项公式；
(2)若数列{ }的前 项和为 ，求 的最小值及取得最小值时 的值．
19.(本小题12分)
已知圆 2 21： + + 6 10 + 25 = 0与圆 2：
2 + 2 8 + 7 = 0交于 ， 两点，圆 经过 ， 两点，
且圆心在直线4 3 3 = 0上．
(1)求| |；
(2)求圆 的方程．
20.(本小题12分)
如图，四边形 为正方形，四边形 是梯形， // ， = = 3 ，平面 ⊥平面 ，
且 ⊥ ，点 是线段 上的一点(不包括端点)．
(1)证明 ⊥ ；
(2)若 = 1，且直线 与平面 所成角的大小为45°，求三棱锥 的体积．
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21.(本小题12分)
2 2 √ 3
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的渐近线方程为 = ± ，且过点(3, √ 2)． 3
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若双曲线 的右焦点为 ，点 (0, 4)，过点 的直线 交双曲线 于 ， 两点，且| | = | |，求直线 的
方程．
22.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = 2 + ( )( ∈ )．
2
(1)若 ( )恰有两个极值点，求实数 的取值范围；
(2)若 ( )的两个极值点分别为 1， 2，证明： ( 1) + ( 2) < 8 2 12．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】10 + 7 3 = 0
14.【答案】 = 2
√ 3
15.【答案】
3
16.【答案】20410
5
17.【答案】解：(1)椭圆的焦距为10，离心率为 ，
13
2 = 2 + 2
则{2 = 10 ，解得 = 13， = 12，
5
=
13
2 2 2 2
故椭圆的标准方程为 + = 1或 + = 1；
169 144 169 144
(2)双曲线的渐近线方程为 = ±√ 5 ，虚轴长为4，
若双曲线的焦点在 轴上，
则{ = √ 5
2√ 5
，解得 = ， = 2，
5
= 2
2 2
故双曲线的标准方程为： 4 = 1， 4
5
若双曲线的焦点在 轴上，
= √ 5
则{ ，解得 = 2√ 5， = 2，
= 2
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2 2
故双曲线的标准方程为： = 1，
20 4
2 2 2 2
综上所述，所求的标准方程为： 4 = 1或 = 1． 4 20 4
5
+ = 25
18.【答案】解：(1)设{ }的公差为 ，则{
1 ，
2( 1 + 2 ) + 1 + 4 = 50
1 = 30解得{ ，
= 5
所以 = 1 + ( 1) = 5 35．
( 30+5 35) 5 13 845
(2) = = ( )
2 ，
2 2 2 8
所以当 = 6或 = 7时， 取得最小值，最小值为 105．
19.【答案】解：(1)因为圆 ： 2 + 2 + 6 10 + 25 = 0与 ： 2 + 21 2 8 + 7 = 0交于 ， 两点，
所以两圆方程作差得直线 的方程为3 + 9 = 0，
又圆 2：
2 + ( 4)2 = 9，
| 4+9| √ 10
所以点 2到直线 的距离 = = ， √ 9+1 2
√ 10
所以| | = 2√ 9 ( )2 = √ 26；
2
(2) 1：( + 3)
2 + ( 5)2 = 9，圆 2：
2 + ( 4)2 = 9，
则 1( 3,5)， 2(0,4)，
1
则 = ， 1 2 3
1
则直线 1 2的方程为 = + 4， 3
即 + 3 12 = 0，
+ 3 12 = 0
由{ ，
4 3 3 = 0
解得 = 3， = 3，
所以 (3,3)，
|3×3 3+9| 3√ 10
所以点 到直线 的距离 1 = = ， √ 9+1 2
设圆 的半径为 ，
2 | |所以 = √ 21 + ( ) = √ 29， 2
所以圆 的方程为( 3)2 + ( 3)2 = 29．
20.【答案】证明：(1)连接 ，因为四边形 为正方形，∴ ⊥ ， ⊥ ，
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，∴ ⊥平面 ，
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又 平面 ，∴ ⊥ ，
∵ ⊥ ， // ，∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，∴ ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，又 平面 ，
∴ ⊥ ；
解：(2)以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴
建立空间直角坐标系，如图所示：
则 (0,0,1)， (3,3,0)， (3,0,0)， (0,3,0)， (0,3,3)，
所以 = ( 3,0,3)， = ( 3,3,0).设 = (0 < < 1)，
则 = + = + = ( 3 + 3 , 3 , 1 )，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= 0 3 + 3 = 0 3 6 则{ ，即{ ，令 = 1，解得 = 1， = ，
= 0 ( 3 + 3 ) + 3 + (1 ) = 0 1
3 6
所以 = (1,1, )，
1
又直线 与平面 所成角的大小为45°，
3 6
|
| | 3+3× | √ 2
所以|cos , | = =
1 =
| || | 2 ， 3 6 2
√ 9+9×√ 1+1+( )
1
7
解得 = ，
13
所以
7
=
6
，所以 = ，
13 13
6 6 1 1 9
所以 = = = × × × 3 × 3 × 1 = ． 13 13 3 2 13
√ 3 9 2
21.【答案】(1)解：由题意可得 = ， 2 2 = 1， 3
解得 2 = 1， 2 = 3，
2
所以，双曲线 的标准方程为 2 = 1；
3
(2)解：由(1)知双曲线 的右焦点为 (2,0)，
√ 3 √ 3 √ 3
当直线 的斜率不存在时，方程为 ： = 2，此时 (2, ), (2, )，| | = √ 22 + ( + 4)2 ≠ | | =
3 3 3
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√ 2 √ 3 2 + ( + 4)2，
3
所以，直线 的斜率存在，设方程为 = ( 2)，
将上式与双曲线方程联立，化简得(1 3 2) 2 + 12 2 12 2 3 = 0，
所以 = 144 4 4(1 3 2)( 3 12 2) = 12 2 + 12 > 0，且1 3 2 ≠ 0，
√ 3
所以， ≠ ± ，
3
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
12 12 3
则 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ，
1 3 1 3
3
12 4
所以 1 + 2 = ( 1 + 2) 4 = 2 4 = 2，
1 3 1 3
2
6 2
所以，线段 中点为 ( 2 , 2)，
1 3 1 3
因为| | = | |，
所以，点 (0, 4)在线段 的中垂线上，
所以 ⊥ ，
所以，当 = 0时，线段 中点为 (0,0)，此时直线 的方程为 = 0，满足题意；
2
2+4 2 2 2 +4 12 +2 6
当 ≠ 0时， =
1 3
2 = 2 = 2 , = ，
6
6 3
1 3 2
2
+2 6 1 √ 3
所以， =
2
2 = 1，整理得3 + 2 1 = 0，解得 = 或 = 1，满足 ≠ ± ．
3 3 3
1 2
综上，直线 的方程为 = 0，或 = 或 = + 2．
3 3
1 2 +
22.【答案】解：(1) ′( ) = + ( 1) = = 0在(0,+∞)上恰有两个不同的解，
(0) = > 0,
令 ( ) = 2 + ，所以{ > 0,2
= ( )2 4 > 0,
解得 > 4，即实数 的取值范围是(4,+∞)；
(2)证明：由(1)知 1， 2是方程
2 + = 0的两个不同的根，所以 1 + 2 = ， 1 2 = ，
1 1
所以 ( 2 21) + ( 2) = 1 + ( 1 1) + + ( ) 2 2 2 2 2
1 1 1
= ( 21 + 2) 1 2 ( 1 + 2) + ( 1
2 2
2) = + =
2 , > 4，
2 2 2
1
令 ( ) = 2 , > 4, ′( ) = ，
2
1 1
令 ( ) = ′( ), ′( ) = 1 = < 0在(4,+∞)上恒成立，
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所以 ( )在(4,+∞)上单调递减，即 ′( )在(4,+∞)上单调递减，
所以 ′( ) < (4) = 4 4 < 0，所以 ( )在(4,+∞)上单调递减，
1
所以 ( ) < (4) = 4 4 × 42 4 = 8 2 12，
2
所以 ( 1) + ( 2) < 8 2 12．
第 9 页，共 9 页
