2.5.2 圆与圆的位置关系（同步检测）
一、选择题
1.圆(x－4)2＋y2＝9和圆x2＋(y－3)2＝4的公切线有( )
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
2.圆x2＋y2－2x－5＝0与圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的交点为A，B，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A.x＋y－1＝0 B.2x－y＋1＝0
C.x－2y＋1＝0 D.x－y＋1＝0
3.已知点A(1,0)，B(1,6)，圆C：x2＋y2－10x－12y＋m＝0，若在圆C上存在唯一的点P使∠APB＝90°，则m等于( )
A.－3或3 B.57
C.－3或57 D.3或57
4.与直线x－y－4＝0和圆x2＋y2＋2x－2y＝0都相切的半径最小的圆的方程是( )
A.(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 B.(x＋1)2＋(y＋1)2＝4
C.(x－1)2＋(y＋1)2＝2 D.(x－1)2＋(y＋1)2＝4
5.设a＞0，若圆M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0与圆N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0相交，则实数a的取值范围为( )
A. B.(3，＋∞)
C. D.(0,3)
6.过点P(x，y)作圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：(x－2)2＋(y－2)2＝1的切线，切点分别为A，B，若|PA|＝|PB|，则x2＋y2的最小值为( )
A. B.2
C.2 D.8
7.(多选)已知圆O：x2＋y2＝4和圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0相交于A，B两点，则下列说法正确的是( )
A.两圆有两条公切线
B.直线AB的方程为y＝2x＋2
C.线段AB的长为
D.若圆O上有一动点E，圆M上有一动点F，则|EF|的最大值为＋3
8.(多选)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，则有( )
A.公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0
B.线段AB中垂线的方程为x＋y－1＝0
C.公共弦AB的长为
D.P为圆O1上一动点，则P到直线AB距离的最大值为＋1
9.(多选)下列圆中与圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相切的是( )
A.(x＋2)2＋(y＋2)2＝9 B.(x－2)2＋(y＋2)2＝9
C.(x－2)2＋(y－2)2＝25 D.(x－2)2＋(y＋2)2＝49
二、填空题
10.到点A(－1,2)，B(3，－1)的距离分别为3和1的直线有________条．
11.已知以C(4，－3)为圆心的圆与圆O：x2＋y2＝1相切，则圆C的方程是___________________
12.若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦长为2，则a＝________
13.圆心在直线x－y－4＝0上，且经过圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点的圆的方程为________________
三、解答题
14.求与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋y＝0相切于点M(3，－)的圆的方程．
15.已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长；
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．
16.已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0.
(1)若直线l1过定点A(1,1)，且与圆C相切，求l1的方程；
(2)若圆D的半径为3，圆心在直线l2：x－y＋2＝0上，且与圆C外切，求圆D的方程．
参考答案及解析：
一、选择题
1.C 解析：圆(x－4)2＋y2＝9的圆心为(4,0)，半径为3，圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为(0,3)，半径为2.两圆的圆心距为＝5＝2＋3，两圆相外切，故两圆的公切线的条数为3.
2.A 解析：圆x2＋y2－2x－5＝0的圆心为M(1,0)，圆x2＋y2＋2x－4y－4＝0的圆心为N(－1,2)，两圆的相交弦AB的垂直平分线即为直线MN，其方程为＝，即x＋y－1＝0.
3.C 解析：由题意得，只需以AB为直径的圆与圆C有且仅有一个公共点，即两圆相切．
因为A(1,0)，B(1,6)，所以以AB为直径的圆M的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝9，圆C：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m.因为两圆相切，所以|CM|＝|3±|，即5＝|3±|，解得m＝57或m＝－3.
4.C 解析：∵圆x2＋y2＋2x－2y＝0的圆心为(－1,1)，半径为，∴过圆心(－1,1)与直线x－y－4＝0垂直的直线方程为x＋y＝0，当所求的圆的圆心在直线x＋y＝0上时，半径最小，排除A，B．圆心(－1,1)到直线x－y－4＝0的距离为＝3，则所求的圆的半径为＝，故选C．
5.A 解析：根据题意，圆M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0，即(x－3)2＋(y－1)2＝1，其圆心为M(3,1)，半径R＝1．圆N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0，即(x－a)2＋(y＋1)2＝a2，其圆心为N(a，－1)，半径r＝|a|＝a．若圆M：x2－6x＋y2－2y＋9＝0与圆N：x2－2ax＋y2＋2y＋1＝0相交，则有|a－1|＜＜a＋1，解得＜a＜3，即a的取值范围为．故选A．
6.B 解析：由(x2＋y2－1)－(x2＋y2－4x－4y＋7)＝0得x＋y－2＝0，则P点在直线l：x＋y－2＝0上，原点到直线l的距离d＝，所以(x2＋y2)min＝d2＝2，故选B．
7.AD 解析：因为两圆相交，所以两圆有两条公切线，故A正确；又圆O：x2＋y2＝4，①
圆M：x2＋y2＋4x－2y＋4＝0，② 所以由②－①得4x－2y＋4＝－4，即y＝2x＋4，所以直线AB的方程为y＝2x＋4，故B错误；又圆O的圆心为O(0,0)，半径为2，则圆心O到直线AB的距离d＝＝，所以|AB|＝2×＝，故C错误；圆M的圆心为M(－2,1)，半径为1，所以|EF|max＝|OM|＋2＋1＝＋3，故D正确．
8.ABD 解析：对于A，由圆O1：x2＋y2－2x＝0与圆O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的交点为A，B，两式作差可得4x－4y＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x－y＝0，故A正确；对于B，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心为(1,0)，又kAB＝1，则线段AB中垂线的斜率为－1，即线段AB中垂线的方程为y－0＝－1×(x－1)，整理可得x＋y－1＝0，故B正确；对于C，圆O1：x2＋y2－2x＝0的圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离d＝＝，半径r＝1，所以|AB|＝2＝，故C不正确；对于D，P为圆O1上一动点，圆心O1(1,0)到直线x－y＝0的距离为d＝，半径r＝1，即P到直线AB距离的最大值为＋1，故D正确．
9.BCD 解析：由圆C：x2＋y2＋2x－4y＋1＝0，可知圆心C的坐标为(－1,2)，半径r＝2.A项，圆心C1(－2，－2)，半径r1＝3.∵|C1C|＝∈(r1－r，r1＋r)，∴两圆相交；B项，圆心C2(2，－2)，半径r2＝3，∵|C2C|＝5＝r＋r2，∴两圆外切，满足条件；C项，圆心C3(2,2)，半径r3＝5，∵|C3C|＝3＝r3－r，∴两圆内切；D项，圆心C4(2，－2)，半径r4＝7，∵|C4C|＝5＝r4－r，∴两圆内切．
二、填空题
10.答案:4
解析:到点A(－1,2)的距离为3的直线是以A为圆心，3为半径的圆的切线；同理，到点B(3，－1)的距离为1的直线是以B为圆心，半径为1的圆的切线，所以满足题设条件的直线是这两圆的公切线，而这两圆的圆心距|AB|＝＝5.
半径之和为3＋1＝4，因为5>4，
所以圆A和圆B外离，因此它们的公切线有4条．
11.答案：(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36
解析：设圆C的半径为r，圆心距d＝＝5，当圆C与圆O外切时，r＋1＝5，解得r＝4；当圆C与圆O内切时，r－1＝5，解得r＝6，则圆C的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝16或(x－4)2＋(y＋3)2＝36.
12.答案：1
解析：将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为y＝，圆心(0,0)到直线的距离d＝＝＝1，所以a＝1.
13.答案:(x－3)2＋(y＋1)2＝16(或x2＋y2－6x＋2y－6＝0)
解析:由解得
所以圆x2＋y2－4x－6＝0与圆x2＋y2－4y－6＝0的交点分别为A(－1，－1)，B(3,3)，连接AB(图略)，则线段AB的垂直平分线的方程为y－1＝－(x－1)．由解得所以所求圆的圆心坐标为(3，－1)，半径为＝4，所以所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝16.
三、解答题
14.解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，由题知所求圆与圆x2＋y2－2x＝0外切，
则＝r＋1.①
又所求圆过点M的切线为直线x＋y＝0，故＝.②
＝r.③
由①②③解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4，r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4)2＝36.
15.解：(1)设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立圆C1与圆C2的方程，得
由①－②，得x－y＋4＝0.
∵A，B两点的坐标都满足此方程，∴x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．
又圆C1的圆心(－3,0)，r＝，∴C1到直线AB的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝5，即两圆的公共弦长为5.
(2)解方程组得两圆的交点A(－1,3)，B(－6，－2)．
设所求圆的圆心为(a，b)，因为圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.
则＝，
解得a＝，故所求圆的圆心为，半径为.
故所求圆的方程为2＋2＝，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.
16.解：(1)圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0化为标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝4，
所以圆C的圆心为(3,4)，半径为2.
①若直线l1的斜率不存在，即直线为x＝1，符合题意．
②若直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y－1＝k(x－1)．
即kx－y－k＋1＝0.由题意知，圆心(3,4)到已知直线l1的距离等于半径2，
所以＝2，即＝2，解得k＝，所以直线方程为5x－12y＋7＝0.
综上，所求l1的方程为x＝1和5x－12y＋7＝0.
(2)依题意，设D(a，a＋2)．
又已知圆C的圆心为(3,4)，半径为2，由两圆外切，可知|CD|＝5，
所以＝5，解得a＝－1或a＝6.所以D(－1,1)或D(6,8)，
所以所求圆D的方程为(x＋1)2＋(y－1)2＝9或(x－6)2＋(y－8)2＝9.
