2024 年秋九年级第三学月阶段检测答案
数学科目
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B C C D A C C B D
二、填空题
11. (2,-1) 12.乙 13. 6 14. 4 15. 13 16.9
三、解答题
2
17. - 2024 0 1 1 2 ( 3)2
3
解：原式 1 9 2 -1-3......4分
6 2......6分
18.x+1......4 分
当 x 3 1时，原式= 3 ......6 分
19.（1）解：将 A(1,2)代入双曲线解析式得： k2 2
2
，即双曲线解析式为 y ；
x
2
将 B(m, 1)代入双曲线解析式得： 1 ，即m 2， B( 2, 1) ，......2 分
m
k1 b 2
将A 与 B坐标代入直线解析式得： ，
2k1 b 1
解得： k1 1，b 1，
则直线解析式为 y x 1；......4 分
（2） x 2或0 x 1．.....6 分
20．(1)40.....1 分
补全条形图如下：
.....2 分
{#{QQABKQKEggCgAgAAABgCUwEQCkOQkgCACYgGgBAIMAAAiBNABAA=}#}
(2)800.....4 分
(3)画树状图如下：
.....6 分
共有 12 种等可能的结果，其中选出的 2 名学生恰好是 1 名男生与 1 名女生的结果共有 6
种，.....7 分
6 1
∴选出的 2 名学生恰好是 1 名男生与 1 名女生的概率为 ．.....8 分
12 2
21．（1）解：∵四边形 ABCD 为正方形
∴ C ABE 90 ，
∴ CFE FEC 90
∵ AE FG，
∴ FEC AEB 90 ，
∴ CFE BFA，
又∵ C ABE 90
∴△ABE∽△ECF ．.....4 分
（2）∵△ABE∽△ECF
∴ AB BE ；
CE CF
∵E为 BC中点，
BE CE 1 AB 4
2
AB BE 4 2
∴ ，
CE CF 2 1
∴ BE 2CF
∴CF=2.....6 分
∵四边形 ABCD 为正方形
∴DC∥BG
BG BE
1
FC CE
∴BG=2.....8 分
{#{QQABKQKEggCgAgAAABgCUwEQCkOQkgCACYgGgBAIMAAAiBNABAA=}#}
22.（1）解：设甲种滑动变阻器的单价是 x元，则乙种滑动变阻器的单价是 x 6 元，
2700 1.5 1600根据题意得： ．
x 6 x
解得： x 48．.....3 分
经检验， x 48是所列方程的根，且符合题意．∴ x 6 48 6 54（元）
答：甲种滑动变阻器的单价是 48 元，乙种滑动变阻器的单价是 54 元；.....4 分
（2）解：设购买甲种滑动变阻器 m个，则购买乙种滑动变阻器 100 m 个．
根据题意得： 48m 54 100 m 5000．.....6 分
200
解得：m ．.....8 分
3
∵m为整数，
∴m的最小值为 67，
答：该校最少购买 67 个甲种滑动变阻器．.....9 分
23.证明：（1）连接 OC，
∵OA=OC
∴∠OAC=∠OCA
∵∠MCB=∠CAM
∴∠MCB=∠OCA
∵AB为直径
∴∠OCA+∠OCB=90°
∴∠MCB+∠OCB=90°即∠OCM=90°
∵OC为半径
∴直线MC为 O的切线；.....3 分
(2) 连接 OD交 AC于点 E
∵ AN CM
∴∠ANC=90°
∴∠ANC=∠OCM
∴OC∥AN
∴∠DAC=∠OCA,∠ADO=∠DOC,
∵点 D是 的中点，OD 为半径
∴OD⊥AC,AE=EC
{#{QQABKQKEggCgAgAAABgCUwEQCkOQkgCACYgGgBAIMAAAiBNABAA=}#}
∴ ADE≌ COE
∴AD=OC
∴四边形 AOCD是平行四边形
又∵AO=OC
∴四边形 AOCD是菱形.....6 分
（3）∵四边形 AOCD是菱形
∴DC=AD=AO
∴OD=OA=AD
∴三角形 ADO为等边三角形
∴∠DAO=60°
∴在 Rt AMN 中，∠M=30°
∴在 Rt OCM 中，OM=2OC
令 OC=x则 x+2=2x
∴x=2
∴DC=OC=2
∵四边形 AOCD是菱形
∴OA∥DC
∴∠DCN=∠M=30°
∵∠ANC=90°
∴DN=0.5DC=1.....9 分
24．解：（1）①√②×③× ..............3 分
（2）方法一：由题得，y1＝a （3a）2+ 2a2 3a＝15a3，y2＝ + 2a2x2，
∵y1＜y2，
∴y2﹣y1＝a（ + 2ax2﹣15a2）＝a（x2﹣3a）（x2+5a）＞0，........4 分
①当 a＞0 时，（x2﹣3a）（x2+5a）＞0，
∴（ x 3a) 0 （ x2 3a) 02 或 ，
(x2 5a) 0 (x2 5a) 0
解得 x2＞3a或 x2＜﹣5a，
∵3≤x2≤4，
∴3a＜3 或﹣5a＞4，
a 1 a - 4∴ ＜ 或 ＜ ，
5
∵a＞0，
∴0＜a＜1；
②当 a＜0 时，（x2﹣3a）（x2+5a）＜0，
（ x2 3a) 0 （ x2 3a) 0∴ 或 ，
(x2 5a) 0
(x2 5a) 0
{#{QQABKQKEggCgAgAAABgCUwEQCkOQkgCACYgGgBAIMAAAiBNABAA=}#}
解得 3a＜x2＜﹣5a，
∵3≤x2≤4，
∴ 3a 3 ，解得 a＜
4
，
5a 4 5
综上，0＜a＜1 或 a＜ 4 ．........6 分
5
方法二：①当 a＞0 时，
M（x1，y1）和 N（x2，y2）都在对称轴右侧，
此时 y随 x增大而增大，
∵y1＜y2，
∴x1＜x2，
∴3a＜3， ∴0＜a＜1；
②当 a＜0 时，对称轴为： x a
M（x1，y1）在对称轴左侧，N（x2，y2）在对称轴右侧，
点 M（3a，y1）关于对称轴的对称点（﹣5a，y1）在对称轴右侧，
在对称轴右侧，y随 x增大而减小，
∵y1＜y2，
∴﹣5a＞4，
∴a＜ - 4 ，
5
综上，0＜a＜1 或 a＜ - 4 ．........6 分
5
（3）由题知，直线 AB 为：y＝3，直线 EF 为：y＝1，对称轴为 x 3，如图：
则 S＝ ×EF×（yA﹣yE）＝EF，
联立直线 EF 和抛物线的表达式得：ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1＝1，
即 x2﹣6x﹣a2+2a＝0，
设点 E、F的横坐标为 m，n，
则 m+n＝6，nm＝﹣a2+2a，
则 EF2＝（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝4（a2﹣2a+9），
则 S＝EF＝2 ＝2 ≥4 ，
当 a＝1 时，等号成立，
即 k的最大值为：4 ，a＝1，........9 分
则抛物线的表达式为：y＝x2﹣6x+2,图像不过原点，不是“Y”函数．........10 分
25. (1)∵ ∴∠ADB=∠C
∵∠ADB+∠BAC=90°
∴∠C+∠BAC=90°=∠ABC
∴AC为☉O直径 ........3 分
(2)∵ S 3S1 S2 ∴ S ( 3S1 S2 )
2 3S1 S2 2 3S1S2 S1 S2
∴ 2S1 2 3S1S2 S1 3S
2
1S2 ∴ S1 3S1S2 ∴ S1(S1 3S2 ) 0
{#{QQABKQKEggCgAgAAABgCUwEQCkOQkgCACYgGgBAIMAAAiBNABAA=}#}
∵ S1 0 ∴ S1 3S2 ........4 分
∴ S S1 S2 4S2 即 S ADF 4S ADG
∵ ∴∠F =∠ADB=∠ABD，AB=AD
又∵∠DAG =∠FAD
∴△ADG △AFD ........5 分
∴ AD S 1 AB ADG ........6 分
AF S ADF 2 AF
(3)∵ ，AC为☉O直径
∴AC⊥BD
∴∠AEB =∠ABC=90°
∵∠BAE =∠CAB
∴△ABE △ACB
AB AE
∴ ∴ AC AE AB2
AC AB
∵∠DGF =∠AGB，∠F=∠ABD
∴△ABG △DFG
AB BG
∴ ∴DF BG AB GF
DF GF
又∵△ADG △AFD
AD AG
∴ ∴ AF AG AD2 AB2
AF AD
∵AF =12，AB = x
2
AG AB x
2
GF AF AG 12 x
2
∴ ∴
AF 12 12
∴ y 1 3 DF BG 2 AD 1995
AF AG AC AE
AB GF . 1 32 2 2 AB 1995AB AB
2
2GF 2 AB 1995 24 x 2 x 1 1995 ( x 6) 2 2025 ........9 分
6 6
∵0
{#{QQABKQKEggCgAgAAABgCUwEQCkOQkgCACYgGgBAIMAAAiBNABAA=}#}2024 年秋九年级第三学月阶段检测试卷
数学科目
考生注意：本试卷共 3 道大题，25 道小题，满分 120 分，时量 120 分
钟.
一、选择题（本大题共 10道小题，每小题 3分，共 30分）
1.下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.2024年 月 5日至 25 日，人民网连续第 23次开展全国两会调查，调查围绕 10个领域设置 49个
候选热词．本次调查广纳民情民意，吸引约 6150000人次参与，其中 6150000用科学记数法可以表
示为( )
A. 6.15 105 B. 6.15 106 C. 0.615 106 D.0.615 107
3.下列计算正确的是( )
A. B. 3a 2 6a2 C. D.
4.下列说法正确的是( )
A. 抛掷一枚硬币 100次，一定有 50次“正面朝上”
B. 为了解全国中学生的心理健康情况，应该采用普查的方式
C. 一组数据 8，8，7，10，6，8，9的众数和中位数都是 8
D. “太阳东升西落”是不可能事件
5.如图，OA，OB是☉O的两条半径，点 C在☉O上，若∠AOB=90°，则∠C的度数为( )
A. 30° B. 35° C. 40° D. 45°
6.如图，在平行四边形 中， 是 边上一点， 与 交于点 ，若 ，则
的值为( )
A. B. C. D.
第 5题图 第 6题图 第 10题图
7.若 m，n分别为一元二次方程 x2 2x 5 0的两个实数根，则 2mn m n的值为（ ）
A． 12 B．12 C． 8 D．8
8. y 8对于反比例函数 ，下列说法不正确的是( )
x
A. 这个函数的图象分布在第一、三象限
B. 点(2,4)在这个函数图象上
C. 若图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1 > x2 ，则 y1< y2
D. 当 x >0时，y随 x的增大而减小
试卷第 1页，共 4页
{#{QQABKQKEggCgAgAAABgCUwEQCkOQkgCACYgGgBAIMAAAiBNABAA=}#}
9.《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，
不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余 4.5尺，将绳子对折再量木
长，长木还剩余 1尺，问木长多少尺？若设木长 x尺，绳子长 y尺，则下列方程组正确的是（ ）
x y 4.5 y x 4.5 x y 4.5 y x 4.5
A． 1 B． 1 ．x y 1 y x 1 C 1 D． 1 y x 1 x y 1 2 2 2 2
k 1 k
10．反比例函数 y 和 y 在第一象限内的图象如图所示，点 P在 y 的图象上， PC x轴，
x x x
交 y
1 1 k
的图象于点 A， PD y轴，交 y 的图象于点 B．当点 P在 y 的图象上运动时，以下
x x x
结论：①ΔOBD和ΔOCA的面积相等；② PA与 PB始终相等；③四边形 PAOB的面积不会发生变化；
④当 PA=2AC时，PB=2BD．其中一定正确的是（ ）
A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．①③④
二、填空题（本大题共 6道小题，每小题 3分，共 18分）
11. y x 2 2二次函数 1的顶点坐标是 _________
12.为了比较甲、乙、丙三种水稻秋苗的长势，每种秧苗各随机抽取 30 株，分别量出每株高度，计
算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是 8.6，5.8，12.8，
由此可知 种秧苗长势更整齐（填“甲”、“乙”或“丙”）．
13.如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为 2 : 3，已知 AB＝4，则 DE 的长为_____．
14.圆锥的侧面积为 ，母线长为 则这个圆锥的底面半径为______．
15.中国饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图 2是从正面看到的一个“老碗”(图
1)的形状示意图． 是⊙ 的一部分，D是 的中点，连接 OD，与弦 AB交于点 C，连接 OA， .
已知 = 24 ，碗深 = 8 ，则⊙ 的半径 OA为______ .
16.如图，⊙O内切于四边形 ABCD，若 AB=10,BC=8,CD=7,则 AD的长度为______.
第 13题图 第 15题图 第 16题图
三、解答题（本大题共 9道小题，第 17、18、19题每小题 6分，第 20、21题每小题 8分，第 22、
23题每小题 9分，第 24、25题每小题 10分，共 72分）
2
17.计算： ( 2024)0 1 1 2 ( 3)2
3
1 1 x
2 1
18.先化简，再求值： ，其中 ．
x 1 x
19.如图，直线 与双曲线 相交于 、 两点．
(1)求直线和双曲线的解析式；
(2)观察图象，请直接写出不等式 的解集．
试卷第 2页，共 4页
{#{QQABKQKEggCgAgAAABgCUwEQCkOQkgCACYgGgBAIMAAAiBNABAA=}#}
20.某中学为积极落实国家“双减”教育政策，决定增设四门兴趣课，A“戏曲”、B“跳绳”、C“无人机”、
D“书法” 为了了解学生对每个兴趣小组的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果
绘制出下面不完整的统计图，请结合图中的信息解答下列问题：
(1)本次共调查了 名学生；并将条形统计图补充完整；
(2)若该校共有学生 2000人，则估计该校喜欢跳绳的学生人数约是 ；
(3)现选出了 4 名跳绳成绩最好的学生，其中有 1 名男生和 3 名女生 要从这 4 名学生中任意抽取 2
名学生去参加比赛，请用列表法或画树状图法，求刚好抽到 1名男生与 1名女生的概率．
21．如图，点 E是正方形 ABCD边 BC上一点，过 E作 AE的垂线，交CD于点 F，交 AB的延长线
于点 G．
(1)求证：△ABE∽△ECF；
(2)若正方形的边长为 8．点 E是 BC的中点，求 BG的长.
22．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变
阻器用了 1600元，购买乙种用了 2700元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的 1.5倍，乙种滑
动变阻器单价比甲种单价贵 6元．
(1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元；
(2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共 100个，总费用不超过 5000元，那么该校最少购买多少个
甲种滑动变阻器？
23.如图，以 AB为直径的 O中，点C为 O上一点，连接 AC， BC，延长 AB至点M ，使得
∠MCB=∠CAM, 作 AN CM 交 O于点 D,交MC的延长线于点 N．
(1) 求证：直线MC为 O的切线；
(2) 如图 2，若点 D是 的中点,连接 DC,OC，求证：四边形 AOCD 为菱形；
(3) 在(2)的条件下，若 BM=2,求 DN的长.
图 1 图 2
试卷第 3页，共 4页
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24.我们把图象经过原点的函数，叫做"Y"函数。
(1)请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打√，错误的打×）
①一次函数 y kx b（k 0)可能是"Y"函数； （ ）
②二次函数 y ax2 bx c（a 0)一定是"Y"函数； （ ）
③反比例函数 y k （k 0)可能是"Y"函数。 （ ）
x
(2)已知二次函数 y ax2 2a2x c（a 0)是"Y"函数，M (x1, y1)和 N (x2, y2 )是它图象上的两点．若对
于 x1 3a，3 x2 4都有 y1 y2，求 a的取值范围．
(3)已知抛物线G : y ax2 6ax a3 2a2 1（a 0），过点 A(x1,3)和点 B(x2 ,3)，将直线 AB向下平移
2个单位交抛物线G于 E,F两点.设 AEF的面积为 S，若对于任意的 a 0，均有 S K 成立，求K
的最大值，并判断此时该二次函数是否为 "Y"函数．
25. 如图，点 A、B、C、D在⊙O运动，且 ，线段 BD、AC交于点 E，且∠ADB+∠BAC=90°,
点 G是线段 DE上一点，连接 AG并延长交⊙O于点 F，连接 DF.
(1)证明：AC是⊙O的直径；
(2)若△ADF的面积为 S，△FDG的面积为 S ，△ADG面积的为 S ，且满足 S 3S S ，求 AB1 2 1 2
AF
的值；
(3)若 AF =12，AB = x，令 y DF BG 1 3 2AD 1995，求 y关于 x的函数解析式，
AF AG AC AE
并求出 y的最大值.
试卷第 4页，共 4页
{#{QQABKQKEggCgAgAAABgCUwEQCkOQkgCACYgGgBAIMAAAiBNABAA=}#}
