东风中学校高2022级12月月考试题
数学试卷
单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1.已知集合，若，则实数（ ）
A. B. C. D.或1
2.为虚数单位，复数，则的虚部为（ ）
A. B. C. D.
3.“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分出不必要条件
4.已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的2倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥与圆柱的体积之比为（ ）
A. B.3 C. D.
5.若曲线在处的切线的硕斜角为，则（ ）
A. B. C. D.3
6.在中，边上的中线，则（ ）
A.1 B.2 C.4 D.8
7.已知数列的首项，前项和，满足，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知定义在上的函数满足，且当时，，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D..
二 多选题（本题共3个小题，每个小题6分，共计18分，在每小题给出的选项中，有多要符合题目要求，全部远对的每6分，部分远对的得部分分有选错的得0分）
9.已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ）
A.的坐标为 B.
C. D.
10.从中随机取一个数记为，从中随机取一个数记为，则下列说法正确的是（ ）
A.事件“为偶数”的概率为
B.事件“为偶数”的概率为
C.设，则的数学期望为
D.设，则在的所有可能的取值中最有可能取到的值是12
11.在直棱柱中，底面为正方形，为线段上动点，分别为和的中点，则下列说法正确的是（ ）
A.当，则三线交于一点
B.三棱锥的体积为定值
C.直线与所成角的余弦值为
D.的最小值为
三 填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分把答案填在题中的横线上）
12.的展开式中的常数项为__________.（用数字作答）
13.若数列满足，其前项和为，若，则__________.
14.设双曲线的右顶点为，且是抛物线的焦点，过点的直线与抛物线交于两点，满足，若点也在双曲线上，则双曲线的离心率为__________.
四 解答题（本题共5小题，共77分解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15.（13分）如图，正四棱柱中，为的中点，.
（1）求证：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值.
16.（15分）已知函数的图象关于点中心对称.
（1）求的值；
（2）若，当时，的最小值为，求的值.
17.中，设角所对的边分别为.
（1）求的大小；
（2）若的周长等于3，求的面积的最大值.
18.（17分）某工厂生产某款电池，在满电状态下能够持续放电时间不低于10小时为合格品，工程师选择某台生产电池的机器进行参数调试，在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作如下的列联表：
产品 合格 不合格 合计
调试前 45 15 60
调试后 35 5 40
合计 80 20 100
（1）根据表中数据，依据的独立性检验，能否认为参数调试与产品质量有关联；
（2）现从调试前的样本中按合格和不合格，用分层随机抽样法抽取8件产品重新做参数调试，再从这8件产品中随机抽取3件做对比分析，记抽取的3件中合格的件数为，求的分布列和数学期望；
（3）用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取调试后的产品1000件，记其中合格的件数为，求使事件“”的概率最大时的取值.
参考公式及数据：，其中.
0.025 0.01 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
19.（17分）已知是首项为1的等差数列，其前项和为为等比数列，.
（1）求和的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）记，若对任意恒成立，求实数的取值范围.
东风中学校高2022级12月月考
数学参考答案及评分意见
一 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
选项 C A B C D B C A BD ACD ABD
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
12.15 13.17 14.
四 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）（1）证明：连结，在中，，
所以
于是
同理可证，又
所以平面
又平面
所以平面平面；
（2）解：取的中点，连结，
因为
所以，，
所以平直与平面的夹角为，
在中，，
所以，.
平面与平面的夹角的余弦值.
16.（15分）（1）（2）
（1）依题意，.
即
有，所以
（2）由（1）可知，，则，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增
若，则在区间内的最小值为，
即，解得，不符题意
若，则在区间内的最小值为，
解得，符合题意；
所以.
17.（15分）解：（1）因为，
由正弦定理得.
又，所以，
所以，即
因为，
所以，即.
（2）在中，由余弦定理得，即①，
又，所以，代入①得.
整理得，
又因为，当且仅当时取等号，因为，所以，
所以，解得或（舍去）
故，故的面积，当且仅当时取等号，所以面积的最大值为.
18.（1）零假设为：假设依据的独立性检验，认为参数调试与产品质量无关联；
则，
故依据的独立性检验，没有充分证据说明零假设不成立，
因此可认为成立，即认为参数调试与产品质量无关联；
（2）依题意，用分层随机抽样法抽取的8件产品中，
合格产品有件，不合格产品有2件，
而从这8件产品中随机抽取3件，其中的合格品件数的可能值有.
则
.
故的分布列为：
1 2 3
则；
（3）依题意，因随机抽取调试后的产品的合格率为
，故，
则，
由，
故由可解得，
因，故当时，单调递增；
由可解得，即当时，单调递减.
故当事件“”的概率最大时，.
19.（1）设的公差为.
，
解得.
设的公比为，
解得，.
（2），
当为偶时，
当为奇数时，.
（3）
令，
则，
当时，，当时，的最大项为
恒成立，，即实数的取值范围为.
