第23讲 整数指数幂（五大题型）
学习目标
1、知道零指数幂． 2、了解负指数幂． 3、掌握科学计数法． 4、整数指数幂的综合计算.
一、零指数幂
任何不等于零的数的零次幂都等于1，即.
要点：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到.
二、负整数指数幂
任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.
要点：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.
三、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
【即学即练1】的倒数是（ ）
A． B． C．2024 D．－2024
【即学即练2】成立的的值为 ．
【即学即练3】计算：
【即学即练4】计算：（结果不含负整数指数幂）
【即学即练5】计算：
题型1：零指数幂
【典例1】．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．0或
【典例2】．如果 ，那么m 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【典例3】．若，则应满足条件 ．
题型2：负指数幂
【典例4】．将写成只含有正整数指数幂的形式： ．
【典例5】． ．
【典例6】．计算： ．
【典例7】．计算：
【典例8】．计算： ．
【典例9】．计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型3：科学计数法
【典例10】．用科学记数法变式下列各数：
(1)；
(2)；
(3)．
【典例11】．用科学记数法表示为 ．
【典例12】．某种花粉颗粒的直径约为25μm(1μm=10-6m)，将这样的花粉颗粒紧密排成长为1cm的一列，大约需要 颗．
【典例13】．用科学记数法表示： ； ；
【典例14】．世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有米的晶体管，该数用科学记数法表示为 米．
【典例15】．四舍五入法对0．0078451取近似数，要求保留3个有效数字，用科学记数法表示为 ．
题型4：还原科学计数法表示的小数
【典例16】．用小数表示 ．
【典例17】．很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（ ）
A． B．0.000006 C． D．0.00006
【典例18】．某种计算机完成一次基本运算的时间用科学记数法可以表示为1.2×10﹣9s，则此数所对应的原数为 s．
题型5：整数指数幂的综合计算
【典例19】．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是 ．
【典例20】．．
【典例21】．．
【典例22】．化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂．
(1)
(2)．
【典例23】．计算：
【典例24】．已知：，求的值．
【典例25】．已知a是大于1的实数，且有，成立．
(1)若，求的值；
(2)当（，且n是整数）时，比较p与的大小，并说明理由．
一、单选题
1．叶绿体最早发现于衣藻叶绿体内，其长度约为，则数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．计算：＝（ ）
A． B．6 C． D．
3．若成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ，把 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
5．计算：（ ）
A． B． C． D．
6．若则等于（ ）
A． B． C． D．
7．已知，下列关于a的叙述中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
（4）．
20．计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式：
（1）； （2）； （3）．
21．
22．
23．计算：（结果不含负整数指数幂）：
24．计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
25．已知，求整数x的值．
小红与小明交流如下：
小红：因为，
所以且，所以．
小明：因为，所以，所以，
你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值．
26．已知a是大于1的实数，且有，成立．
(1)若，求的值；
(2)当（，且n是整数）时，比较p与的大小，并说明理由．
27．(1)你发现了吗？，，由上述计算，我们发现；
(2)请你通过计算，判断与之间的关系；
(3)我们可以发现：____
(4)利用以上的发现计算：.
()
第23讲 整数指数幂（五大题型）
学习目标
1、知道零指数幂． 2、了解负指数幂． 3、掌握科学计数法． 4、整数指数幂的综合计算.
一、零指数幂
任何不等于零的数的零次幂都等于1，即.
要点：同底数幂的除法法则可以推广到整数指数幂.即（，、为整数）当时，得到.
二、负整数指数幂
任何不等于零的数的（为正整数）次幂，等于这个数的次幂的倒数，即（≠0，是正整数）.
引进了零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的幂的运算性质仍然成立.
要点：是的倒数，可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数式.例如（），（）.
三、科学记数法的一般形式
（1）把一个绝对值大于10的数表示成的形式，其中是正整数，
（2）利用10的负整数次幂表示一些绝对值较小的数，即的形式，其中是正整数，.
用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法.
【即学即练1】的倒数是（ ）
A． B． C．2024 D．－2024
【答案】A
【分析】本题主要考查了负整数指数幂和求一个数的倒数，根据负指数的运算规则运算求出的结果，再根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．
【解析】解：=，
∴的倒数是2024，
故选：C．
【即学即练2】成立的的值为 ．
【答案】或或
【分析】本题考查的是零指数幂、有理数的乘方，掌握1的任何次幂都等于1、1的偶数次幂都等于1、任何不等于零的数的零次幂都等于1是解题的关键．根据零指数幂的运算法则、有理数的乘方法则计算即可．
【解析】解： 当为实数，，
当时，即，，
，符合题意，
当为整数，且时，，
当时，即时，，
，符合题意，
当时，，
当时，即，
，符合题意，
综上所述，满足题意的的值为或或．
故答案为：或或．
【即学即练3】计算：
【答案】
【分析】本题考查了零指数幂与负整数指数幂，熟练掌握零指数幂与负整数指数幂的法则是解题关键．根据零指数幂与负整数指数幂法则计算即可得．
【解析】解：，
故答案为：．
【即学即练4】计算：（结果不含负整数指数幂）
【答案】
【分析】先计算负整数指数幂，再通分计算括号里面的，再将除法转化为乘法，约分化简即可.
【解析】原式====．
【点睛】此题考查了负整数指数幂的运算，注意在计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算．
【即学即练5】计算：．
【答案】
【分析】分式的分子、分母同乘以，然后根据同底数幂的乘法法则进行计算．
【解析】解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的化简，负整数指数幂，同底数幂的乘法，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．
题型1：零指数幂
【典例1】．若，则的值是（ ）
A． B． C． D．0或
【答案】D
【分析】此题考查了零指数幂，有理数的乘方，根据题意分3种情况讨论，然后分别求解即可．
【解析】∵
∴①当时，
∴，符合题意；
②当，
∴，不符合题意；
③当时
∴，符合题意；
综上所述，的值是0或．
故选：D．
【典例2】．如果 ，那么m 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了零指数幂，直接利用零指数幂：，即可得出答案．
【解析】解：由任何非零数的零次幂为1，得 ，即 ．
故选：D．
【典例3】．若，则应满足条件 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了零指数幂，直接利用零指数幂的底数不为零得出答案．
【解析】解：，
则m应满足条件是：，
解得：．
故答案为：．
题型2：负指数幂
【典例4】．将写成只含有正整数指数幂的形式： ．
【答案】
【分析】本题考查了负整数指数幂的运算，任何不等于0的数的（p是正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即（，p是正整数），据此求解即可．
【解析】解：
故答案为：．
【典例5】． ．
【答案】
【分析】本题考查了零指数次幂及负整数指数次幂的运算，根据实数的零指数次幂及负整数指数次幂进行计算即可．
【解析】解：原式，
故答案为：．
【典例6】．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查零指数幂和负整数指数幂，根据相应法则，进行计算即可．
【解析】解：原式；
故答案为：．
【典例7】．计算：
【答案】
【分析】本题考查了负指数幂的运算规则，即一个数的负指数幂等于这个数的正指数幂的倒数．熟练掌握负指数幂的运算规则是解题的关键．
根据负指数幂的运算规则即可求解．
【解析】解：．
故答案为：．
【典例8】．计算： ．
【答案】5
【分析】本题考查了负整数指数幂以及零次幂的运算，先化简负整数指数幂以及零次幂，再运算加法，即可作答．
【解析】解：，
故答案为：5．
【典例9】．计算下列各式，并且把结果化为只含有正整数指数的形式．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）先算积的乘方，再根据负整数指数幂，分式的乘法法则进行计算，即可得到答案；
（2）先算积的乘方，再根据单项式乘以单项式，负整数指数幂，分式的乘法法则进行计算，即可得到答案；
（3）根据单项式除以单项式的运算法则进行计算，即可得到答案；
（4）先算积的乘方，再根据单项式乘以单项式，负整数指数幂，分式的乘法法则进行计算，即可得到答案．
【解析】（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
．
【点睛】本题考查了负整数指数幂，积的乘方，单项式乘以单项式，单项式除以单项式，分式的乘法运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解题的关键．
题型3：科学计数法
【典例10】．用科学记数法变式下列各数：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了用科学记数法表示绝对值小于1的数．熟练掌握绝对值小于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为第一个不为0的数的前面0的个数是解题的关键．
根据用科学记数法表示绝对值小于1的数，进行作答即可．
【解析】（1）解：由题意知，；
（2）解：由题意知，；
（3）解：由题意知，．
【典例11】．用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【解析】解：．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【典例12】．某种花粉颗粒的直径约为25μm(1μm=10-6m)，将这样的花粉颗粒紧密排成长为1cm的一列，大约需要 颗．
【答案】
【分析】用1cm除以25μm即可得到答案．
【解析】解：，
∴大约需要400颗，
故答案为：400．
【点睛】本题主要考查了整数指数幂的计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【典例13】．用科学记数法表示： ； ；
【答案】 ；
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解析】解：；
故答案为：；．
【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
【典例14】．世界科技不断发展，人们制造出的晶体管长度越来越短，某公司研发出长度只有米的晶体管，该数用科学记数法表示为 米．
【答案】
【分析】绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【解析】解：．
故答案为
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
【典例15】．四舍五入法对0．0078451取近似数，要求保留3个有效数字，用科学记数法表示为 ．
【答案】
【分析】先将原数保留3个有效数字，然后用科学记数法表示即可．
【解析】解：根据题意，得
故答案为：．
【点睛】此题考查的是取近似数和科学记数法，掌握有效数字的定义和科学记数法的定义是解决此题的关键．
题型4：还原科学计数法表示的小数
【典例16】．用小数表示 ．
【答案】0.00000357
【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可．
【解析】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【典例17】．很多小朋友都爱玩吹泡泡的游戏，科学家测得某个泡泡的厚度约为米，则用小数表示为（ ）
A． B．0.000006 C． D．0.00006
【答案】C
【分析】本题主要考查了科学记数法—原数，科学记数法—表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此解答即可
【解析】解：用小数表示为0.000006．
故选：B．
【典例18】．某种计算机完成一次基本运算的时间用科学记数法可以表示为1.2×10﹣9s，则此数所对应的原数为 s．
【答案】0.000 000 0012
【分析】根据科学记数法表示原数；指数是负几小数点向左移动几位，可得答案．
【解析】解：∵1.2×10﹣90.000 000 0012．
∴此数所对应的原数为0.000 000 0012．
故答案为：0.000 000 0012．
【点睛】本题考查了科学记数法，指数是负几小数点向左移动几位，确定0的个数是解题关键．
题型5：整数指数幂的综合计算
【典例19】．化简（x﹣1﹣1）﹣1的结果是 ．
【答案】且
【分析】根据a﹣p（a≠0，p为正整数）先计算x﹣1，再计算括号里面的减法，然后再次计算（）﹣1即可．
【解析】解：原式＝（1）﹣1
＝（）﹣1
．
故答案为：且．
【点睛】此题主要考查了负整数指数幂，关键是掌握负整数指数为正整数指数的倒数．
【典例20】．．
【答案】
【分析】根据立方，负指数指幂，零的指数幂，幂的乘方，同底数幂的乘法依次化简后，先算小括号里，再算中括号里，最后进行加减运算即可．
【解析】解：原式：，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题考查了立方，负指数指幂，零的指数幂，幂的乘方，同底数幂的乘法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
【典例21】．．
【答案】
【分析】本题考查了负整数指数幂，异分母加减法的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键．
先将负整数指数幂转化成正整数指数幂，再将分式通分，约分单项式乘以多项式即可．
【解析】解：原式：，
，
，
，
，
．
【典例22】．化简下列各式，使结果只含有正整数指数幂．
(1)
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查负整数指数幂，解题的关键是明确幂的乘方、同底数幂的乘法和除法．
（1）根据幂的乘方和同底数幂的乘法、负整数指数幂进行计算即可；
（2）根据幂的乘方和同底数幂的除法、负整数指数幂进行计算即可．
【解析】（1）解：
；
（2）解：
．
【典例23】．计算：
【答案】0
【分析】先计算负整数指数幂，然后根据分式的混合计算法则求解即可．
【解析】解：原式
．
【点睛】本题主要考查了分式的混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键．
【典例24】．已知：，求的值．
【答案】7
【分析】利用负整数指数幂将原式变形为，运用完全平方公式两边平方，化简即可求值．
【解析】解：
即：
【点睛】本题主要考查负整数指数幂、完全平方公式及整体代入法；掌握负整数指数幂、熟练运用公式是解题的关键．
【典例25】．已知a是大于1的实数，且有，成立．
(1)若，求的值；
(2)当（，且n是整数）时，比较p与的大小，并说明理由．
【答案】(1)1；
(2)当时，；当时，；当时，，见解析．
【分析】（1）根据已知条件可得，代入可求的值；
（2）根据作差法得到，分三种情况：当时；当时；当时进行讨论即可求解．
【解析】（1）解：（1）∵①，②，
∴得，，
∴；
得，．
（2）∵（，且n是整数），
∴，
∴，
又由（1）中得，，
得，，
∴，
，
∴，
∴③，
④，
∴得，
∴，
∴，
当时，即；
当时，即；
当时，即．
【点睛】本题考查了负整数指数幂：（，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．
一、单选题
1．叶绿体最早发现于衣藻叶绿体内，其长度约为，则数用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】解：用科学记数法表示为，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2．计算：＝（ ）
A． B．6 C． D．
【答案】C
【分析】根据负整数指数幂的运算法则进行运算即可．
【解析】解：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂的运算，解题的关键是熟练掌握负指数幂运算法则．
3．若成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据解题即可．
【解析】解：∵0没有0次幂，
∴，即，
【点睛】本题主要考查0次幂的定义，注意到0没有0次幂是解题关键．
4．一次抽奖活动特等奖的中奖率为 ，把 用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解析】解：
故选 D．
5．计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据负指数幂的运算法则即可求解．
【解析】原式．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知负指数幂的运算法则．
6．若则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意根据负整数指数幂及幂的乘方法则进行计算即可．
【解析】解：∵=52，
∴（10a）2=52，
∴10a=5，
∴10-a=5-1=．
故选：A．
【点睛】本题考查幂的运算，注意进行幂的负整数指数运算时，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．
7．已知，下列关于a的叙述中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查科学记数法表示较小的数．将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解析】解：已知，
则，
故选：B．
8．若，则（ ）．
A． B． C．或 D．
【答案】D
【分析】先根据负指数幂的性质计算出的值,然后根据幂的乘方的逆用即可求出结论．
【解析】解:∵
∴
解得:
∴
故选:D．
【点睛】此题考查的是幂的运算,掌握负指数幂的性质和幂的乘方的逆用是解决此题的关键．
9．如果，那么x的值为（ ）
A． B．5 C．6 D．7
【答案】D
【分析】根据同底数幂的乘法性质:同底数幂相乘,底数不变,指数相加,直接计算即可.
【解析】根据已知得，
解得
故答案为D.
【点睛】此题主要考查同底数幂的乘法性质，熟练掌握，即可解题.
10．若，，，，则、、、大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质分别化简得出答案．
【解析】解：，，，，
∴．
故选：D．
二、填空题
11．填空
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ．
【答案】 1 1 1
【分析】分别根据零次幂及负指数幂可直接进行求解．
【解析】解：（1），；
（2），；
（3），；
故答案为1，，1，，1，．
【点睛】本题主要考查零次幂及负指数幂，熟练掌握零次幂及负指数幂的运算法则是解题的关键．
12． ， ， ．
【答案】 3 4
【分析】根据负整数指数幂、零指数幂、绝对值的运算法则计算即可．
【解析】解：2+1=3；
-1+1+=；
2-1+3=4．
故答案为：3；；4．
【点睛】本题考查了实数的运算，掌握负整数指数幂、零指数幂的运算法则是解题的关键．
13． ， ， ．（结果化成只含有正整数指数幂形式）
【答案】
【分析】首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后利用同底数的幂的乘法法则计算，最后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可．
【解析】解：，
，
，
故答案为：；；．
【点睛】本题考查积的乘方法则、幂的乘方法则，负整数指数幂以及同底数幂的乘法法则等多个运算性质，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
14．（1）纳米是表示微小距离的单位，1米纳米，已知某种植物花粉的直径为35000纳米，用科学记数法表示成 m．
（2）“神威一号”计算机运算速度为每秒384000000000次，其运算速度用科学记数法表示，为 次/秒．
【答案】
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．
【解析】解：（1）∵1米＝109纳米，
∴1纳米＝10﹣9米，
∴35 000纳米＝0.000 035米＝3.5×10﹣5米；
（2）384000000000＝3.84×1011．
故答案为：3.5×10﹣5；3.84×1011．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
15．若，且，则的值为 ．
【答案】/0.25
【分析】根据绝对值的意义得出，根据，得出，求出a的值，即可得出答案．
【解析】解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，零指数幂有意义的条件，根据题意求出，是解题的关键．
16．把各式化为不含负指数幂的形式： ； ； ；
【答案】 ； ； ；
【分析】将各个题中的负整数指数幂转化为含分母形式，再约分计算即可．
【解析】解：；
；
；
；
故答案为：；；；．
【点睛】本题考查了负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
17．已知：，则的值为 ．
【答案】400
【分析】根据幂的运算法则把已知条件变形，再根据幂的逆运算即可求解．
【解析】，
，
．
故答案为：400．
【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的根据是熟知负指数幂的运算法则．
18．已知x-m=2，yn=3，则(x-2my-n)-4= .
【答案】
【解析】解：(x-2my-n)-4= .
【点睛】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算及负整数指数幂的性质，将原式正确的变形是解题关键．
三、解答题
19．计算
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【分析】（1）根据单项式乘单项式及负指数幂可进行求解；
（2）根据单项式除单项式及负指数幂可进行求解；
（3）根据积的乘方及负指数幂可进行求解；
（4）根据积的乘方、单项式乘单项式及负指数幂可进行求解．
【解析】解：（1）原式=；
（2）原式=；
（3）原式=；
（4）原式=．
【点睛】本题主要考查负指数幂的运算，熟练掌握负指数幂的运算是解题的关键．
20．计算下列各式，并把结果化成只含有正整数指数幂的形式：
（1）； （2）； （3）．
【答案】（1）；（2）；（3）
【分析】（1）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后利用同底数的幂的乘法法则计算，最后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；
（2）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可；
（3）首先利用积的乘方以及幂的乘方法则计算，然后利用同底数的幂的乘法法则计算，最后根据负指数次幂的意义化成正指数次幂即可．
【解析】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3）原式
．
【点睛】本题考查积的乘方法则、幂的乘方法则，负整数指数幂以及同底数幂的乘法法则等多个运算性质，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．
21．
【答案】
【分析】利用平方差公式先分解再计算即可．
【解析】解：原式
【点睛】本题考查负指数幂和分式的运算，熟练掌握负指数幂的计算法则是解题的关键．
22．
【答案】
【分析】先将负整数指数幂转为含分母形式，计算零次幂，再计算分式的乘除，最后计算加减即可．
【解析】解：原式
．
【点睛】本题考查了分式的乘除、负整数指数幂、零次幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．
23．计算：（结果不含负整数指数幂）：
【答案】
【分析】本题主要考查了含负整数指数幂的分式混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．
【解析】解：
．
24．计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）；（2）；（3）1；（4）
【分析】（1）先计算积的乘方，然后再按整数指数幂运算法则计算即可；
（2）先计算分子的乘法，然后再按整数指数幂运算法则计算即可；
（3）先用平方差公式把化为，然后再按整数指数幂运算法则计算即可；
（4）先化简各式，再按整数指数幂运算法则计算即可.
【解析】解：原式=
=
=；
（2）原式=
=；
（3）原式=
=
=
=1；
（4）原式=
=.
【点睛】本题是对整数指数幂及其运算的考查，熟练掌握分式化简，整数指数幂及其运算法则是解决本题的关键.
25．已知，求整数x的值．
小红与小明交流如下：
小红：因为，
所以且，所以．
小明：因为，所以，所以，
你认为小红与小明同学的解答完整吗？若不完整，请求出其他所有的整数x的值．
【答案】解答不完整，的值可以为：，，．
【分析】此题主要考查了零指数幂的性质，绝对值的意义，有理数的乘方运算等知识，直接利用零指数幂的性质以及有理数的乘方运算运算法则分别化简求出答案，正确把握运算法则是解题关键．
【解析】解：解答不完整，
因为，
∴③，
④，
∴得，
∴，
∴，
当时，即；
当时，即；
当时，即．
【点睛】本题考查了负整数指数幂：（，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．
27．(1)你发现了吗？，，由上述计算，我们发现；
(2)请你通过计算，判断与之间的关系；
(3)我们可以发现：____
(4)利用以上的发现计算：.
【答案】（1）=；（2）=；（3）=；（4）.
【分析】（1）类比题干中乘方的运算即可得；
（2）类比题干中分数的乘方计算方法计算后即可得；
（3）根据（1）、（2）的规律即可得；
（4）逆用积的乘方将原式变形为=，再利用同底数幂进行计算可得．
【解析】（1）我们发现 =
（2）计算得，
∴
（3）我们可以发现： = （）.
（4）利用以上的发现计算：=
()
