第28讲 旋转（十大题型）
学习目标
1、知道图形旋转的概念． 2、继续深化几何中的对应关系． 3、了解旋转的性质；画旋转图形．
一、图形的旋转
在日常生活中，我们会遇到图形的转动.如图14-2-1,电扇的叶片从位置A绕点O按顺时针方向转动150°,转动到位置B;铣床的铣刀从位置C绕点O按顺时针方向转动40°,转动到位置D.
从上述例子可以看到，电扇叶片的转动、铣床铣刀的转动，虽然转动的角度各不相同，但它们有两个共同的特点：(1)图形都围绕着一个定点作转动；(2)都有一个转动的角度.由此可以得到图形旋转的定义.
在平面上，将一个图形上的所有点绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，这个定点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.
二、图形的旋转的性质
“某个方向”是指“顺时针方向”或者“逆时针方向”图形的旋转具有下列特点：旋转前的图形与旋转后的图形形状相同，大小相等.
例如，在图14-2-2中，三角形ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度成为三角形A B C ,点O是旋转中心，∠AOA 是旋转角.在三角形ABC的旋转中，点A与点A 是对应点；线段AB与线段A B 是对应线段，它们的长度相等；∠BAC与∠B A C 是对应角，这两个角的大小也相等.
【即学即练1】将图中所示的图案以圆心为中心，旋转后得到的图案是（ ）
A．B．C．D．
【即学即练2】如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（ ）
A． B． C． D．
【即学即练3】如图，四边形经过旋转后与四边形重合．
（1）指出这一旋转的旋转中心和旋转角；
（2）写出图中相等的线段和相等的角．
【即学即练4】以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ）
A． B． C． D．
题型1：判断生活中的旋转现象
【典例1】．下列选项中，属于旋转的是（ ）
A．电梯升降的过程 B．火箭升空的过程
C．雨滴下落的过程 D．幸运大转盘转动的过程
【典例2】．下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
题型2：判断一个图形旋转而成的图案
【典例3】．如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
【典例4】．观察如图所示的图案，它可以看做图案的 通过_____（方式）得到的（ ）
A．三分之一，平移 B．四分之一，平移
C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转
【典例5】．下列右边的四个图形中，不能由图形在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
题型3：找旋转中心、旋转角、对应点、线段、角
【典例6】．如图所示，顺时针旋转至的位置，此时：
（1）点的对应点是 ；
（2）旋转中心是 ，旋转角为 ；
（3）的对应角是 ，线段的对应线段是 ．
【典例7】．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度.
【典例8】．如图所示，已知正方形中的可以经过旋转得到．
(1)图中哪一个点是旋转中心？
(2)按什么方向旋转；旋转角度是多少？
(3)如果．求的长？
题型4：根据旋转的性质求解
【典例9】．如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为( )
A． B． C． D．
【典例10】．是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（ ）
A．旋转中心是点C B．
C． D．点D是中点
【典例11】．如图，将绕点逆时针旋转得到，则的大小为 ．
【典例12】．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【典例13】．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【典例14】．如图，绕点C旋转至，点D在上，，则旋转角为（ ）
A． B． C． D．
【典例15】．如图，三角形绕点逆时针旋转得到三角形，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型5：旋转的性质及辨析
【典例16】．在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【典例17】．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点
题型6：画旋转图形
【典例18】．在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
(1)以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的 ；
(2)在（1）的基础上， 求线段和线段夹角的度数．
【典例19】．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，三角形ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)将三角形ABC向右平移5个单位长度得到三角形，画出三角形（点，，分别为点A，B，C的对应点）
(2)将三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，得到三角形，画出三角形（点，分别为点A，B的对应点）．
【典例20】．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），
(1)在图1中，图①经过一次 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；
(2)在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点 （填“A”或“B”或“C”）；
(3)在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．
题型7：旋转对称图形的识别
【典例21】．如所示的四个交通标志图中，为旋转对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【典例22】．下列图形中，是旋转对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型8：求旋转对称图形的旋转角度
【典例23】．一个正方形绕其中心旋转一定角度后与自身重合，旋转角度至少为（ ）
A． B． C． D．
【典例24】．如图，雪花图案是一个旋转图形，可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【典例25】．把图中的风车图案绕着中心顺时针旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（ ）
A． B． C． D．
题型9：求旋转中心的个数
【典例26】．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【典例27】．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
【典例28】．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型10：旋转的几何应用（压轴题）
【典例29】．已知，中：
(1)如果将绕点顺时针旋转得到，点分别与点对应，请画出图形．（不要求写作图步骤）
(2)连接与相交于点．如果，点是线段的中点，且，若，试用含有的代数式来表示的面积．
【典例30】．如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．
(1)按照题目要求画出图形；
(2)若正方形边长为3，，求的面积；
(3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由．
一、单选题
1．下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．运动员掷出的标枪
2．将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（ ）
A．B．C．D．
3．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点
4．如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．如下图，将小旗绕点O逆时针旋转，像这样操作3次，得到的图形是（ ）．
A． B． C．
6．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是( )
A．时针不动，分针旋转了6°
B．时针不动，分针旋转了30°
C．时针和分针都没有旋转
D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小
7．如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（ ）
A．点， B．点O，
C．点， D．点O，
9．如图，一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到的位置，使得、、三点在同一条直线上，则三角板旋转的角度是（ ）
A． B． C． D．
10．将数字“6”旋转，得到数字“9”；将数字“9”旋转，得到的数字是“6”，现将数字“69”旋转，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
11．在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使图上所有方格自动消失（ ）
A．顺时针旋转，向下平移 B．顺时针旋转，向右平移
C．逆时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向右平移
12．如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点 C．点 D．点
二、填空题
13．如图，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，得，若，则 ．
14．如图，中，，将绕着点顺时针旋转到，且点B、点B、点在同一直线上，则旋转角是 ．
15．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星绕中心至少旋转 度能和自身重合．
16．如图，将三角尺（其中）绕点B按顺时针方向转动一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，那么旋转角 ．
17．如图，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，若，则 度．
18．如图，绕点顺时针旋转后与重合．若，则 ．
(1)如图①，画出将绕点O逆时针旋转后的；
(2)如图②，画出将绕点O旋转后的．
24．（1）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为．将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出；
（2）在网格中画出绕点顺时针旋转之后得到的；
（3）求的面积．
25．如图，将经旋转后到达的位置．问：
(1)旋转中心是哪一点？
(2)如果M是边的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
26．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数．
(2)求出的度数和的长．
27．如图，已知长方形，，，E是的中点，连接；将绕点旋转（其中分别与对应）使得落在直线BC上，得．
(1)画出满足条件的；
(2)
(3)连接，求的面积
28．如图，在长方形中，连接，已知边，（）
(1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论；
(2)用含a、b的代数式表示三角形的面积；
(3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长．
第28讲 旋转（十大题型）
学习目标
1、知道图形旋转的概念． 2、继续深化几何中的对应关系． 3、了解旋转的性质；画旋转图形．
一、图形的旋转
在日常生活中，我们会遇到图形的转动.如图14-2-1,电扇的叶片从位置A绕点O按顺时针方向转动150°,转动到位置B;铣床的铣刀从位置C绕点O按顺时针方向转动40°,转动到位置D.
从上述例子可以看到，电扇叶片的转动、铣床铣刀的转动，虽然转动的角度各不相同，但它们有两个共同的特点：(1)图形都围绕着一个定点作转动；(2)都有一个转动的角度.由此可以得到图形旋转的定义.
在平面上，将一个图形上的所有点绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，这个定点叫作旋转中心，转动的角叫作旋转角.
二、图形的旋转的性质
“某个方向”是指“顺时针方向”或者“逆时针方向”图形的旋转具有下列特点：旋转前的图形与旋转后的图形形状相同，大小相等.
例如，在图14-2-2中，三角形ABC绕点O按顺时针方向旋转一个角度成为三角形A B C ,点O是旋转中心，∠AOA 是旋转角.在三角形ABC的旋转中，点A与点A 是对应点；线段AB与线段A B 是对应线段，它们的长度相等；∠BAC与∠B A C 是对应角，这两个角的大小也相等.
【即学即练1】将图中所示的图案以圆心为中心，旋转后得到的图案是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查图形的旋转，根据旋转的性质，进行判断即可．
【解析】解：由题意，将图中所示的图案以圆心为中心，旋转后得到：
【即学即练2】如图，把绕点O顺时针旋转得到，则旋转角是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查旋转变换，旋转角等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．根据旋旋转角的定义即可判断；
【解析】解：如图，把绕点顺时针旋转得到，
旋转角是或，
故选：A．
【即学即练3】如图，四边形经过旋转后与四边形重合．
（1）指出这一旋转的旋转中心和旋转角；
（2）写出图中相等的线段和相等的角．
【答案】（1）旋转中心是点A，旋转角是或或；（2）见解析
【分析】（1）直接根据旋转的定义和旋转角的定义判定即可；
（2）利用旋转前后的图形对应边相等、对应角相等，以及对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即可得出结论．
【解析】（1）旋转中心是点A，旋转角是或或；
（2）相等的线段：
，，，；
相等的角：
，，，，，．
【点睛】本题考查了旋转的概念与性质，解决本题的关键是正确理解旋转的概念与性质，能正确找出对应边与对应角等．
【即学即练4】以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出各旋转对称图形的最小旋转角度，再比较即可．
【解析】解：A选项：最小旋转角度；
B选项：最小旋转角度；
C选项：最小旋转角度；
D选项：最小旋转角度；
综上可得：旋转的角度最小的是D．
故选：A．
【点睛】本题考查了旋转对称图形中旋转角度的确定，求各图形的最小旋转角度时，关键要看各图形可以被平分成几部分，被平分成n部分，旋转的最小角度就是．
题型1：判断生活中的旋转现象
【典例1】．下列选项中，属于旋转的是（ ）
A．电梯升降的过程 B．火箭升空的过程
C．雨滴下落的过程 D．幸运大转盘转动的过程
【答案】D
【解析】略
【典例2】．下列现象属于旋转的是（ ）
A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．飞机起飞后冲向空中的过程
C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，平移的概念结合实际情况即可求解．
【解析】解：、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误；
、飞机起飞后冲向空中的过程是平移，故此选项错误；
、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确；
、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误；
故选：．
【点睛】本题主要考查旋转，平移的识别，掌握旋转的性质，即旋转前后图形的大小不变，平移的概念等知识是解题的关键．
题型2：判断一个图形旋转而成的图案
【典例3】．如图，下列选项中是由该图经过旋转变换得到的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】略
【典例4】．观察如图所示的图案，它可以看做图案的 通过_____（方式）得到的（ ）
A．三分之一，平移 B．四分之一，平移
C．三分之一，旋转 D．四分之一，旋转
【答案】D
【分析】本题主要考查了图形的旋转和平移，在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度得到另一个图形的变化叫做旋转，在同一平面内，将一个 图形 上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．
【解析】解：观察图形可知，它可以看做图案的四分之一通过每次旋转90度得到的，
故选：D.
【典例5】．下列右边的四个图形中，不能由图形在同一平面内经过旋转得到的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】A
【分析】本题考查了生活中的旋转现象，解题的关键是掌握把一个图形绕着某一点转动一个角度的图形变换．
【解析】解：①由顺时针旋转得到，故①正确；
②由逆时针旋转得到，故②正确
③由无法旋转得到，故③错误；
④由顺时针旋转得到，故④正确．
故选：C．
题型3：找旋转中心、旋转角、对应点、线段、角
【典例6】．如图所示，顺时针旋转至的位置，此时：
（1）点的对应点是 ；
（2）旋转中心是 ，旋转角为 ；
（3）的对应角是 ，线段的对应线段是 ．
【答案】 点 点 或
【分析】根据旋转的性质求解即可．
【解析】（1）点的对应点是点；
（2）旋转中心是点，旋转角为或；
（3）的对应角是，线段的对应线段是线段．
故答案为：点；点；或；；．
【点睛】此题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
【典例7】．如图，三角形乙是三角形甲经过旋转变换得到的，则其旋转中心是点 ，逆时针方向旋转了 度.
【答案】 N 90
【分析】根据对应点到旋转中心的距离相等可确定旋转中心，对应点与旋转中心的连线所形成的角为旋转角进行解答即可．
【解析】解：如图，连接N与两个三角形的对应点，发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且对应点与N的连线所成的角是直角，故旋转中心是点N，逆时针方向旋转了90°，
故答案为：N，90．
【点睛】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答的关键．
【典例8】．如图所示，已知正方形中的可以经过旋转得到．
(1)图中哪一个点是旋转中心？
(2)按什么方向旋转；旋转角度是多少？
(3)如果．求的长？
【答案】(1)旋转中心为C点
(2)逆时针；旋转角度为
(3)
【分析】本题考查找旋转中心，旋转方向和旋转角，旋转的性质：
（1）根据图形确定旋转中心即可；
（2）根据图形确定旋转方向和旋转角度即可；
（3）根据旋转的性质，进行求解即可．
【解析】（1）解：由图可知：旋转中心为C点；
（2）解：由图可知：绕点C点逆时针旋转，可以得到；
∴旋转方向为：逆时针，旋转角度为；
（3）解：∵旋转，
∴．
题型4：根据旋转的性质求解
【典例9】．如图，是由绕A点旋转得到的，若，，则旋转角的度数为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题主要考查了旋转的性质，根据题意得出是旋转角，即可求解．
【解析】是由绕点旋转得到的，
是旋转角，
，，
旋转角的度数为．
故选：A．
【典例10】．是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，则下列判断错误的是（ ）
A．旋转中心是点C B．
C． D．点D是中点
【答案】D
【分析】此题主要考查了旋转的性质．根据旋转的性质即可求解．
【解析】解：∵是由绕点C旋转得到的，且点D落在边上，
∴旋转中心是点C，，，点D不一定的中点，
∴A、B、C结论正确．
故选：D．
【典例11】．如图，将绕点逆时针旋转得到，则的大小为 ．
【答案】50°/50度
【分析】根据旋转的性质可得出∠B'CB=50°，此题得解．
【解析】解：根据等于旋转角的大小，
∴．
故答案为：50°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，牢记对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角是解题的关键．
【典例12】．如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据旋转的性质可得，即可求解．
【解析】解：根据旋转的性质可得
∴
故答案为B．
【点睛】此题考查了旋转的有关性质，熟练掌握旋转的有关性质是解题的关键．
【典例13】．如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则其旋转中心可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】本题考查了旋转图形的性质，根据旋转图形的性质，可知旋转中心再对应顶点连线的垂直平分线上，则连接，，分别作出，的垂直平分线，垂直平分线的交点即为所求，熟练掌握旋转图形的性质是解此题的关键．
【解析】解：如图，连接，，分别作出，的垂直平分线，
，，的垂直平分线的交点为，
旋转中心是点，
故选：B．
【典例14】．如图，绕点C旋转至，点D在上，，则旋转角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了旋转的性质，求旋转角，先根据旋转前后对应角相等得到，再由旋转角是对应点与旋转中心连线组成的夹角进行求解即可．
【解析】解；∵绕点C旋转至，点D在上，，
∴，
∴旋转角为，
【典例15】．如图，三角形绕点逆时针旋转得到三角形，已知，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质可得，进而根据，解答即可
【解析】解：∵三角形绕点逆时针旋转得到三角形，
∴
∵
∴
故选：B．
题型5：旋转的性质及辨析
【典例16】．在图形的旋转过程中，下面有四种说法：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后图形的对应线段相等；④旋转前、后图形的位置一定会改变．上述四种说法正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据旋转的性质即可得到结论．
【解析】解：①对应点到旋转中心的距离相等，故本说法符合题意；
②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，故本说法符合题意；
③旋转前、后图形的对应线段相等，故本说法符合题意；
④旋转前、后图形的位置不一定会改变，也可能重合，故本说法不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【典例17】．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点
【答案】C
【分析】根据旋转的性质对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可 D进行判断．
【解析】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项不符合题意；
B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项符合题意；
C、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C选项不符合题意；
D、图形上可能存在不动的点，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
题型6：画旋转图形
【典例18】．在的方格纸中，的三个顶点都在格点上．
(1)以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转，画出旋转后的 ；
(2)在（1）的基础上， 求线段和线段夹角的度数．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了画旋转图形，旋转的性质：
（1）根据网格的特点和旋转方式找到A、B对应点的位置，再顺次连接即可；
（2）由旋转的性质可得，据此可得答案．
【解析】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：∵以点C为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，
∴，
∴线段和线段夹角的度数为．
【典例19】．如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，三角形ABC的顶点均在格点（网格线的交点）上．
(1)将三角形ABC向右平移5个单位长度得到三角形，画出三角形（点，，分别为点A，B，C的对应点）
(2)将三角形ABC绕点C逆时针旋转90°，得到三角形，画出三角形（点，分别为点A，B的对应点）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据旋转的性质作图即可．
【解析】（1）解：如图：
（2）解：如图：
【点睛】本题考查作图——平移变换、旋转变换，熟练掌握平移和旋转的性质是解答本题的关键．
【典例20】．在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，图①、图②、图③均为顶点都在格点上的三角形（每个小方格的顶点叫格点），
(1)在图1中，图①经过一次 变换（填“平移”或“旋转”或“轴对称”）可以得到图②；
(2)在图1中，图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点 （填“A”或“B”或“C”）；
(3)在图2中画出图①绕点A顺时针旋转90°后的图④．
【答案】(1)平移
(2)A
(3)见解析
【分析】本题考查了网格中平移、旋转及旋转作图，作图时，抓住网格的特点，根据旋转的性质，先确定对应点，就能顺利作出图形，解题时要注意是顺时针还是逆时针方向．平移是沿直线移动一定距离得到新图形，旋转是绕某个点旋转一定角度得到新图形，观察时要紧扣图形变换特点，认真判断．
（1）根据平移的定义可知图①向右上平移可以得到图②；
（2）将图形②绕着点A旋转后能与图形③重合，可知旋转中心；
（3）以A为旋转中心，顺时针旋转90°得到关键顶点的对应点连接即可．
【解析】（1）图①经过一次平移变换可以得到图②，
故答案为：平移；
（2）图③是可以由图②经过一次旋转变换得到的，其旋转中心是点A，
故答案为：A；
（3）如图．
题型7：旋转对称图形的识别
【典例21】．如所示的四个交通标志图中，为旋转对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可．
【解析】解：题中所示的四个交通标志图中，只有选项D旋转与原图形重合，
故选：D．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
【典例22】．下列图形中，是旋转对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据旋转对称图形的定义对四个图形进行分析即可．
【解析】解：左边数第一个旋转180°后与初始位置重合，是旋转对称图形；
左边数第二个旋转72°后与初始位置重合，是旋转对称图形；
左边数第三个旋转120°后与初始位置重合，是旋转对称图形；
左边数第四个不是旋转对称图形．
故选：C．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
题型8：求旋转对称图形的旋转角度
【典例23】．一个正方形绕其中心旋转一定角度后与自身重合，旋转角度至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查旋转对称图形的概念；求出正方形的中心角即可得解
【解析】正方形的中心角为，
所以它绕其中心旋转一定角度后，与自身重合，旋转角至少为，
故选：B．
【典例24】．如图，雪花图案是一个旋转图形，可以看成自身的一部分围绕它的中心依次旋转一定角度得到的，这个角的度数可以是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【分析】本题考查了旋转对称图形：如果某一个图形围绕某一点旋转一定的角度后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，常见的旋转对称图形有：线段，正多边形，平行四边形，圆等，根据图形的对称性，用除以6计算即可得解．
【解析】解：
∴旋转角是的整数倍，
∴这个角的度数可以是
故选：．
【典例25】．把图中的风车图案绕着中心顺时针旋转，旋转后的图案与原来的图案重合，旋转角的度数至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．图案可以被平分成四部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转90度的整数倍，就可以与自身重合．
【解析】解：该图形被平分成四部分，旋转90度的整数倍，就可以与自身重合，旋转角至少为．
故选：C．
题型9：求旋转中心的个数
【典例26】．如图，正方形旋转后能与正方形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】A
【分析】本题主要考查了找旋转中心，旋转的性质，旋转前后的两个图形大小形状完全相同，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；
分别以C、D、的中点为旋转中心进行旋转，都能使正方形旋转后能与正方形重合，即可求解．
【解析】以点C为旋转中心，把正方形逆时针旋转，可得到正方形；
以点D为旋转中心，把正方形顺时针旋转，可得到正方形；
以的中点为旋转中心，把正方形旋转，可得到正方形；
所以旋转中心有3个．
故选：C．
【典例27】．如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（ ）
A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C
【答案】D
【解析】试题分析：若以M为旋转中心，把正方形ABCD顺时针旋转90°，A点对应点为H，B点对应点为E，C点对应点为F，D点对应点为G，则可得到正方形EFGH；
若以O为旋转中心，把正方形ABCD旋转180°，A点对应点为G，B点对应点为H，C点对应点为E，D点对应点为F，则可得到正方形EFGH；
若以N为旋转中心，把正方形ABCD逆时针旋转90°，A点对应点为F，B点对应点为G，C点对应点为H，D点对应点为E，则可得到正方形EFGH．
【典例28】．如图，如果将正方形甲旋转到正方形乙的位置，可以作为旋转中心的点有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】根据旋转的性质，即可得出，分别以A,B,C为旋转中心即可从正方形甲旋转到正方形乙的位置．
【解析】解：如图，
绕A点逆时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕C点顺时针旋转90°，可到正方乙的位置；
绕AC的中点B旋转180°，可到正方乙的位置；
故选：C．
【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等；特别注意容易忽略点B．
题型10：旋转的几何应用（压轴题）
【典例29】．已知，中：
(1)如果将绕点顺时针旋转得到，点分别与点对应，请画出图形．（不要求写作图步骤）
(2)连接与相交于点．如果，点是线段的中点，且，若，试用含有的代数式来表示的面积．
【答案】(1)见解析
(2)．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）根据题意求得，，根据，点是线段的中点，得到，，据此即可求解．
【解析】（1）解：如图，即为所作，
（2）解：如图，
∵，且，
∴，
∴，
∵，点是线段的中点，
∴，，
∵是旋转得到的，
∴．
【点睛】本题考查了旋转的性质，三角形的面积公式，掌握旋转的性质是解题的关键．
【典例30】．如图，在正方形中，点E是边上的一点（与A，B两点不重合），将绕着点C旋转，使与重合，这时点E落在点F处，联结．
(1)按照题目要求画出图形；
(2)若正方形边长为3，，求的面积；
(3)若正方形边长为m，，比较与的面积大小，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)4
(3)，理由见解析
【分析】（1）按照题目要求根据旋转的性质即可画出图形；
（2）根据旋转的性质得出，然后求出和，进而可求的面积；
（3）首先求出，然后证明，根据求出，即可比较与的面积大小．
【解析】（1）解：如图所示；
（2）根据旋转的性质可知：，
∵正方形的边长为3，
∴，，
∴；
（3）；
理由：根据旋转的性质可知：，
∵正方形的边长为m，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了作图—旋转变换，旋转的性质，整式混合运算的实际应用，解决本题的关键是掌握旋转的性质，正确求出和．
一、单选题
1．下列运动形式属于旋转的是（ ）
A．荡秋千 B．飞驰的火车 C．传送带移动 D．运动员掷出的标枪
【答案】D
【分析】此题主要考查了旋转的定义，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．
根据旋转的定义得出结论即可．
【解析】由题意知，荡秋千属于旋转，
故选：A．
2．将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了 的旋转现象，直接利用旋转的性质得出对应图形即可，正确掌握旋转方向是解此题的关键．
【解析】
解：将如图图片按顺时针方向旋转后得到的图片是，
故选：D．
3．在图形的旋转中，下列说法不正确的是（ ）
A．旋转前和旋转后的图形一样 B．图形上的每一个点到旋转中心的距离都相等
C．图形上的每一个点旋转的角度都相同 D．图形上可能存在不动的点
【答案】C
【分析】根据旋转的性质对A、B、C进行判断；利用旋转中心为图形上一点的情况可 D进行判断．
【解析】解：A、旋转前和旋转后的图形全等，故A选项不符合题意；
B、在图形上的对应点到旋转中心的距离相等，故B选项符合题意；
C、图形上每一点移动的角度相同，都等于旋转角，故C选项不符合题意；
D、图形上可能存在不动的点，故D选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
4．如图，将三角形绕点逆时针旋转得到三角形，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由旋转的性质得到，，根据角的和差关系进行计算，则可求出答案．本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．
【解析】解：三角形绕点逆时针旋转得到三角形，
，，
∵，
．
故选：A．
5．如下图，将小旗绕点O逆时针旋转，像这样操作3次，得到的图形是（ ）．
A． B． C．
【答案】C
【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质，即可解答．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
【解析】解：如图，将小旗绕点逆时针旋转，像这样操作3次，得到的图形是
故选：B．
6．时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，下列说法正确的是( )
A．时针不动，分针旋转了6°
B．时针不动，分针旋转了30°
C．时针和分针都没有旋转
D．分针旋转了3°，时针旋转的角度很小
【答案】D
【分析】根据时钟钟面上秒针绕中心旋转了180°，经过30秒，分针旋转的角度可以计算得出，时针旋转的角度很小．
【解析】时钟钟面上的秒针绕中心旋转180°，分针旋转了360°÷60×＝3°，时针旋转的角度很小．故选D.
【点睛】本题主要考查旋转的定义，结合日常生活中的钟表来计算．
7．如图，该图形围绕其的旋转中心，按下列角度旋转后，能与自身重合的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转度的整数倍，就可以与自身重合．
【解析】解：该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，旋转的整数倍，就可以与自身重合，
因而A、C、D都不正确，不能与其自身重合；能与自身重合的是B．
故选：B．
【点睛】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角．
8．如图，顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是（ ）
A．点， B．点O，
C．点， D．点O，
【答案】C
【分析】本题考查了旋转，根据旋转的定义和性质可知，两组对应点连线的交点是旋转中心，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，即可得出答案．
【解析】由题给图形得：绕着点O顺时针旋转到的位置，则旋转中心及旋转角分别是点O和．
故选：B．
9．如图，一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到的位置，使得、、三点在同一条直线上，则三角板旋转的角度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了三角板中的角度计算、旋转的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．由三角板可知，，，由旋转的性质可知，，进而得到，即可求出三角板旋转的角度．
【解析】解：由三角板可知，，，
由旋转的性质可知，，
，
即三角板旋转的角度是，
故选：D．
10．将数字“6”旋转，得到数字“9”；将数字“9”旋转，得到的数字是“6”，现将数字“69”旋转，得到的数字是（ ）
A．96 B．69 C．66 D．99
【答案】C
【分析】直接旋转的性质结合69的特点得出答案．
【解析】解：现将数字“69”旋转，得到的数字是：69，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质，得出旋转后的图形是解题关键．
11．在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失．已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使图上所有方格自动消失（ ）
A．顺时针旋转，向下平移 B．顺时针旋转，向右平移
C．逆时针旋转，向下平移 D．逆时针旋转，向右平移
【答案】D
【分析】根据旋转的性质可进行求解．
【解析】解：观察图形可知，出现的小方格需逆时针旋转°，向右平移至边界．
故选：D．
【点睛】本题主要是考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
12．如图，在正方形网格中，图中阴影部分的两个图形是一个经过旋转变换得到另一个的，其旋转中心可能是（ ）
A．点A B．点 C．点 D．点
【答案】C
【分析】根据旋转的性质，作两组对应点所连线段的垂直平分线，交点即为旋转中心，即可得．
【解析】解：如图所示，两组对应点所连线段的垂直平分线的交点B即为旋转中心，
故选：B．
【点睛】本题考查了旋转的性质，解题的关键是掌握旋转的性质．
二、填空题
13．如图，以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，得，若，则 ．
【答案】/度
【分析】本题考查旋转的性质，正确找出旋转角是解题关键．根据旋转的性质得出，利用角的和差关系即可得答案．
【解析】解：∵以点为旋转中心，按逆时针方向旋转，得，
∴，
∴．
故答案为：
14．如图，中，，将绕着点顺时针旋转到，且点B、点B、点在同一直线上，则旋转角是 ．
【答案】118
【分析】利用邻补角的定义计算出，然后根据旋转的性质确定旋转角的大小．
【解析】解：∵将绕着点顺时针旋转到，
∴∠CAC′等于旋转角，
∵，点B、点B、点在同一直线上，
∴，
即旋转角为．
故答案为：118．
【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
15．如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星绕中心至少旋转 度能和自身重合．
【答案】72
【分析】根据题意，五角星的五个角全等，根据图形间的关系可得答案．
【解析】根据题意，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，
这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心O至少经过4次旋转而得到，
每次旋转的度数为360°除以5，为72度．
故答案为：72
【点睛】此题主要考查了旋转对称图形，图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等．
16．如图，将三角尺（其中）绕点B按顺时针方向转动一个角度到的位置，使得点A，B，在同一条直线上，那么旋转角 ．
【答案】/120度
【分析】根据旋转的性质求解即可．
【解析】解：三角板中，旋转角是，
则．
这个旋转角度等于120度．
故答案为：．
【点睛】本题结合直角三角形的性质考查旋转角的计算求解，理解掌握旋转角的意义是解答关键．
17．如图，以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，若，则 度．
【答案】
【分析】根据旋转的定义可得，再根据角的和差即可得．
【解析】解：以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转得到，
，
，
，
故答案为：85．
【点睛】本题主要考查了旋转，熟练掌握旋转的定义是解题关键．
18．如图，绕点顺时针旋转后与重合．若，则 ．
【答案】/度
【分析】由旋转的性质得，进一步计算即可求解．
【解析】解：由旋转的性质得，
∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了旋转的性质，是基础题，熟记性质并确定是解题的关键．
19．如图，如果三角形旋转后能与等边三角形重合，那么图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有 个．
【答案】3
【分析】根据三角形旋转后能与等边三角形重合，确定旋转中心，即可得到答案．
【解析】解：以点B为旋转中心，顺时针旋转，能与等边三角形重合；
以C为旋转中心，逆时针旋转，能与等边三角形重合；
以的中点为旋转中心，旋转，能与等边三角形重合；
则图形所在的平面内可以作为旋转中心的点共有3个．
故答案为：3
【点睛】此题考查了图形的旋转，熟练掌握旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角是解题的关键．
20．如图，已知中，，，，将绕点旋转，点的对应点落在边上，得，联结，那么的面积为 ．
【答案】4
【分析】根据旋转的性质可求得=90°及、的长，利用直角三角形的面积公式求解即可．
【解析】∵，，，
由旋转的性质可得：
°
∴=2，=90°
∴的面积为：
故答案为：4
【点睛】本题考查的是旋转的性质，掌握旋转的性质“对应线段相等，对应角相等”是关键．
三、解答题
21．在方格中画出绕着点C顺时针旋转后的
【答案】见解析
【分析】本题考查了画图形的旋转；分别确定三点旋转后的对应点，再依次连接即可．
【解析】解：如图所示，即为所求：
22．如图，画出四边形ABCD绕点P顺时针旋转60°后的图形.
【答案】图形见解析
【分析】根据旋转角、旋转方向、旋转中心找出旋转后的对称点，顺次连接即可．
【解析】解：所作图形如下所示：
【点睛】本题主要考查的是旋转变换的作图方法，在旋转作图时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．
23．根据要求画出旋转后的三角形．
(1)如图①，画出将绕点O逆时针旋转后的；
(2)如图②，画出将绕点O旋转后的．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了旋转作图，确定各顶点的对应点是作图关键．
（1）确定各顶点绕点O逆时针旋转后的对应点即可；
（2）确定各顶点绕点O逆时针旋转后的对应点即可；
【解析】（1）解：如答图①，即为所求．
（2）解：如答图②，即为所求．
24．（1）在网格中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为．将向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，请画出；
（2）在网格中画出绕点顺时针旋转之后得到的；
（3）求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【分析】本题考查图形旋转变换和平移变换，掌握图形变换性质是关键．
（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案．
【解析】解：（1）如答图，即为所作．
（2）如答图，即为所作．
（3）．
25．如图，将经旋转后到达的位置．问：
(1)旋转中心是哪一点？
(2)如果M是边的中点，那么经过上述旋转后，点M转到了什么位置？
【答案】(1)旋转中心是点A
(2)经过旋转后，点M转到了边的中点处
【分析】本题考查了图形的旋转变化；
（1）观察图形，找到公共顶点可得出旋转中心；
（2）因为旋转前后是对应边，故的中点M，旋转后就是的中点了．
【解析】（1）∵将经旋转后到达的位置，它们的公共顶点为A，
∴旋转中心是点A．
（2）∵旋转前后是对应边，M是边的中点，
∴经过旋转后，点M转到了边的中点处．
26．如图，中，，，，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好为的中 点．
(1)指出旋转中心，并求出旋转的度数．
(2)求出的度数和的长．
【答案】(1)旋转中心是点A，旋转角度是
(2)，
【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
（1）根据旋转的定义即可解答；
（2）根据旋转的性质可得即可求出，再由，C是中点即可求解．
【解析】（1）解：∵逆时针旋转一定角度后与重合，A为顶点，
旋转中心是点A；
∴
由旋转的性质可得：，,
由此易得：三点共线；
当为绕点顺时针旋转所得时；
当为绕点逆时针旋转所得时；
故答案为：或
（3）解：当为绕点顺时针旋转所得时；
当为绕点逆时针旋转所得时；
综上，的面积为或；
【点睛】本题考查了图形的旋转；熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
28．如图，在长方形中，连接，已知边，（）
(1)画出三角形绕点C顺时针旋转后的三角形（点A、B的对应点分别为点E、F ），不写画法，写出结论；
(2)用含a、b的代数式表示三角形的面积；
(3)在（1）和（2）的条件下，连接交于点G，如果长方形的面积，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转的性质作图，即可求解；
（2）由旋转得，，由三角形的面积即可求解；
（3）由题得从而可求，再由，即可求解．
【解析】（1）解：如图
为所求三角形；
（2）解：由旋转得
，
，
；
（3）解：由题意得
，
解得：，
，
，
由图得：
，
整理得：
解得：．
【点睛】本题考查作图-旋转变换，长方形的性质，面积法等，掌握、之间的转换运算利用面积法求线段的长是解题的关键．
()
