6.1.3 基本初等函数的导数
［学习目标］ 1.能根据导数定义求函数y=c(c为常数)，y=x，y=x2，y=，y=的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
一、常数函数与幂函数的导数
问题1 类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何求函数y=f(x)的导数？
问题2 以上我们知道，求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
问题3 如何求常函数f(x)=c以及常用幂函数的导数？
知识梳理
1.导函数
一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导.此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f'(x).于是，在f(x)的定义域内，f'(x)是一个 ，这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数，记作f'(x)(或y'，yx')，即f'(x)=y'=yx'= .
2.几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)=C，其中C为常数 f'(x)=
f(x)=x f'(x)=
f(x)=x2 f'(x)=
f(x)=x3 f'(x)=
f(x)= f'(x)=
f(x)= f'(x)=
例1 (1)求函数y=f(x)=(x>-1)的导函数.
延伸探究 在本例的条件下，求函数y=f(x)在x=0处的导数.
(2)求函数f(x)=在x=1处的导数.
反思感悟 求导函数的一般步骤
(1)Δy=f(x+Δx)-f(x).
(2)=.
(3)求极限.
二、导数公式表
知识梳理
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=C(C为常数) f'(x)=
f(x)=xα f'(x)=
f(x)=sin x f'(x)=
f(x)=cos x f'(x)=
f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=
f(x)=ex f'(x)=
f(x)=logax(a>0，且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
例2 求下列函数的导数：
(1)y=x0(x≠0)； (2)y=；
(3)y=lg x； (4)y=；
(5)y=2cos2-1.
跟踪训练1 求下列函数的导数：
(1)y=2 024； (2)y=；
(3)y=4x； (4)y=log3x.
三、导数公式的应用
例3 已知曲线y=ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.
延伸探究
1.已知y=kx+1是曲线y=f(x)=ln x的一条切线，则k= .
2.求曲线y=ln x过点O(0，0)的切线方程.
跟踪训练2 (1)函数y=x3在点(2，8)处的切线方程为( )
A.y=12x-16
B.y=12x+16
C.y=-12x-16
D.y=-12x+16
(2)已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0，则c的值为 .
1.知识清单：
(1)导函数的概念及常函数与幂函数的导数.
(2)基本初等函数的导数公式.
(3)导数公式的应用.
2.方法归纳：定义法、待定系数法、方程思想.
3.常见误区：公式记混用错.
1.下列求导运算正确的是( )
A.(cos x)'=-sin x
B.(x3)'=x3ln x
C.(ex)'=xex-1
D.(ln x)'=
2.f(x)=a3(a>0，a≠1)，则f'(2)等于( )
A.8 B.12
C.8ln 3 D.0
3.已知f(x)=，则f'(8)等于( )
A.0 B.2
C. D.-1
4.P是抛物线y=x2上的点，若过点P的切线与直线y=-x+1垂直，则过点P的切线方程是 .
答案精析
问题1 计算并化简，当Δx→0时，趋近于的定值即为函数y=f(x)的导数.
问题2 这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f'(x0)=
可知
f'(x)=，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数.
问题3 因为===0，
所以f'(x)== 0=0，
即(c)'=0.
我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数：
f(x)=x f'(x)=1=x1-1；
f(x)=x2 f'(x)=2x=2x2-1；
f(x)=x3 f'(x)=3x2=3x3-1；
f(x)==x-1 f'(x)=-x-2
=-x-1-1；
f(x)== f'(x)
==.
通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的规律，
即(xα)'=αxα-1(α≠0).
知识梳理
1.函数
2.0 1 2x 3x2 -
例1 (1)解 f'(x)=
=
=
=
=.
延伸探究 解 由例题知
y'=，
所以f'(0)=.
(2)解 ∵f(x)==，
∴f'(x)=()'=-，
∴f'(1)=-.
知识梳理
0 αxα-1 cos x -sin x axln a ex
例2 解 (1)y'=0.
(2)y'=ln=-ln 3.
(3)y'=.
(4)∵y==，
∴y'='==.
(5)∵y=2cos2-1=cos x，
∴y'=(cos x)'=-sin x.
跟踪训练1 解 (1)因为y=2 024，所以y'=(2 024)'=0.
(2)因为y==，
所以y'=-=-.
(3)因为y=4x，所以y'=4xln 4.
(4)因为y=log3x，所以y'=.
例3 解 ∵y'=，∴k=，
∴切线方程为y-1=(x-e)，
即x-ey=0.
延伸探究
1. 2.x-ey=0
跟踪训练2 (1)A (2)-1
随堂演练
1.A 2.D 3.C 4.2x-y-1=0(共63张PPT)
第六章
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6.1.3 基本初等函数的导数
1.能根据导数定义求函数y=c(c为常数)，y=x，y=x2，y=，y=的导数.
2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数.
学习目标
高铁是一种非常受欢迎的交通工具，既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数s=f(t)=2t2，求它的瞬时速度，即求f(t)的导数.根据导数的定义，就是求当Δt→0时，所趋近的那个定值，运算比较复杂，而且，有的函数如y=sin x，y=ln x等很难运用定义求导数.是否有更简便的求导数的方法呢？
导 语
一、常数函数与幂函数的导数
二、导数公式表
课时对点练
三、导数公式的应用
随堂演练
内容索引
常数函数与幂函数的导数
一
提示 计算并化简，当Δx→0时，趋近于的定值即为函数y=f(x)的导数.
类比用导数定义求函数在某点处导数的方法，如何求函数y=f(x)的导数？
问题1
提示 这涉及到函数在任意一点的导数问题，通过f'(x0)= 可知
f'(x)=，这就是函数在任意一点的导数，即导函数，它不再是一个确定的数，而是一个函数.
以上我们知道，求函数在某一点的导数，可以发现函数在该点附近的变化，能否通过求导研究函数的整体变化？
问题2
提示 因为===0，
所以f'(x)== 0=0，即(c)'=0.
我们通过同样的方法容易得到几个常见的幂函数的导数：
f(x)=x f'(x)=1=x1-1；
f(x)=x2 f'(x)=2x=2x2-1；
f(x)=x3 f'(x)=3x2=3x3-1；
如何求常函数f(x)=c以及常用幂函数的导数？
问题3
f(x)==x-1 f'(x)=-x-2=-x-1-1；
f(x)== f'(x)==.
通过观察上面几个式子，我们发现了这几个幂函数的规律，即(xα)'=αxα-1 (α≠0).
1.导函数
一般地，如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导，则称f(x)可导.此时，对定义域内的每一个值x，都对应一个确定的导数f'(x).于是，在f(x)的定义域内，f'(x)是一个 ，这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数，
记作f'(x)(或y'，yx')，即f'(x)=y'=yx'=.
函数
2.几个常用函数的导数
原函数 导函数
f(x)=C，其中C为常数 f'(x)=____
f(x)=x f'(x)=____
f(x)=x2 f'(x)=____
f(x)=x3 f'(x)=____
f(x)= f'(x)=______
f(x)=
f'(x)=
0
1
2x
3x2
-
(1)求函数y=f(x)=(x>-1)的导函数.
例 1
f'(x)=
=
=
==.
在本例的条件下，求函数y=f(x)在x=0处的导数.
延伸探究
由例题知y'=，
所以f'(0)=.
(2)求函数f(x)=在x=1处的导数.
∵f(x)==，
∴f'(x)=()'=-，
∴f'(1)=-.
(1)Δy=f(x+Δx)-f(x).
(2)=.
(3)求极限.
反
思
感
悟
求导函数的一般步骤
二
导数公式表
基本初等函数的导数公式
原函数 导函数
f(x)=C(C为常数) f'(x)=____
f(x)=xα f'(x)=______
f(x)=sin x f'(x)=______
f(x)=cos x f'(x)=______
f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=______
f(x)=ex f'(x)=____
0
αxα-1
cos x
-sin x
axln a
ex
原函数 导函数
f(x)=logax(a>0，且a≠1)
f'(x)=
f(x)=ln x
f'(x)=
(1)记忆公式时要采用对比的方法来记忆
①将xα与ax(a>0，且a≠1)对比记忆，两公式最易混淆.
②将ax(a>0，且a≠1)与logax(a>0，且a≠1)对比记忆，并且要强化记忆，这两个公式最难记.
③将sin x与cos x对比记忆，注意正、负号问题.
(2)函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)的导数公式为f'(x)=(logax)'=，当a=e时，上述公式就变为(ln x)'=，即f(x)=ln x是f(x)=logax(a>0，且a≠1)当a=e时的特殊情况.类似地，还有f(x)=ax(a>0，且a≠1)，当a=e时，(ex)'=ex.
注 意 点
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求下列函数的导数：
(1)y=x0(x≠0)；
例 2
y'=0.
(2)y=；
y'=ln=-ln 3.
(3)y=lg x；
y'=.
(4)y=；
∵y==，
∴y'='==.
(5)y=2cos2-1.
∵y=2cos2-1=cos x，
∴y'=(cos x)'=-sin x.
(1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导.
(3)要特别注意“与ln x”，“ax与logax”，“sin x与cos x”的导数区别.
反
思
感
悟
求下列函数的导数：
(1)y=2 024；
跟踪训练 1
因为y=2 024，所以y'=(2 024)'=0.
(2)y=；
因为y==，
所以y'=-=-.
(3)y=4x；
因为y=4x，所以y'=4xln 4.
(4)y=log3x.
因为y=log3x，所以y'=.
导数公式的应用
三
已知曲线y=ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程.
例 3
∵y'=，∴k=，
∴切线方程为y-1=(x-e)，即x-ey=0.
1.已知y=kx+1是曲线y=f(x)=ln x的一条切线，则k= .
延伸探究
设切点坐标为(x0，y0)，由题意得f'(x0)==k，又y0=kx0+1，y0=ln x0，解得y0=2，x0=e2，所以k=.
2.求曲线y=ln x过点O(0，0)的切线方程.
设切点为Q(x0，y0)，
则切线的斜率k=.
又切线的斜率k==，
∴=，即x0=e，
∴Q(e，1)，∴k=，
∴切线方程为y-1=(x-e)，即x-ey=0.
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数；
(2)若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解.
反
思
感
悟
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)函数y=x3在点(2，8)处的切线方程为
A.y=12x-16 B.y=12x+16
C.y=-12x-16 D.y=-12x+16
跟踪训练 2
因为y'=3x2，当x=2时，y'=12，
故切线的斜率为12，
切线方程为y=12x-16.
√
(2)已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0，则c的值为 .
设切点为(x0，ln x0)，
由y=ln x得y'=.
因为曲线y=ln x在x=x0处的切线方程为x-y+c=0，
其斜率为1.所以=1，
即x0=1，
所以切点为(1，0).
所以1-0+c=0，所以c=-1.
-1
1.知识清单：
(1)导函数的概念及常函数与幂函数的导数.
(2)基本初等函数的导数公式.
(3)导数公式的应用.
2.方法归纳：定义法、待定系数法、方程思想.
3.常见误区：公式记混用错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.下列求导运算正确的是
A.(cos x)'=-sin x B.(x3)'=x3ln x
C.(ex)'=xex-1 D.(ln x)'=
√
1
2
3
4
2.f(x)=a3(a>0，a≠1)，则f'(2)等于
A.8 B.12
C.8ln 3 D.0
√
f(x)=a3(a>0，a≠1)是常数函数，
所以f'(x)=0.所以f'(2)=0.
3.已知f(x)=，则f'(8)等于
A.0 B.2
C. D.-1
1
2
3
4
f(x)=，得f'(x)=，
∴f'(8)=×=.
√
1
2
3
4
4.P是抛物线y=x2上的点，若过点P的切线与直线y=-x+1垂直，则过点P的切线方程是 .
设切点坐标为(x0，)，由y=x2得y'=2x，由题意知2x0=2，∴x0=1，
∴切点坐标为(1，1)，所求切线方程为2x-y-1=0.
2x-y-1=0
课时对点练
五
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基础巩固
1.(多选)下列选项正确的是
A.y=ln 2，则y'= B.f(x)=，则f'(3)=-
C.y=2x，则y'=2xln 2 D.y=log2x，则y'=
√
对于A，y'=0，故A错；
对于B，∵f'(x)=-，∴f'(3)=-，故B正确；
显然C，D正确.
√
√
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2.函数y=3x在x=2处的导数为
A.9 B.6
C.9ln 3 D.6ln 3
y'=(3x)'=3xln 3，故所求导数为9ln 3.
√
3.已知函数f(x)=xa(a∈Q，且a≠0)，若f'(-1)=-4，则a的值等于
A.4 B.-4
C.5 D.-5
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∵f'(x)=axa-1，
f'(-1)=a(-1)a-1=-4，
∴a=4.
√
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4.正弦曲线y=sin x上切线的斜率等于的点为
A.
B.或
C.(k∈Z)
D.或(k∈Z)
√
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16
设斜率等于的切线与曲线的切点为P(x0，y0)，∵y'=cos x，令cos x0=，∴x0=2kπ+或x0=2kπ-(k∈Z)，∴y0=或-.
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16
5.(多选)曲线y=x3在点M处的切线的倾斜角为，则点M的坐标可能是
A.(1，1) B.
C. D.(-1，-1)
√
在点M处的切线的斜率k=tan =1，设切点M的坐标为(x0，y0)，∵y'=3x2，令3=1，解得x0=或x0=-，∴切点M的坐标为.
√
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6.若f(x)=，g(x)=ln x，则f'(1)+g'(x)=1的x的值为
A. B.
C. D.2
√
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∵f'(x)='=()'=-，
∴f'(1)=-，
又g'(x)=，由f'(1)+g'(x)=1，得-+=1，∴x=.
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7.从时刻t=0开始的t秒内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q=cos t表示，则第7秒时的电流为 安.
由q=cos t，得q'=-sin t，所以q'(7)=-sin 7.即第7秒时的电流为-sin 7安.
-sin 7
8.已知f(x)=cos x，g(x)=x，则关于x的不等式f'(x)+g'(x)≤0的解集为
________________________.
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∵f'(x)=-sin x，g'(x)=1，
由f'(x)+g'(x)≤0，得-sin x+1≤0，
即sin x≥1，则sin x=1，
解得x=+2kπ，k∈Z，
∴其解集为.
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9.求下列函数的导数.
(1)y=；
y'='=(x-3)'
=-3x-3-1=-3x-4=-.
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(2)y=；
y'=()'=()'
===.
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(3)y=log5x2-log5x；
因为y=log5x2-log5x=log5x，
所以y'=(log5x)'=.
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(4)y=-2sin .
因为y=-2sin
=2sin =2sin cos =sin x，
所以y'=(sin x)'=cos x.
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10.已知抛物线y=x2，求过点且与抛物线相切的直线方程.
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设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，)，则直线方程为y+2=k，
因为y'=2x，所以k=2x0，又点(x0，)在切线上，
所以+2=2x0，
解得x0=1或x0=-2，则k=2或k=-4，
所以直线方程为y+2=2或y+2=-4，
即2x-y-1=0或4x+y+4=0.
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11.曲线y=ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为
A. B.2e2
C.e2 D.
综合运用
√
∵y'=ex，∴切线斜率为e2.∴切线方程为y-e2=e2(x-2)，即y=e2x-e2.令x=0得y=-e2；令y=0得x=1.∴S=×1×e2=.
12.设函数y=f(x)是一次函数，若f(1)=-1，且f'(2)=-4，则f(x)= .
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-4x+3
∵y=f(x)是一次函数，
∴设f(x)=ax+b(a≠0)，
则f(1)=a+b=-1，又f'(2)=a=-4.
∴a=-4，b=3，∴f(x)=-4x+3.
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13.已知在曲线y=上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，则点P的横坐标为 .
设P(x0，y0).
∵y'=(x-2)'=-2x-3，tan 135°=-1，
∴-2=-1，∴x0=.
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14.设f0(x)=sin x，f1(x)=f'0(x)，f2(x)=f'1(x)，…，fn+1(x)=f'n(x)，n∈N，则f2 024(x) = .
由已知得，f1(x)=cos x，f2(x)=-sin x，
f3(x)=-cos x，f4(x)=sin x，f5(x)=cos x，…，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为4，则f2 024(x)=f4(x)=sin x.
sin x
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拓广探究
15.已知A，B，C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m，4(1
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如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当平移后的直线AC与曲线相切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大.
∵y'=，
∴切线斜率为，点A坐标为(1，1)，点C坐标为(4，2)，
∴kAC==，∴=，∴m=.
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16.设曲线y=xn+1(n∈N+)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an=lg xn，求a1+a2+…+a99的值.
导函数y'=(n+1)xn，曲线在点(1，1)处的切线斜率k=n+1，所以切线方程为y=(n+1)x-n，可求得切线与x轴的交点为，则an=lg =lg n-lg(n+1)，所以a1+a2+…+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+…+(lg 99-lg 100)=lg 1- lg 100=-2.作业23 基本初等函数的导数
(分值：100分)
单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共12分
1.(多选)下列选项正确的是( )
A.y=ln 2，则y'=
B.f(x)=，则f'(3)=-
C.y=2x，则y'=2xln 2
D.y=log2x，则y'=
2.函数y=3x在x=2处的导数为( )
A.9 B.6
C.9ln 3 D.6ln 3
3.已知函数f(x)=xa(a∈Q，且a≠0)，若f'(-1)=-4，则a的值等于( )
A.4 B.-4
C.5 D.-5
4.正弦曲线y=sin x上切线的斜率等于的点为( )
A.
B.或
C.(k∈Z)
D.或(k∈Z)
5.(多选)曲线y=x3在点M处的切线的倾斜角为，则点M的坐标可能是( )
A.(1，1) B.
C. D.(-1，-1)
6.若f(x)=，g(x)=ln x，则f'(1)+g'(x)=1的x的值为( )
A. B.
C. D.2
7.从时刻t=0开始的t秒内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q=cos t表示，则第7秒时的电流为 安.
8.已知f(x)=cos x，g(x)=x，则关于x的不等式f'(x)+g'(x)≤0的解集为 .
9.(12分)求下列函数的导数.
(1)y=；(3分)(2)y=；(3分)
(3)y=log5x2-log5x；(3分)
(4)y=-2sin .(3分)
10.(10分)已知抛物线y=x2，求过点且与抛物线相切的直线方程.
11.曲线y=ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )
A. B.2e2
C.e2 D.
12.设函数y=f(x)是一次函数，若f(1)=-1，且f'(2)=-4，则f(x)= .
13.已知在曲线y=上存在一点P，曲线在点P处的切线的倾斜角为135°，则点P的横坐标为 .
14.设f0(x)=sin x，f1(x)=f'0(x)，f2(x)=f'1(x)，…，fn+1(x)=f'n(x)，n∈N，则f2 024(x)= .
15.已知A，B，C三点在曲线y=上，其横坐标依次为1，m，4(1
答案精析
1.BCD 2.C 3.A 4.D 5.BC 6.C
7.-sin 7 8.
9.解 (1)y'='=(x-3)'
=-3x-3-1=-3x-4=-.
(2)y'=()'=()'
===.
(3)因为y=log5x2-log5x=log5x，
所以y'=(log5x)'=.
(4)因为y=-2sin
=2sin
=2sin cos =sin x，
所以y'=(sin x)'=cos x.
10.解 设直线的斜率为k，直线与抛物线相切的切点坐标为(x0，)，
则直线方程为y+2=k，
因为y'=2x，所以k=2x0，
又点(x0，)在切线上，
所以+2=2x0，
解得x0=1或x0=-2，
则k=2或k=-4，
所以直线方程为y+2=2或
y+2=-4，
即2x-y-1=0或4x+y+4=0.
11.D 12.-4x+3 13.
14.sin x
解析 由已知得，f1(x)=cos x，
f2(x)=-sin x，
f3(x)=-cos x，f4(x)=sin x，
f5(x)=cos x，…，依次类推可得，
函数呈周期变化，且周期为4，
则f2 024(x)=f4(x)=sin x.
15.
解析 如图，在△ABC中，边AC是确定的，要使△ABC的面积最大，则点B到直线AC的距离应最大，可以将直线AC作平行移动，显然当平移后的直线AC与曲线相切时，距离达到最大，即当过点B的切线平行于直线AC时，△ABC的面积最大.
∵y'=，∴切线斜率为，
点A坐标为(1，1)，点C坐标为(4，2)，
∴kAC==，∴=，
∴m=.
16.解 导函数y'=(n+1)xn，
曲线在点(1，1)处的切线斜率k=n+1，
所以切线方程为y=(n+1)x-n，
可求得切线与x轴的交点为，
则an=lg=lg n-lg(n+1)，
所以a1+a2+…+a99=(lg 1-lg 2)+(lg 2-lg 3)+…+(lg 99-lg 100)=lg 1-lg 100=-2.
