［学习目标］ 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法.
一、花费最少
例1 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
跟踪训练1 甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P=v4-v3+15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值.
二、容积最大
例2 如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB=x(cm).
某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
反思感悟 (1)几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.
跟踪训练2 现有一张长为108 cm，宽为a cm(a<108)的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处的损失，如图，在长方形ABCD的一个角上剪下一块边长为x cm的正方形铁皮作为铁皮容器的底面，用余下的材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为y(cm)，体积为V(cm3).
(1)求y关于x的函数关系式；
(2)求该铁皮容器体积V的最大值.
三、利润最大
例3 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)=
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？(注：年利润=年销售收入-年总成本)
跟踪训练3 中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤25，t∈N+，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当20≤t≤25时高铁为满载状态，载客量为1 000人；当5≤t<20时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(20-t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车时间间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t).
(1)求P(t)的表达式；
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=P(t)-40t2+650t-2 000(单位：元)，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？
1.知识清单：
(1)生活中的最优化问题.
(2)最优化问题解题步骤.
2.方法归纳：数学建模、转化法.
3.常见误区：对题意的理解不透彻和对数学模型的构建不正确而致错.
1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，则当利润最大时，每件商品的定价为( )
A.105元 B.110元
C.115元 D.120元
2.某油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是( )
A.8 B.
C.-1 D.-8
3.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为 .
4.某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C=1 200+x3，P=，则当x= 时，总利润最高.
习题课 导数与函数的零点问题
［学习目标］ 结合函数图象利用导数研究函数的零点的问题.
一、利用导数研究函数的零点个数
例1 给定函数f(x)=ex-x.
(1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域；
(2)画出函数f(x)的大致图象；
(3)求出方程f(x)=m(m∈R)在区间［-1，2］上的根的个数.
反思感悟 判断函数零点的个数问题的思路
(1)求出函数的定义域.
(2)求导数f'(x)的零点.
(3)用f'(x)的零点将函数f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f'(x)在各个区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值.
(4)确定f(x)的图象经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势.
(5)画出f(x)的大致图象，从而判断函数的零点个数.
跟踪训练1 已知函数f(x)=-1.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e］上零点的个数.
二、由函数的零点个数求参数的取值范围
例2 已知函数f(x)=x3-kx+k2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围.
反思感悟 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数的取值范围.
跟踪训练2 已知函数f(x)=ln x-2ax，a∈R.
(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)有两个零点，求a的取值范围.
三、可化为函数零点的函数问题
例3 已知函数f(x)=，若关于x的方程-mf(x)+1=0有四个不同的实数根，则实数m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
跟踪训练3 若函数f(x)在定义域上有两个极值点，则叫作函数f(x)具有“凹凸趋向性”，已知f'(x)是函数f(x)的导数，且f'(x)=-2ln x，当函数f(x)具有“凹凸趋向性”时，m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
1.知识清单：
(1)利用导数求函数的零点个数.
(2)由零点个数求参数的值或取值范围.
(3)可化为函数零点的函数问题.
2.方法归纳：转化法、分离参数法、数形结合法、分类讨论法.
3.常见误区：根据函数的单调性摸清函数图象的变化趋势是解决问题的关键.
1.函数f(x)=ln x+的零点个数为( )
A.0 B.1
C.2 D.3
2.方程(x+1)ex=a(a>0)解的个数为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
3.若曲线y=xe-x与直线y=a恰有两个交点，则实数a的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.已知直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是 .
答案精析
例1 解 (1)由题设，每年能源消耗费用为C(x)=(0≤x≤10)，
再由C(0)=8，得k=40，
因此C(x)=.
而建造费用为C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×+6x=+6x(0≤x≤10).
(2)f'(x)=6-，
令f'(x)=0，即=6，
解得x=5或x=-(舍去).
当0
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值70万元.
跟踪训练1 解 (1)Q=P·
=·
=·400
=-v2+6 000(0
则v=0(舍去)或v=80，
当0
∴当v=80时，全程运输成本取得极小值，也是最小值，
且Qmin=(元).
例2 解 ∵AE=x，∴HE=x，
EF=60-2x，
∴EG=(60-2x)，
∴V(x)=(x)2×(60-2x)
=x2(60-2x)
=-2x3+60x2(0
=-6x(x-20).
令V'(x)=0，
得x=0(舍去)或x=20.
∵当0
当20
∴包装盒的底面边长为
x=20(cm)，
高为(60-2x)=10(cm)，
∴当x=20时，包装盒的容积最大，
此时高与底面边长的比值为.
跟踪训练2 解 (1)由题意得x2+4xy=108a，
即y=，0
V(x)=x2y=x2·
=(-x3+108ax)，0
=-(x2-36a)，
令V'(x)=0，
得x=6或x=-6(舍去)
当0
V(x)单调递增，
可得V(x)max=V(a)
=a2(108-a)；
当36
V(x)单调递增，
在(6，a)上V'(x)<0，
V(x)单调递减，
可得V(x)max=V(6)=108a.
综上可得，
V(x)max=
故当0
a2(108-a)cm3；
当36
=8.1x--10；
当x>10时，
W=xR(x)-(10+2.7x)
=98--2.7x.
∴W=
(2)①当0
得x=9(舍负)，
且当x∈(0，9)时，W'>0；
当x∈(9，10］时，W'<0，
∴当x=9时，W取最大值，
且Wmax=8.1×9--10=38.6.
②当x>10时，
W=98-≤
98-2=38，
当且仅当=2.7x，
即x=时，等号成立，
显然等号无法取到，
所以当x>10时，W<38.
综合①②知当x=9时，W取最大值38.6，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.
跟踪训练3 解 (1)当5≤t<20时，
不妨设P(t)=1 000-k(20-t)2，
P(5)=1 000-k(20-5)2=100，
解得k=4，
因此P(t)=
(2)当5≤t<20时，
Q(t)=P(t)-40t2+650t-2 000
=-t3+500t-2 000，
因此f(t)==-t2-+500，
5≤t<20.
因为f'(t)=-2t+
=，
当5≤t<10时，f'(t)>0，
f(t)单调递增；
当10
所以f(t)max=f(10)=200.
当20≤t≤25时，
Q(t)=-40t2+900t-2 000，
因此f(t)==900-40，
20≤t≤25.
因为f'(t)=<0，
此时f(t)在［20，25］上单调递减，
所以f(t)max=f(20)=0，
综上，发车时间间隔为10分钟时，
单位时间的净收益最大.
随堂演练
1.C 2.C 3.3 4.25(共84张PPT)
第六章
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§6.3 利用导数解决实际问题
1.了解导数在解决实际问题中的作用.
2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题的方法.
学习目标
在经济生活中，为使经营利润最大、生产效率最高，或为使用力最省、用料最少、消耗最省等，需要寻求相应的最佳方案或最佳策略.这些都是最优化问题.因为利用导数可以求得最值，所以利用导数可以解决最优化问题，下面我们通过实例学习.
导 语
一、花费最少
二、容积最大
课时对点练
三、利润最大
随堂演练
内容索引
花费最少
一
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(1)求k的值及f(x)的表达式；
例 1
由题设，每年能源消耗费用为C(x)=(0≤x≤10)，再由C(0)=8，得k=40，
因此C(x)=.
而建造费用为C1(x)=6x.
最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x) =20×+6x=+6x(0≤x≤10).
(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小？并求最小值.
f'(x)=6-，
令f'(x)=0，即=6，
解得x=5或x=-(舍去).
当0
当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小，最小值70万元.
(1)用料最省、成本(费用)最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.
(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f'(x)=0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.
反
思
感
悟
甲、乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/时)的函数关系是P=v4-v3+15v.
(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；
跟踪训练 1
Q=P·
=·
=·400
=-v2+6 000(0
Q'=-5v，令Q'=0，则v=0(舍去)或v=80，
当0
∴当v=80时，全程运输成本取得极小值，也是最小值，且Qmin= (元).
二
容积最大
如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒.点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点.设AE=FB =x(cm).
某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，
试问x应取何值？并求出此时包装盒的
高与底面边长的比值.
例 2
∵AE=x，∴HE=x，EF=60-2x，
∴EG=(60-2x)，
∴V(x)=(x)2×(60-2x)
=x2(60-2x)
=-2x3+60x2(0
令V'(x)=0，得x=0(舍去)或x=20.
∵当0
当20
唯一的极值，故为最大值.
∴包装盒的底面边长为x=
20(cm)，
高为(60-2x)=10(cm)，
∴当x=20时，包装盒的容积最大，此时高与底面边长的比值为.
(1)几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际相关的问题.
(2)解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.
反
思
感
悟
现有一张长为108 cm，宽为a cm(a<108)的长方形铁皮ABCD，准备用它做成一个无盖长方体铁皮容器，要求材料利用率为100%，不考虑焊接处的损失，如图，在长方形ABCD的一个角上剪下一块边长
跟踪训练 2
为x cm的正方形铁皮作为铁皮容器的底面，用余下的材料剪拼后作为铁皮容器的侧面，设长方体的高为y(cm)，体积为V(cm3).
(1)求y关于x的函数关系式；
由题意得x2+4xy=108a，
即y=，0
铁皮容器的体积V(x)=x2y=x2·
=(-x3+108ax)，0
令V'(x)=0，得x=6或x=-6(舍去)
当0
V(x)单调递增，
可得V(x)max=V(a)=a2(108-a)；
当36
在(6，a)上V'(x)<0，V(x)单调递减，
可得V(x)max=V(6)=108a.
综上可得，V(x)max=
故当0
当36
利润最大
已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元.设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销
售完，每千件的销售收入为R(x)万元，且R(x)=
(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；
例 3
当0
当x>10时，W=xR(x)-(10+2.7x)
=98--2.7x.
∴W=
(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？(注：年利润=年销售收入-年总成本)
①当0
当x∈(9，10]时，W'<0，
∴当x=9时，W取最大值，
且Wmax=8.1×9--10=38.6.
②当x>10时，
W=98-≤98-2=38，
当且仅当=2.7x，即x=时，等号成立，显然等号无法取到，
所以当x>10时，W<38.
综合①②知当x=9时，W取最大值38.6，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大.
利用导数解决利润(收益)最大问题，关键是灵活运用题设条件，建立利润(收益)的函数解析式，然后再利用导数方法求出该函数的最大值，即可得到最大利润(收益)，常见的基本等量关系如下
(1)利润(收益)=收入-成本.
(2)利润(收益)=每件产品的利润(收益)×销售量.
反
思
感
悟
中国高铁的快速发展给群众出行带来巨大便利，极大促进了区域经济社会发展.已知某条高铁线路通车后，发车时间间隔t(单位：分钟)满足5≤t≤25，t∈N+，经测算，高铁的载客量与发车时间间隔t相关：当20≤t≤25时高铁为满载状态，载客量为1 000人；当5≤t<20时，载客量会在满载基础上减少，减少的人数与(20-t)2成正比，且发车时间间隔为5分钟时的载客量为100人.记发车时间间隔为t分钟时，高铁载客量为P(t).
(1)求P(t)的表达式；
跟踪训练 3
当5≤t<20时，
不妨设P(t)=1 000-k(20-t)2，
P(5)=1 000-k(20-5)2=100，
解得k=4，
因此P(t)=
(2)若该线路发车时间间隔为t分钟时的净收益Q(t)=P(t)-40t2+650t- 2 000(单位：元)，当发车时间间隔为多少时，单位时间的净收益最大？
当5≤t<20时，Q(t)=P(t)-40t2+650t-2 000=-t3+500t-2 000，
因此f(t)==-t2-+500，5≤t<20.
因为f'(t)=-2t+=，
当5≤t<10时，f'(t)>0，f(t)单调递增；
当10
当20≤t≤25时，Q(t)=-40t2+900t-2 000，
因此f(t)==900-40，20≤t≤25.
因为f'(t)=<0，
此时f(t)在[20，25]上单调递减，
所以f(t)max=f(20)=0，
综上，发车时间间隔为10分钟时，单位时间的净收益最大.
1.知识清单：
(1)生活中的最优化问题.
(2)最优化问题解题步骤.
2.方法归纳：数学建模、转化法.
3.常见误区：对题意的理解不透彻和对数学模型的构建不正确而致错.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出(200-x)件，则当利润最大时，每件商品的定价为
A.105元 B.110元
C.115元 D.120元
√
1
2
3
4
由题意，知0
=-x2+230x-6 000，
S'(x)=-2x+230，令S'(x)=0，得x=115，
当0
当115
1
2
3
4
2.某油厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f(x)=x3-x2+8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是
A.8 B. C.-1 D.-8
√
由题意得，f'(x)=x2-2x=(x-1)2-1，
∵0≤x≤5，
∴当x=1时，f'(x)取最小值为-1，
即原油温度的瞬时变化率的最小值是-1.
3.做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的体积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为 .
1
2
3
4
设圆柱形水桶的表面积为S，底面半径为r(r>0)，则水桶的高为，所以S=πr2+2πr×=πr2+(r>0)，求导数，得S'=2πr-，令S'=0，解得r=3.
当0
3
1
2
3
4
4.某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C= 1 200+x3，P=，则当x= 时，总利润最高.
设总利润为L(x)万元，
由题意得
L(x)=x·-1 200-x3=-x3+500-1 200(x>0)，则L'(x)=-x2+，
令L'(x)>0，得0
25
课时对点练
五
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数解析式为y=-x3+81x-234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
因为y'=-x2+81，所以当x∈(9，+∞)时，y'<0；当x∈(0，9)时，y'>0，所以函数y=-x3+81x-234在(0，9)上单调递增，在(9，+∞)上单调递减，所以x=9是函数的极大值点，
又因为函数在(0，+∞)上只有一个极大值点，
所以函数在x=9处取得最大值.
故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.
1
2
3
4
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6
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12
13
14
15
16
2.(多选)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为x m，则
A.长方体的体积V(x)=m3
B.长方体的最大体积为3 m3
C.长方体的体积最大时，长为2 m，宽为1 m
D.长方体的体积最大时，高为1.5 m
√
√
√
1
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3
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6
7
8
9
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11
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13
14
15
16
设长方体的宽为x m，则长为2x m，
高为h==m，
故长方体的体积为
V(x)=2x2=9x2-6x3，故A错误；
从而V'(x)=18x-18x2=18x(1-x)，
令V'(x)=0，解得x=1或x=0(舍去).
当0
1
2
3
4
5
6
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11
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14
15
16
当1
并且这个极大值就是V(x)的最大值，
从而最大体积为V(1)=9×12-6×13=3(m3)，此时长方体的长为2 m，宽为1 m，高为1.5 m，故B，C，D正确.
3.某商场以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为x，销量为y，销量y(单位：件)与零售价x(单位：元)有如下关系：y=8 300-170x-x2，则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
1
2
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√
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4
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7
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13
14
15
16
设毛利润为L(x).
则L(x)=xy-20y
=(8 300-170x-x2)(x-20)
=-x3-150x2+11 700x-166 000(x>20)，
所以L'(x)=-3x2-300x+11 700.
令L'(x)=0，解得x=30或x=-130(舍去).
当20
当x>30时 ，L'(x)<0，则当x=30时，L(x)取得最大值，此时，L(30)=23 000.
根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元.
1
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13
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16
4.把一段长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是
A. cm2 B.4 cm2
C.3 cm2 D.2 cm2
√
1
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3
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7
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15
16
设一段长为x，则另一段长为12-x(0
=(x2-12x+72)
=x2-x+4，
S'(x)=x-，
令S'(x)=0，得x=6，
1
2
3
4
5
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7
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9
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16
当0
易知当x=6时，S(x)最小.
所以S(x)min=S(6)=2(cm2).
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12
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16
5.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为
A. cm B. cm
C. cm D. cm
√
1
2
3
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5
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7
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12
13
14
15
16
设圆锥的高为h cm，0
∴V'=π(400-3h2)，令V'=0，得h=(负值舍去)，
当h∈时，V'>0，当h∈时，V'<0，故当h=时，体积最大.
1
2
3
4
5
6
7
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9
10
11
12
13
14
15
16
6.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)=
则当总利润P(x)最大时，每年生产产品的单位数是
A.150 B.200
C.250 D.300
√
1
2
3
4
5
6
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15
16
由题意得，总利润
P(x)=
当0≤x≤390时，P'(x)=-+300，令P'(x)=0，得x=300(舍负)，
当0≤x≤300时，P'(x)≥0，当300
且P(x)<31 090，
所以当每年生产300单位的产品时，总利润最大.
1
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16
7.某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)=x2(0
令V'(x)=0，得x=40或x=0(舍去)，
当0
当40
所以当箱子的底面边长为40时，体积最大.
40
8.已知某商品的生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为p=25-q.当产量q= 时，利润最大.
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84
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15
16
收入R=q·p=q
=25q-q2，
利润L=R-C=-(100+4q)
=-q2+21q-100(0
令L'=0，即-q+21=0，得q=84；
1
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16
当0
当84
所以产量q=84时，利润最大.
1
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15
16
9.一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？
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设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p=kv3，
因为当v=10时，p=6，所以k==0.006.
于是有p=0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3+96)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
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q'=0.012v-=(v3-8 000)，
令q'=0，解得v=20.
当0
所以当v=20时，q取得最小值.
即当速度为20千米/时时，航行1千米所需的费用总和最少.
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10.某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比.已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件.
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x元的函数关系式；
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设日销售量为=10，
∴k=10e40，则日销售量为件.
则日利润L(x)=(x-30-a)×
=10e40(35≤x≤41).
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(2)当每件产品的售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值.
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L'(x)=10e40.
①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，
当35≤x≤41时，L'(x)<0，L(x)单调递减.
∴当x=35时，L(x)取最大值为10(5-a)e5；
②当4
L(x)取最大值为10.
综上，L(x)max=
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11.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为
A.π B.π
C.π D.π
√
综合运用
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设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，
则4r+2h=l，
∴h=，V=πr2h=πr2-2πr3.
则V'=lπr-6πr2，
令V'=0，得r=0或r=，而r>0，
∴r=是其唯一的极值点，且是极大值点.
∴当r=时，V取得最大值，最大值为π.
12.某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为
A.10 km/h B.20 km/h
C.5 km/h D. km/h
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√
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设速度为x km/h，甲、乙两城距离为a km，比例系数为k，
则总费用f(x)=(kx3+200)=a(0
∴k=，
∴f(x)=a.
令f'(x)==0，解得x=10，
1
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当0
∴当x=10时，f(x)最小.
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13.已知矩形ABCD的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为
，矩形的最大面积为 .
与
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由题意，设矩形边长AD=2x，
则AB=4-x2，
∴矩形面积S=2x·(4-x2)=8x-2x3(0
令S'=0得x=或x=-(舍去).
当0
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当
故这个矩形面积最大时的边长为，
矩形面积的最大值为.
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14.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为____m时，帐篷的体积最大.
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设OO1=x，则1
=.
于是底面正六边形的面积为
6··()2=(8+2x-x2).
帐篷的体积为V(x)=(8+2x-x2)·=(16+12x-x3).
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16
则V'(x)=(12-3x2).
令V'(x)=0，解得x=-2(舍去)或x=2.
当1
当2
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拓广探究
15.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱
容器的底面边长为 时，其容积最大.
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16
设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，
则正六棱柱的底面边长为1-2x，高为x，
所以正六棱柱的体积V=6×(1-2x)2·x=
(4x3-4x2+x)，则V'=(12x2-8x+1).令V'=0，得x=(舍去)或x=.当x∈时，V'>0；当x∈时，V'<0.故当x=时，V有极大值，也是最大值，此时正六棱柱的底面边长为.
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16.如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100 m，其与城站路一边所在直线l相切于点M，MO的延长线交圆O于点N，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，
垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化，设△ABM的面积为S(单位：m2).
(1)以∠AON=θ(rad)为自变量，将S表示成θ的函数；
由题意知，BM=100sin θ，AB=100+100cos θ，
故S=5 000sin θ(1+cos θ)(0<θ<π).
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(2)求使绿化面积最大时点A的位置及最大绿化面积.
1
2
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15
16
因为S=5 000sin θ(1+cos θ)(0<θ<π)，所以S'=5 000(cos θ+cos2θ-sin2θ)=5 000(2cos2θ+cos θ-1)=5 000(cos θ+1)(2cos θ-1).
令S'=0，得cos θ=或cos θ=-1(舍去)，
又θ∈(0，π)，故θ=.
当0<θ<
当<θ<π时，-1
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故当θ=时，S取得极大值，也是最大值，
最大值为3 750，此时AB=150.
即当点A距路边的距离为150 m时，绿化
面积最大，最大面积为3 750 m2.作业32 利用导数解决实际问题
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分
1.已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数解析式为y=-x3+81x-234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为( )
A.13万件 B.11万件
C.9万件 D.7万件
2.(多选)用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，若长方体的宽为x m，则( )
A.长方体的体积V(x)=m3
B.长方体的最大体积为3 m3
C.长方体的体积最大时，长为2 m，宽为1 m
D.长方体的体积最大时，高为1.5 m
3.某商场以每件20元的价格购进一批商品.若该商品零售价定为x，销量为y，销量y(单位：件)与零售价x(单位：元)有如下关系：y=8 300-170x-x2，则最大毛利润为(毛利润=销售收入-进货支出)( )
A.30元 B.60元
C.28 000元 D.23 000元
4.把一段长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )
A. cm2 B.4 cm2
C.3 cm2 D.2 cm2
5.要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为( )
A. cm B. cm
C. cm D. cm
6.某公司生产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100元，若总收入R与年产量x的关系是R(x)=则当总利润P(x)最大时，每年生产产品的单位数是( )
A.150 B.200
C.250 D.300
7.某箱子的体积与底面边长x的关系为V(x)=x2(0
9.(10分)一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？
10.(12分)某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收.设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比.已知每件产品的售价为40元时，日销售量为10件.
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的售价x元的函数关系式；(6分)
(2)当每件产品的售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值.(6分)
11.如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.π B.π
C.π D.π
12.某火车每小时电力消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h时，每小时电力消耗费用为40元，其他费用每小时需200元，火车的最高速度为100 km/h，要使从甲城开往乙城的总费用最少，则速度应为( )
A.10 km/h B.20 km/h
C.5 km/h D. km/h
13.已知矩形ABCD的两个顶点A，D位于x轴上，另两个顶点B，C位于抛物线y=4-x2在x轴上方的曲线上，则这个矩形的面积最大时的边长为 ，矩形的最大面积为 .
14.一个帐篷，它下部的形状是高为1 m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为 m时，帐篷的体积最大.
15.如图所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，当这个正六棱柱容器的底面边长为 时，其容积最大.
16.(12分)如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100 m，其与城站路一边所在直线l相切于点M，MO的延长线交圆O于点N，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在△ABM内进行绿化，设△ABM的面积为S(单位：m2).
(1)以∠AON=θ(rad)为自变量，将S表示成θ的函数；(4分)
(2)求使绿化面积最大时点A的位置及最大绿化面积.(8分)
答案精析
1.C 2.BCD 3.D 4.D 5.B 6.D 7.40 8.84
9.解 设速度为每小时v千米时，
燃料费是每小时p元，
那么由题设知p=kv3，
因为当v=10时，p=6，
所以k==0.006.
于是有p=0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时，
行驶1千米所需的总费用为q元，
那么每小时所需的总费用是
(0.006v3+96)元，
而行驶1千米所用时间为小时，
所以行驶1千米的总费用为
q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q'=0.012v-=(v3-8 000)，
令q'=0，解得v=20.
当0
所以当v=20时，q取得最小值.
即当速度为20千米/时时，
航行1千米所需的费用总和最少.
10.解 (1)设日销售量为，
则=10，
∴k=10e40，则日销售量为件.
则日利润L(x)=(x-30-a)×
=10e40(35≤x≤41).
(2)L'(x)=10e40.
①当2≤a≤4时，33≤a+31≤35，
当35≤x≤41时，L'(x)<0，
L(x)单调递减.
∴当x=35时，
L(x)取最大值为10(5-a)e5；
②当4
易知当x=a+31时，
L(x)取最大值为10.
综上，L(x)max=
11.A 12.A
13.与
解析 由题意，设矩形边长AD=2x，
则AB=4-x2，
∴矩形面积S=2x·(4-x2)
=8x-2x3(0
令S'=0得x=或x=-(舍去).
当0
当
故这个矩形面积最大时的边长为
与，
矩形面积的最大值为.
14.2
解析 设OO1=x，则1
=.
于是底面正六边形的面积为
6··()2
=(8+2x-x2).
帐篷的体积为
V(x)=(8+2x-x2)·
=(16+12x-x3).
则V'(x)=(12-3x2).
令V'(x)=0，
解得x=-2(舍去)或x=2.
当1
V(x)单调递增；
当2
综上，当x=2时，V(x)最大.
15.
解析 设被切去的全等四边形的一边长为x，如图所示，
则正六棱柱的底面边长为1-2x，
高为x，
所以正六棱柱的体积V=6×
(1-2x)2·x
=(4x3-4x2+x)，
则V'=(12x2-8x+1).
令V'=0，得x=(舍去)或x=.
当x∈时，V'>0；
当x∈时，V'<0.
故当x=时，
V有极大值，也是最大值，
此时正六棱柱的底面边长为.
16.解 (1)由题意知，BM=100sin θ，
AB=100+100cos θ，
故S=5 000sin θ(1+cos θ)
(0<θ<π).
(2)因为S=5 000sin θ(1+cos θ)
(0<θ<π)，
所以S'=5 000(cos θ+cos2θ-sin2θ)=5 000(2cos2θ+cos θ-1)
=5 000(cos θ+1)(2cos θ-1).
令S'=0，
得cos θ=或cos θ=-1(舍去)，
又θ∈(0，π)，故θ=.
当0<θ<时，
当<θ<π时，
-1
也是最大值，最大值为3 750，
此时AB=150.
即当点A距路边的距离为150 m时，
绿化面积最大，最大面积为3 750 m2.
