习题课 等差数列前n项和性质的综合问题
［学习目标］ 1.掌握总项数为奇数或偶数时前n项和的特点.2.掌握含绝对值的等差数列的前n项和的求法.3.会解决等差数列前n项和的比值问题.
一、等差数列中奇、偶项的和
问题1 我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n-1吗？
问题2 当总项数为2n时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？
问题3 当总项数为2n-1时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？
知识梳理
1.若等差数列{an}的项数为2n，则S2n= ，S偶-S奇= ，= .
2.若等差数列{an}的项数为2n+1，则S2n+1= ，S偶-S奇= ，= .
例1 在等差数列{an}中，S10=120，且在这10项中，=，则公差d= .
反思感悟 一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项.
跟踪训练1 已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 .
二、含绝对值的等差数列的前n项和
问题4 已知等差数列an=2n-9，求{|an|}的前n项和.
知识梳理
1.若一个等差数列a1<0，d>0，且ak≤0，ak+1>0，则其绝对值的前n项和为Tn=n∈N+.
2.若一个等差数列a1>0，d<0，且ak≥0，ak+1<0，则其绝对值的前n项和为Tn=n∈N+.
例2 数列{an}的前n项和Sn=100n-n2(n∈N+).
(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；
(2)设bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
延伸探究 本例中若an=2n-101，求数列{bn}的前n项和.
反思感悟 求等差数列{an}前n项绝对值的和，首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数，正的直接去掉绝对值，负的变为原来的相反数，即找到正负项的“分界点”，再转化为等差数列{an}的前n项和的形式求解.
跟踪训练2 在等差数列{an}中，a1=-60，a17=-12，求数列{|an|}的前n项和.
三、等差数列前n项和的比值问题
知识梳理
设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=.
例3 有两个等差数列{an}，{bn}满足=，求.
反思感悟 (1)本题反映了等差数列的前n项和的比值与项的比值之间的转化，因为公式an=，所以an∶bn=S2n-1∶T2n-1.
(2)等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征.利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考、推理分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果.
跟踪训练3 已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，=，则等于( )
A. B.
C.1 D.2
1.知识清单：
(1)等差数列中奇、偶项的和.
(2)含绝对值的等差数列的前n项和.
(3)等差数列前n项和的比值问题.
2.方法归纳：公式法、整体代换法、分类讨论法.
3.常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示.
1.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为( )
A.5 B.4
C.3 D.2
2.已知等差数列{an}中，公差d=1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为 .
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5=5a3，则= .
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-9，S5=-25，bn=|an|，的前n项和为Tn，则T10= .
答案精析
问题1 S2n=
=n(a1+a2n)，
S2n-1=，
由等差数列的性质
m+n=p+q am+an=ap+aq可知，
a1+a2n=an+an+1，
a1+a2n-1=2an，
即S2n=n(an+an+1)，
S2n-1=(2n-1)an，
发现总项数为偶数时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数时，其和可用中间一项表示.
问题2 S奇=a1+a3+…+a2n-1
==nan，
S偶=a2+a4+…+a2n==nan+1，
则有S偶-S奇=nan+1-nan
=n(an+1-an)=nd，
==.
问题3 S奇=a1+a3+…+a2n-1
==nan，
S偶=a2+a4+…+a2n-2
==(n-1)an，
则有S奇-S偶=an，=.
知识梳理
1.n(an+an+1) nd
2.(2n+1)an+1 -an+1
例1 2
跟踪训练1 -4
问题4 设{an}的前n项和为Sn，
{|an|}的前n项和为Tn.
则当n≤4时，Tn=-Sn=-n2+8n，
当n≥5时，Tn=(-a1)+(-a2)+(-a3)+(-a4)+a5+a6+…+an
=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4
=n2-8n+32.
∴Tn=
例2 解 (1)当n≥2时，
an=Sn-Sn-1
=(100n-n2)-［100(n-1)
-(n-1)2］=101-2n.
∵a1=S1=100×1-12=99，满足上式，
∴an=101-2n(n∈N+).
又an+1-an=-2为常数，
∴数列{an}是首项为99，
公差为-2的等差数列.
(2)令an=101-2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N+，∴n≤50(n∈N+).
①当1≤n≤50时，an>0，
此时bn=|an|=an，
∴数列{bn}的前n项和
Tn=100n-n2.
②当n≥51时，an<0，
此时bn=|an|=-an，
由b51+b52+…+bn
=-(a51+a52+…+an)
=-(Sn-S50)=S50-Sn，
得数列{bn}的前n项和
Tn=S50+(S50-Sn)
=2S50-Sn=2×2 500-(100n-n2)
=5 000-100n+n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
Tn=n∈N+.
延伸探究 解 由本例可知，
当1≤n≤50时，an<0，
此时bn=-an，数列的前n项和Tn=-n2+100n，
当n≥51时，an>0，b51+b52+…+bn=a51+a52+…+an.
数列的前n项和
Tn=-S50+Sn-S50
=n2-100n+5 000，
综上，Tn=
n∈N+.
跟踪训练2 解 由a1=-60，
a17=-12，知
等差数列{an}的公差
d===3.
所以an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an≤0，知3n-63≤0，即n≤21.
所以{an}中前20项是负数，
从第21项起是非负数.
设Sn和Tn分别表示{an}和{|an|}的前n项和.当n≤20时，
Tn=-Sn=-
=-n2+n.
当n>20时，
Tn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20
=-60n+
-2
=n2-n+1 260，
综上，Tn=
例3 解 方法一 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则
==，
则有=， ①
又由于=， ②
观察①，②，可在①中取n=9，
得==.
故=.
方法二 设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
则有=，
其中An=，
由于a1+a9=2a5.
即=a5，故A9==9a5.
同理B9=9b5.故=.
故===.
方法三 因为等差数列的前n项和为
Sn=an2+bn=an，
根据已知，可令An=(7n+2)kn，
Bn=(n+3)kn(k≠0).
所以a5=A5-A4
=(7×5+2)k×5-(7×4+2)k×4
=65k，
b5=B5-B4=(5+3)k×5-(4+3)k×4=12k.
所以==.
方法四 设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由=，
有===.
跟踪训练3 A
随堂演练
1.C 2.99 3.9 4.50(共72张PPT)
第五章
<<<
习题课 等差数列前n项和
性质的综合问题
1.掌握总项数为奇数或偶数时前n项和的特点.
2.掌握含绝对值的等差数列的前n项和的求法.
3.会解决等差数列前n项和的比值问题.
学习目标
一、等差数列中奇、偶项的和
二、含绝对值的等差数列的前n项和
课时对点练
三、等差数列前n项和的比值问题
随堂演练
内容索引
等差数列中奇、偶项的和
一
提示 S2n==n(a1+a2n)，S2n-1=，由等差数列的性质m+n=p+q am+an=ap+aq可知，a1+a2n=an+an+1，a1+a2n-1=2an，即S2n= n(an+an+1)，S2n-1=(2n-1)an，发现总项数为偶数时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数时，其和可用中间一项表示.
我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n-1吗？
问题1
提示 S奇=a1+a3+…+a2n-1=
=nan，
S偶=a2+a4+…+a2n==nan+1，
则有S偶-S奇=nan+1-nan=n(an+1-an)=nd，
==.
当总项数为2n时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？
问题2
提示 S奇=a1+a3+…+a2n-1=
=nan，
S偶=a2+a4+…+a2n-2=
=(n-1)an，则有S奇-S偶=an，=.
当总项数为2n-1时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？
问题3
1.若等差数列{an}的项数为2n，则S2n= ，S偶-S奇= ，=.
2.若等差数列{an}的项数为2n+1，则S2n+1= ，S偶-S奇= ，=.
n(an+an+1)
nd
(2n+1)an+1
-an+1
(1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数；
(2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半.
注 意 点
<<<
在等差数列{an}中，S10=120，且在这10项中，=，则公差d= .
例 1
2
由
得
所以S偶-S奇=5d=10，所以d=2.
一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项.
反
思
感
悟
已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是 .
跟踪训练 1
-4
设等差数列{an}的项数为2m，
∵末项与首项的差为-28，
∴a2m-a1=(2m-1)d=-28， ①
∵S奇=50，S偶=34，
∴S偶-S奇=34-50=-16=md， ②
由①②得d=-4.
二
含绝对值的等差数列的前n项和
已知等差数列an=2n-9，求{|an|}的前n项和.
问题4
提示 设{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn.
则当n≤4时，Tn=-Sn=-n2+8n，
当n≥5时，Tn=(-a1)+(-a2)+(-a3)+(-a4)+a5+a6+…+an=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-8n+32.
∴Tn=
1.若一个等差数列a1<0，d>0，且ak≤0，ak+1>0，则其绝对值的前n项和为Tn=n∈N+.
2.若一个等差数列a1>0，d<0，且ak≥0，ak+1<0，则其绝对值的前n项和为Tn=n∈N+.
(1)要先去掉绝对值才能求和；
(2)找准分界点是解决此类问题的关键.
注 意 点
<<<
数列{an}的前n项和Sn=100n-n2(n∈N+).
(1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差；
例 2
当n≥2时，an=Sn-Sn-1
=(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]=101-2n.
∵a1=S1=100×1-12=99，满足上式，
∴an=101-2n(n∈N+).
又an+1-an=-2为常数，
∴数列{an}是首项为99，公差为-2的等差数列.
(2)设bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn.
令an=101-2n≥0，得n≤50.5，
∵n∈N+，∴n≤50(n∈N+).
①当1≤n≤50时，an>0，此时bn=|an|=an，
∴数列{bn}的前n项和Tn=100n-n2.
②当n≥51时，an<0，此时bn=|an|=-an，
由b51+b52+…+bn=-(a51+a52+…+an)
=-(Sn-S50)=S50-Sn，
得数列{bn}的前n项和Tn=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2 500-(100n-n2)= 5 000-100n+n2.
由①②得数列{bn}的前n项和为
Tn=n∈N+.
本例中若an=2n-101，求数列{bn}的前n项和.
延伸探究
由本例可知，当1≤n≤50时，an<0，此时bn=-an，数列的前n项和Tn=-n2+100n，
当n≥51时，an>0，b51+b52+…+bn=a51+a52+…+an.
数列的前n项和Tn=-S50+Sn-S50=n2-100n+5 000，
综上，Tn=n∈N+.
求等差数列{an}前n项绝对值的和，首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数，正的直接去掉绝对值，负的变为原来的相反数，即找到正负项的“分界点”，再转化为等差数列{an}的前n项和的形式求解.
反
思
感
悟
在等差数列{an}中，a1=-60，a17=-12，求数列{|an|}的前n项和.
跟踪训练 2
由a1=-60，a17=-12，知
等差数列{an}的公差d===3.
所以an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63.
由an≤0，知3n-63≤0，即n≤21.
所以{an}中前20项是负数，从第21项起是非负数.
设Sn和Tn分别表示{an}和{|an|}的前n项和.
当n≤20时，
Tn=-Sn=-=-n2+n.
当n>20时，
Tn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20
=-60n+-2
=n2-n+1 260，
综上，Tn=
等差数列前n项和的比值问题
三
设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=.
有两个等差数列{an}，{bn}满足=，求.
例 3
方法一 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2，
则=
=，
则有=， ①
又由于=， ②
观察①，②，可在①中取n=9，得==.故=.
方法二 设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，
则有=，其中An=，
由于a1+a9=2a5.
即=a5，故A9==9a5.
同理B9=9b5.故=.
故===.
方法三 因为等差数列的前n项和为
Sn=an2+bn=an，
根据已知，可令An=(7n+2)kn，Bn=(n+3)kn(k≠0).
所以a5=A5-A4
=(7×5+2)k×5-(7×4+2)k×4=65k，
b5=B5-B4=(5+3)k×5-(4+3)k×4=12k.
所以==.
方法四 设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由== ==.
(1)本题反映了等差数列的前n项和的比值与项的比值之间的转化，因为公式an=，所以an∶bn=S2n-1∶T2n-1.
(2)等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征.利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考、推理分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果.
反
思
感
悟
已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，=，则等于
A. B.
C.1 D.2
跟踪训练 3
√
由等差数列的前n项和公式以及等差中项的性质得S11==11a6，
同理可得T11=11b6，因此，====，故选A.
1.知识清单：
(1)等差数列中奇、偶项的和.
(2)含绝对值的等差数列的前n项和.
(3)等差数列前n项和的比值问题.
2.方法归纳：公式法、整体代换法、分类讨论法.
3.常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示.
随堂演练
四
1
2
3
4
1.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.5 B.4
C.3 D.2
√
设等差数列的公差为d，由题意，得S偶-S奇=30-15=5d=15，解得d=3.
1
2
3
4
2.已知等差数列{an}中，公差d=1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为 .
99
由题意，得S奇+S偶=148，
S偶-S奇=50d=50，
解得S偶=99.
3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5=5a3，则= .
1
2
3
4
9
===×5=9.
1
2
3
4
4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-9，S5=-25，bn=|an|，的前n项和为Tn，则T10= .
50
1
2
3
4
设等差数列{an}的公差为d，
∵a1=-9，S5=-25.
∴-9×5+×d=-25，
解得d=2.
∴an=-9+2(n-1)=2n-11.
∵bn=，
所以bn=，
∴T10=+++++1+3+5+7+9=2=50.
课时对点练
五
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是
A.0.5，0.5 B.0.5，1
C.0.5，2 D.1，0.5
√
由于项数为10，故S偶-S奇=15-12.5=5d，∴d=0.5，由15+12.5=10a1+ ×0.5，
得a1=0.5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.一个等差数列共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于
A.6 B.8
C.10 D.12
∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=132，S偶=a2+a4+…+a2n =120，
∴S奇-S偶=a2n+1-nd=an+1=12，
∴=S奇+S偶=252=
=an+1=12，解得n=10.
√
3.一个等差数列的项数为2n，若a1+a3+…+a2n-1=90，a2+a4+…+=72，且a1-a2n=33，则该数列的公差是
A.3 B.-3
C.-2 D.-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
(a2+a4+…+a2n)-(a1+a3+…+a2n-1)=nd=72-90=-18.
又a1-a2n=-(2n-1)d=33，所以d=-3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是
A.2 B.3
C.4 D.5
√
∵====7+为正整数，∴n=1，2，3，5，11，共5个.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
5.设等差数列{an}和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，若=，则t等于
A.5 B.6
C.22 D.
√
由题意可得b3+b11=2b7，则===，解得t=5.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6.(多选)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1+Sn=4(n+1)2，则下列说法正确的有
A.若首项a1=1，则数列{an}的奇数项成等差数列
B.若首项a1=1，则数列{an}的偶数项成等差数列
C.若首项a1=1，则S15=477
D.若首项a1=a，且对任意n∈N+，an
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由Sn+1+Sn=4(n+1)2， ①
得Sn+Sn-1=4n2(n≥2). ②
①-②可得an+1+an=4(n+1)2-4n2
=4(2n+1)(n≥2)， ③
所以an+an-1=4(2n-1)(n≥3). ④
③-④可得an+1-an-1=8(n≥3)，
因此数列{an}从第二项开始，奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
若a1=1，即S1=a1=1，
则S2+S1=4×(1+1)2，
即a2+2a1=16，所以a2=14，S2=15；
由S3+S2=4×(2+1)2得a3+2S2=36，
则a3=6，所以a3-a1=5≠8，
因此数列{an}的奇数项不成等差数列，
偶数项成等差数列，故A错误，B正确；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
S15=a1+(a3+a5+…+a15)+(a2+a4+…+a14)
=1++
=477，故C正确；
因为a3，a5，a7，…，a2n+1，…成公差为8的等差数列，
a2，a4，a6，…，a2n…也成公差为8的等差数列，
所以为使对任意n∈N+，an
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由S2+S1=4×(1+1)2=16，
得a2=16-2a；
由S3+S2=4×(2+1)2=36，
得a3=36-2S2=4+2a；
由S4+S3=4×(3+1)2=64，
得a4=64-2S3=24-2a.
由a<16-2a<4+2a<24-2a，
解得3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且an∶bn=
(2n+1)∶(3n-2)，则= .
∵{an}，{bn}均为等差数列，
∴====.
8.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 .
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11
7
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设等差数列{an}的项数为2n+1(n∈N+)，
S奇=a1+a3+…+a2n+1
==(n+1)an+1，
S偶=a2+a4+a6+…+a2n
==nan+1，
所以==，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解得n=3，所以项数为2n+1=7，
又S奇-S偶=an+1，
即a4=44-33=11为所求的中间项.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2=16，S4=24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
由S2=16，S4=24，得
即
所以等差数列{an}的通项公式为
an=11-2n(n∈N+).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由an≥0，解得n≤5，则
①当n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n.
②当n≥6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn
=2×(-52+10×5)-(-n2+10n)
=n2-10n+50，
故Tn=
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+an+1=2n+1(n∈N+)，求S21.
将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2，
由an+an+1=2n+1①，可以得到an+1+an+2=2n+3②，②-①得an+2-an=2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，则a21=1+ 10×2=21，a20=2+9×2=20，
所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…+a20)=+=231.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
11.若数列{an}的前n项和是Sn=n2-4n+2，则|a1|+|a2|+…+|a10|等于
A.15 B.35
C.66 D.100
√
综合运用
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
易得an=
|a1|=1，|a2|=1，|a3|=1，
令an>0，则2n-5>0，
∴n≥3.
∴|a1|+|a2|+…+|a10|
=1+1+a3+…+a10
=2+(S10-S2)
=2+[(102-4×10+2)-(22-4×2+2)]=66.
12.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为
A. B. C. D.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意，得数列{an}为等差数列，a1=6，S30=11×40+3×10=470，
设数列{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式，得
S30=30×6+d=470，解得d=，
所以an=6+×=n+，
a1+a3+…+a29==15a15，
a2+a4+…+a30==15a16，
所以===.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
13.已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶
数项的和之比为 .
由题意，得等差数列共有11项，所以奇数项的和为S奇==6a6，
偶数项的和为S偶==5a6，
所以其奇数项的和与偶数项的和之比为.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且=(n∈N+)，则+= .
因为b3+b18=b6+b15=b10+b11，
所以+======.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓广探究
15.(多选)已知数列{an}满足a1=10，a5=2，且an+2-2an+1+an=0(n∈N+)，则下列结论正确的是
A.an=12-2n
B.|an|的最小值为0
C.|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=11n-n2
D.当且仅当n=5时，a1+a2+a3+…+an取得最大值30
√
√
由an+2-2an+1+an=0，
得an+2+an=2an+1，
故数列{an}为等差数列.
设其公差为d，则d==-2，
∴an=10-2(n-1)=12-2n，A正确；
∵|an|≥0，且当n=6时，|an|=0，
∴|an|的最小值为0，B正确；
令an≥0，得n≤6，
则当n≥7时，an<0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当n≤6时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=a1+a2+a3+…+an
==11n-n2；
当n≥7时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an)
=2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+an)
=2×(11×6-62)-
=n2-11n+60，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
即|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=C错误；
∵当n≤5时，an>0，
当n=6时，an=0，
当n≥7时，an<0，
∴当n=5或n=6时，a1+a2+a3+…+an取得最大值30，D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
因为数列是公差为2的等差数列，且=a1=1，所以=1+× 2=2n-1，所以Sn=2n2-n，
又因为an=Sn-Sn-1，所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n-3，
又因为a1=1符合上式，所以an=4n-3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)若bn=(-1)nan，求数列的前n项和Tn.
因为bn=an=，
当n为偶数时，Tn=+5++13+…+[-]+，
所以Tn=[+5]+[+13]+…+{[-(4n-7)]+(4n-3)}=4×=2n，
当n为奇数时，Tn=Tn-1+bn=2+[-(4n-3)]=1-2n，
综上可知，Tn=作业9 等差数列前n项和性质的综合问题
(分值：100分)
单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分
1.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是( )
A.0.5，0.5 B.0.5，1
C.0.5，2 D.1，0.5
2.一个等差数列共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于( )
A.6 B.8
C.10 D.12
3.一个等差数列的项数为2n，若a1+a3+…+a2n-1=90，a2+a4+…+=72，且a1-a2n=33，则该数列的公差是( )
A.3 B.-3
C.-2 D.-1
4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是( )
A.2 B.3
C.4 D.5
5.设等差数列{an}和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，若=，则t等于( )
A.5 B.6
C.22 D.
6.(多选)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1+Sn=4(n+1)2，则下列说法正确的有( )
A.若首项a1=1，则数列{an}的奇数项成等差数列
B.若首项a1=1，则数列{an}的偶数项成等差数列
C.若首项a1=1，则S15=477
D.若首项a1=a，且对任意n∈N+，an
8.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是 ，项数是 .
9.(10分)已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2=16，S4=24，求数列{|an|}的前n项和Tn.
10.(11分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+an+1=2n+1(n∈N+)，求S21.
11.若数列{an}的前n项和是Sn=n2-4n+2，则|a1|+|a2|+…+|a10|等于( )
A.15 B.35
C.66 D.100
12.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为( )
A. B.
C. D.
13.已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为 .
14.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且=(n∈N+)，则+= .
15.(多选)已知数列{an}满足a1=10，a5=2，且an+2-2an+1+an=0(n∈N+)，则下列结论正确的是( )
A.an=12-2n
B.|an|的最小值为0
C.|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=11n-n2
D.当且仅当n=5时，a1+a2+a3+…+an取得最大值30
16.(12分)已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；(6分)
(2)若bn=(-1)nan，求数列的前n项和Tn.(6分)
答案精析
1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.BCD
7. 8.11 7
9.解 设等差数列{an}的首项为a1，
公差为d，
由S2=16，S4=24，
得
即解得
所以等差数列{an}的通项公式为
an=11-2n(n∈N+).
由an≥0，解得n≤5，则
①当n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn
=-n2+10n.
②当n≥6时，
Tn=|a1|+|a2|+…+|an|
=a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn
=2×(-52+10×5)-(-n2+10n)
=n2-10n+50，
故Tn=
10.解 将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2，
由an+an+1=2n+1①，
可以得到an+1+an+2=2n+3②，
②-①得an+2-an=2，
所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，
则a21=1+10×2=21，
a20=2+9×2=20，
所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…+a20)
=+=231.
11.C 12.C 13.
14.
解析 因为b3+b18=b6+b15=b10+b11，
所以+=
==
===.
15.AB ［由an+2-2an+1+an=0，
得an+2+an=2an+1，
故数列{an}为等差数列.
设其公差为d，则d==-2，
∴an=10-2(n-1)=12-2n，A正确；
∵|an|≥0，且当n=6时，|an|=0，
∴|an|的最小值为0，B正确；
令an≥0，得n≤6，
则当n≥7时，an<0，
当n≤6时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=a1+a2+a3+…+an
==11n-n2；
当n≥7时，
|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=(a1+a2+…+a6)-
(a7+a8+…+an)
=2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+an)
=2×(11×6-62)-
=n2-11n+60，
即|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|
=C错误；
∵当n≤5时，an>0，
当n=6时，an=0，
当n≥7时，an<0，
∴当n=5或n=6时，
a1+a2+a3+…+an取得最大值30，D错误.］
16.解 (1)因为数列是公差为2的等差数列，且=a1=1，
所以=1+×2=2n-1，
所以Sn=2n2-n，
又因为an=Sn-Sn-1，
所以当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=4n-3，
又因为a1=1符合上式，
所以an=4n-3.
(2)因为bn=an
=，
当n为偶数时，Tn=+5++13+…+［-］+，
所以Tn=［+5］+［+13］+…+{［-(4n-7)］+(4n-3)}
=4×=2n，
当n为奇数时，Tn=Tn-1+bn
=2+［-(4n-3)］=1-2n，
综上可知，Tn=
