［学习目标］ 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题.
一、数学归纳法定义的理解
问题 如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
知识梳理
数学归纳法的定义：一个与自然数有关的命题，如果
(1)当n=n0时，命题成立；
(2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出 时命题也成立.那么这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.
例1 (1)(多选)下面四个判断中错误的是( )
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1+k
C.式子1+++…+(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1++
D.设f(n)=++…+(n∈N+)，则f(k+1)=f(k)+++
(2)用数学归纳法证明：1-+-+…+-=++…+，第一步应验证的等式是 ；从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是 .
反思感悟 数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k+1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.
跟踪训练1 (1)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是( )
A.1 B.1+2
C.1+2+3 D.1+2+3+4
(2)用数学归纳法证明：1+++…+
A.2×3k B.3k
C.3k+1 D.1
二、用数学归纳法证明等式
例2 用数学归纳法证明：
12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).
反思感悟 用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n=k到n=k+1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n=k+1时证明目标的表达式进行变形.
跟踪训练2 用数学归纳法证明：1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N+).
三、用数学归纳法证明不等式
例3 用数学归纳法证明：2n>(n+1)2(n≥6，且n∈N+).
反思感悟 用数学归纳法证明不等式的四个关键点
跟踪训练3 用数学归纳法证明：++…+>(n≥2，n∈N+).
四、用数学归纳法证明几何问题
例4 在教材中，我们已研究出如下结论：平面上n个圆把平面最多分成n2-n+2个区域.现探究：空间内n个平面最多可将空间分成多少个部分，n∈N+.设空间内n个平面最多可将空间分成f(n)=an3+bn2+cn+1个部分.
(1)求a，b，c的值；
(2)用数学归纳法证明此结论.
跟踪训练4 平面内有n(n∈N+，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)=.
1.知识清单：
(1)数学归纳法的定义.
(2)数学归纳法的应用.
2.方法归纳：放缩法、配项凑项法等.
3.常见误区：
(1)从n=k到n=k+1时，增加的项数易出现错误.
(2)归纳假设只设不用而致误.
1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时，初始值n0的取值应为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
2.用数学归纳法证明等式1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N+)的过程中，第二步假设当n=k时，等式成立，则当n=k+1时，应得到( )
A.1+3+5+…+(2k+1)=k2
B.1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2
C.1+3+5+…+(2k+1)=(k+2)2
D.1+3+5+…+(2k+1)=(k+3)2
3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为( )
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
4.已知f(n)=1+++…+(n∈N+).用数学归纳法证明f(2n)>，请补全证明过程：
(1)当n=1时，f(21)=1+>；
(2)假设n=k时命题成立，即f(2k)>，则当n=k+1时，f(2k+1)=f(2k)+ ，
即当n=k+1时，命题成立.
由(1)(2)可知，对任意n∈N+，都有f(2n)>成立.
5
一、等差与等比数列的基本运算
1.数列的基本运算以小题居多，但也可作为解答题第一步命题，主要考查利用数列的通项公式及求和公式，求数列中的项、公差、公比及前n项和等，一般试题难度较小.
2.通过等差、等比数列的基本运算，培养数学运算、逻辑推理等核心素养.
例1 在等比数列{an}中，已知a1=2，a4=16.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.
反思感悟 在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d或q，Sn，其中a1和d或q为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d或q，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.
跟踪训练1 已知等差数列{an}的公差d=1，前n项和为Sn.
(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；
(2)在(1)的条件下，若a1>0，求Sn.
二、等差、等比数列的判定
1.判定等差或等比数列是数列中的重点内容，经常在解答题中出现，对给定条件进行变形是解题的关键所在，经常利用此类方法构造等差或等比数列.
2.通过等差、等比数列的判定与证明，培养逻辑推理、数学运算等核心素养.
例2 已知数列{an}满足a1=1，nan+1=2(n+1)·an.设bn=.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求数列{an}的通项公式.
跟踪训练2 已知数列{an}满足a1=，且当n>1，n∈N+时，有=.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项？如果不是，请说明理由.
三、数列求和
1.数列求和一直是考查的热点，在命题中，多以与不等式的证明或求解相结合的形式出现.一般数列的求和，主要是将其转化为等差数列或等比数列的求和问题，题型多以解答题的形式出现，难度中等.
2.通过数列求和，培养数学运算、逻辑推理等核心素养.
例3 已知数列{an}是n次多项式f(x)=a1x+a2x2+…+anxn的系数，且f(1)=.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求f，并说明f<2.
跟踪训练3 正项数列{an}满足：-(2n-1)an-2n=0.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)令bn=，求数列{bn}的前n项和Tn.
答案精析
问题 不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了.
知识梳理
n=k+1
例1 (1)ABD (2)1-=
-
跟踪训练1 (1)D (2)A
例2 证明 (1)当n=1时，
左边=12-22=-3，
右边=-1×(2×1+1)=-3，
所以左边=右边，等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时等式成立，
即12-22+32-42+…+(2k-1)2
-(2k)2=-k(2k+1)成立.
则当n=k+1时，12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+［2(k+1)-1］2-［2(k+1)］2
=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2
=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2
=(k+1)［2k+1-4(k+1)］
=(k+1)(-2k-3)
=-(k+1)［2(k+1)+1］，
所以当n=k+1时，等式也成立.
由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立.
跟踪训练2 证明 (1)当n=1时，左边=1，右边=2(2-3)+3=1，
左边=右边，所以等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时，
等式成立，即1+3×2+5×22+…
+(2k-1)×2k-1=2k(2k-3)+3.
则当n=k+1时，1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k
=2k(2k-3)+3+(2k+1)×2k
=2k(4k-2)+3
=2k+1［2(k+1)-3］+3，
即当n=k+1时，等式也成立.
由(1)(2)知，等式对任何n∈N+都成立.
例3 证明 (1)当n=6时，
26>(6+1)2，不等式成立；
(2)假设当n=k，k≥6时，
2k>(k+1)2，
当n=k+1时，2k+1=2×2k>2×(k+1)2=2k2+4k+2，
因为2k2+4k+2-(k+2)2=k2-2，
因为k≥6，所以k2-2>0，
所以2k+1>(k+2)2，
即2k+1>［(k+1)+1］2，
所以当n=k+1时，不等式成立.
由(1)(2)可知，当n≥6时，2n>(n+1)2.
跟踪训练3 证明 (1)当n=2时，+==>.
(2)假设当n=k(k≥2且k∈N+)时，不等式成立.
即++…+>，
那么当n=k+1时，
++…+
=++…++++-
=++->++-=+
-=+>.
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.
由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.
例4 解 (1)由f(1)=2，f(2)=4，
f(3)=8，
得
解得
(2)用数学归纳法证明
f(n)=n3+n+1，n∈N+.
①当n=1时，由(1)的计算可知结论显然成立.
②假设当n=k时命题成立，
即f(k)=k3+k+1，
那么当n=k+1时，在k个平面的基础上再添上第k+1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得到k条互不平行且不共点的交线，且其中任何3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划分成k2+k+1个部分.每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了k2+k+1个，
所以f(k+1)=f(k)+k2+k+1
=k3+k+1+k2+k+1
=(k+1)3+(k+1)+1，
即n=k+1时，结论成立.
根据①②可知，
f(n)=n3+n+1，n∈N+.
跟踪训练4 证明 (1)当n=2时，两条直线的交点只有一个.
又f(2)=×2×(2-1)=1，
∴当n=2时，命题成立.
(2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数
f(k)=k(k-1)，
那么，当n=k+1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)=k(k-1)，
l与其他k条直线的交点个数为k.
从而k+1条直线共有f(k)+k个交点，
即f(k+1)=f(k)+k=k(k-1)+k
=k(k-1+2)=k(k+1)
=(k+1)［(k+1)-1］，
∴当n=k+1时，命题成立.
由(1)(2)可知，对任意n∈N+(n≥2)命题都成立.
随堂演练
1.C 2.B 3.D
4.++…+>+++…+>+=+=(共70张PPT)
第五章
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*§5.5 数学归纳法
1.了解数学归纳法的原理.
2.能用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题.
学习目标
归纳是一种由特殊事例导出一般规律的思维方法.归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种.不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全部都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的.完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论.数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种推理方法，在数学问题的解决过程中有着广泛的应用.
导 语
一、数学归纳法定义的理解
二、用数学归纳法证明等式
课时对点练
三、用数学归纳法证明不等式
随堂演练
内容索引
四、用数学归纳法证明几何问题
数学归纳法定义的理解
一
提示 不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在我们数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了.
如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，能否判断袋子里面的小球都是绿色的？
问题
数学归纳法的定义：一个与自然数有关的命题，如果
(1)当n=n0时，命题成立；
(2)在假设n=k(其中k≥n0)时命题成立的前提下，能够推出 时命题也成立.那么这个命题对大于等于n0的所有自然数都成立.
n=k+1
(1)(多选)下面四个判断中错误的是
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1+k
C.式子1+++…+(n∈N+)中，当n=1时，式子的值为1++
D.设f(n)=++…+(n∈N+)，则f(k+1)=f(k)+++
例 1
√
√
√
A中，当n=1时，式子的值为1+k；
B中，当n=1时，式子的值为1；
C中，当n=1时，式子的值为1++；
D中，f(k+1)=f(k)+++-.故错误的是ABD.
(2)用数学归纳法证明：1-+-+…+-=++…+，第一步应验
证的等式是 ；从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的等式是
______________ .
1-=
-
当n=1时，应当验证的第一个式子是1-=，从“n=k”到“n=k+1”左边需增加的式子是-.
数学归纳法是一种只适用于与自然数有关的命题的证明方法，它们的表述严格而且规范，两个步骤缺一不可.第一步是递推的基础，第二步是递推的依据，第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在第二步的证明中一定要运用它，否则就不是数学归纳法.第二步的关键是“一凑假设，二凑结论”.在用数学归纳法证明问题的过程中，还要注意从k→k+1时命题中的项与项数的变化，防止对项数估算错误.
反
思
感
悟
(1)用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+)时，第一步验证n=1时，左边应取的项是
A.1 B.1+2
C.1+2+3 D.1+2+3+4
跟踪训练 1
√
(2)用数学归纳法证明：1+++…+
A.2×3k B.3k
C.3k+1 D.1
√
当n=k时，共有3k-1项；当n=k+1时，共有3k+1-1项，故左边增加的项数为(3k+1-1)-(3k-1)=2×3k.
二
用数学归纳法证明等式
用数学归纳法证明：
12-22+32-42+…+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(n∈N+).
例 2
(1)当n=1时，左边=12-22=-3，
右边=-1×(2×1+1)=-3，
所以左边=右边，等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1)时等式成立，
即12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立.
则当n=k+1时，12-22+32-42+…+(2k-1)2-(2k)2+[2(k+1)-1]2-[2(k+1)]2
=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2
=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2
=(k+1)[2k+1-4(k+1)]
=(k+1)(-2k-3)
=-(k+1)[2(k+1)+1]，
所以当n=k+1时，等式也成立.
由(1)(2)可知对于任意正整数n，等式都成立.
用数学归纳法证明等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从n=k到n=k+1等式两端的项是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明n=k+1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并向n=k+1时证明目标的表达式进行变形.
反
思
感
悟
用数学归纳法证明：1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n-1=2n(2n-3)+3(n∈N+).
跟踪训练 2
(1)当n=1时，左边=1，右边=2(2-3)+3=1，左边=右边，所以等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N+)时，等式成立，即1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1= 2k(2k-3)+3.
则当n=k+1时，1+3×2+5×22+…+(2k-1)×2k-1+(2k+1)×2k=2k(2k-3)+3+ (2k+1)×2k=2k(4k-2)+3=2k+1[2(k+1)-3]+3，
即当n=k+1时，等式也成立.
由(1)(2)知，等式对任何n∈N+都成立.
用数学归纳法证明不等式
三
用数学归纳法证明：2n>(n+1)2(n≥6，且n∈N+).
例 3
(1)当n=6时，26>(6+1)2，不等式成立；
(2)假设当n=k，k≥6时，2k>(k+1)2，
当n=k+1时，2k+1=2×2k>2×(k+1)2=2k2+4k+2，
因为2k2+4k+2-(k+2)2=k2-2，
因为k≥6，所以k2-2>0，
所以2k+1>(k+2)2，即2k+1>[(k+1)+1]2，
所以当n=k+1时，不等式成立.
由(1)(2)可知，当n≥6时，2n>(n+1)2.
反
思
感
悟
用数学归纳法证明不等式的四个关键点
用数学归纳法证明：++…+>(n≥2，n∈N+).
跟踪训练 3
(1)当n=2时，+==>.
(2)假设当n=k(k≥2且k∈N+)时，不等式成立.
即++…+>，
那么当n=k+1时，
++…+
=++…++++-
=++->++-
=+-
=+>.
这就是说，当n=k+1时，不等式也成立.
由(1)(2)可知，原不等式对任意大于1的正整数都成立.
用数学归纳法证明几何问题
四
在教材中，我们已研究出如下结论：平面上n个圆把平面最多分成n2-n+2个区域.现探究：空间内n个平面最多可将空间分成多少个部分，n∈N+.设空间内n个平面最多可将空间分成f(n)=an3+bn2+cn+1个部分.
(1)求a，b，c的值；
例 4
由f(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，
得
解得
(2)用数学归纳法证明此结论.
用数学归纳法证明f(n)=n3+n+1，n∈N+.
①当n=1时，由(1)的计算可知结论显然成立.
②假设当n=k时命题成立，即f(k)=k3+k+1，
那么当n=k+1时，在k个平面的基础上再添上第k+1个平面，因为它和前k个平面都相交，所以可得到k条互不平行且不共点的交线，且其中任何3条直线不共点，这k条交线可以把第k+1个平面划分成k2+k+1个部分.每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域，因此，空间区域的总数增加了k2+k+1个，
所以f(k+1)=f(k)+k2+k+1
=k3+k+1+k2+k+1
=(k+1)3+(k+1)+1，
即n=k+1时，结论成立.
根据①②可知，f(n)=n3+n+1，n∈N+.
反
思
感
悟
用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k增加到k+1时，所证的几何量增加多少，同时要善于利用几何图形的直观性，建立k与k+1之间的递推关系.
平面内有n(n∈N+，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证：交点的个数f(n)=.
跟踪训练 4
(1)当n=2时，两条直线的交点只有一个.
又f(2)=×2×(2-1)=1，
∴当n=2时，命题成立.
(2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线的交点个数f(k)=k(k-1)，
那么，当n=k+1时，
任取一条直线l，除l以外其他k条直线的交点个数为f(k)=k(k-1)，
l与其他k条直线的交点个数为k.
从而k+1条直线共有f(k)+k个交点，
即f(k+1)=f(k)+k=k(k-1)+k
=k(k-1+2)=k(k+1)
=(k+1)[(k+1)-1]，
∴当n=k+1时，命题成立.
由(1)(2)可知，对任意n∈N+(n≥2)命题都成立.
1.知识清单：
(1)数学归纳法的定义.
(2)数学归纳法的应用.
2.方法归纳：放缩法、配项凑项法等.
3.常见误区：
(1)从n=k到n=k+1时，增加的项数易出现错误.
(2)归纳假设只设不用而致误.
随堂演练
五
1
2
3
4
1.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n-2)π”时，初始值n0的取值应为
A.1 B.2
C.3 D.4
√
1
2
3
4
2.用数学归纳法证明等式1+3+5+…+(2n-1)=n2(n∈N+)的过程中，第二步假设当n=k时，等式成立，则当n=k+1时，应得到
A.1+3+5+…+(2k+1)=k2
B.1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2
C.1+3+5+…+(2k+1)=(k+2)2
D.1+3+5+…+(2k+1)=(k+3)2
√
由数学归纳法知第二步假设当n=k时，等式成立，则当n=k+1时，应得到1+3+5+…+(2k+1)=(k+1)2.
3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
1
2
3
4
√
1
2
3
4
4.已知f(n)=1+++…+(n∈N+).用数学归纳法证明f(2n)>，请补全证明过程：
(1)当n=1时，f(21)=1+>；
(2)假设n=k时命题成立，即f(2k)>，则当n=k+1时，f(2k+1)=f(2k)+________
_______________________________________________________________
_________________，即当n=k+1时，命题成立.
由(1)(2)可知，对任意n∈N+，都有f(2n)>成立.
+…+>+++…+>+=+=
+
1
2
3
4
因为当n=k时，f(2k)=1+++…+>，
所以当n=k+1时，f(2k+1)=1+++…++++…+ >+++…+>+=+=.
课时对点练
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础巩固
1.用数学归纳法证明f(n)=2n-n2>0(n≥5，n∈N+)时，应先证明
A.f(1)>0 B.f(2)>0
C.f(4)>0 D.f(5)>0
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2.凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n
C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其他不相邻的n-2个顶点可引n-2条对角线；原来的一条边变为对角线，所以共增加n-1条.
√
3.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=，n∈N+”，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上
A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3
B.(k3+1)+(k3+2)+…+(k3+k+1)
C.(k+1)3
D.
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当n=k时，左端式子为1+2+3+…+k3，当n=k+1时，左端式子为1+2+3+…+k3+(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3，
两式比较可知增加的式子为(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3.
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4.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1×3·…·(2n-1)(n∈N+)，从k到k+1，左端需要增乘的代数式为
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
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当n=k时，左端为(k+1)(k+2)(k+3)·…·2k，
当n=k+1时，左端为(k+2)(k+3)·…·2k·(2k+1)·(2k+2)，
因为(k+2)(k+3)·…·2k·(2k+1)·(2k+2)
=[(k+1)(k+2)(k+3)·…·2k]·2(2k+1)，
所以从k到k+1，左端需要增乘的代数式为2(2k+1).
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5.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k+1成立时，总能推出f(k+1)≥k+2成立，那么下列命题总成立的是
A.若f(1)<2成立，则f(10)<11成立
B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k+1成立
C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立
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6.对于不等式
(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时，不等式成立，即
B.对n=1时的验证不正确
C.归纳假设过程不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
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从n=k到n=k+1的推理过程中未用到n=k时的假设，故推理不正确.
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7.已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1-+-+…+-=2时，若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n= 时等式成立.
当n=k(k≥2且k为偶数)时，1-+-+…+-=2成立.
由于是所有正偶数，则归纳推广，下一个数为n=k+2时，等式成立.
k+2
8.在用数学归纳法证明“f(n)=+++…+<1(n∈N+，n≥3)”的过程中，假设当n=k(k∈N+，k≤3)时，不等式f(k)<1成立，则需证当n=k+1
时，f(k+1)<1也成立.若f(k+1)=f(k)+g(k)，则g(k)= .
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∵f(k)=+++…+，
f(k+1)=++…+++，
∴f(k+1)-f(k)=+-.
∵f(k+1)=f(k)+g(k)，
∴g(k)=+-.
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9.求证：1+++…+=(n∈N+).
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①当n=1时，左边=1，右边==1，所以左边=右边，等式成立.
②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，等式成立，
即1+++…+=.
则当n=k+1时，1+++…++
=+=+==.
则当n=k+1时，等式也成立.
由①②可知，对任意n∈N+，等式成立.
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10.已知x>-1，且x≠0，n∈N+，且n≥2.
用数学归纳法证明：(1+x)n>1+nx.
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(1)当n=2时，左边=(1+x)2=1+2x+x2，右边=1+2x.
因为x2>0，所以原不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时不等式成立，
即(1+x)k>1+kx.
当n=k+1时，因为x>-1，所以1+x>0.
于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+kx)·(1+x)=1+(k+1)x+kx2，
右边=1+(k+1)x，
因为kx2>0，所以左边>右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x.
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立.
根据(1)和(2)可知，原不等式对任何不小于2的正整数都成立.
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11.用数学归纳法证明1+++…+
A.1+<2 B.1++<2
C.1++<3 D.1+++<3
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综合运用
由题意得，当n=2时，
不等式为1++<2.
12.(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N)的自然数都成立，则以下满足条件的k的值为
A.1 B.2
C.3 D.4
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13.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2，n∈N+)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式左边
A.增加了一项
B.增加了两项，
C.增加了B中两项但减少了一项
D.以上各种情况均不对
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依据数学归纳法的证明步骤可知，假设当n=k时，则有+ +…+<成立；
当n=k+1时，不等式的左边为++…+=++… +++.
∴增加了，故选C.
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14.探索表达式A=(n-1)(n-1)！+(n-2)(n-2)！+…+2·2！+1·1！(n>1，且n∈N+)的结果时，第一步当n= 时，A= .
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∵n>1，且n∈N+，
∴当n=2时，
A=(2-1)(2-1)！=1.
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拓广探究
15.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)”能被9整除，要利用归纳假设证当n=k+1时的情况，只需展开
A.(k+3)3 B.(k+2)3
C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3
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假设当n=k时，原式能被9整除，
即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.
当n=k+1时，(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3为了能用上面的归纳假设，
只需将(k+3)3展开，让其出现k3即可.
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16.设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N+，都有Sn=+成立.
(1)求a1，a2，a3；
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∵对任意n∈N+，都有Sn=+成立，
∴a1=S1=+，解得a1=1，
S2=+，即a1+a2=2+，解得a2=2，
S3=+，即a1+a2+a3=+，解得a3=3.
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(2)猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.
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由(1)猜想an=n.
证明：①当n=1时，a1=1，显然成立；
②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，ak=k成立，则
当n=k+1时，ak+1=Sk+1-Sk
=+--
=+--，
∴ak+1=k+1，
即当n=k+1时，等式也成立，
由①②可知，对任意n∈N+，an=n都成立.*作业19 数学归纳法
(分值：100分)
单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分
1.用数学归纳法证明f(n)=2n-n2>0(n≥5，n∈N+)时，应先证明( )
A.f(1)>0 B.f(2)>0
C.f(4)>0 D.f(5)>0
2.凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n+1)边形的对角线的条数f(n+1)为( )
A.f(n)+n+1 B.f(n)+n
C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-2
3.用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=，n∈N+”，则当n=k+1时，左端应在n=k的基础上加上( )
A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3
B.(k3+1)+(k3+2)+…+(k3+k+1)
C.(k+1)3
D.
4.用数学归纳法证明等式(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1×3·…·(2n-1)(n∈N+)，从k到k+1，左端需要增乘的代数式为( )
A.2k+1 B.2(2k+1)
C. D.
5.设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k+1成立时，总能推出f(k+1)≥k+2成立，那么下列命题总成立的是( )
A.若f(1)<2成立，则f(10)<11成立
B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k+1成立
C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立
D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立
6.对于不等式
(2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时，不等式成立，即
B.对n=1时的验证不正确
C.归纳假设过程不正确
D.从n=k到n=k+1的推理不正确
7.已知n为正偶数，用数学归纳法证明：1-+-+…+-=2时，若已假设n=k(k≥2且k为偶数)时等式成立，则还需要用归纳假设证n= 时等式成立.
8.在用数学归纳法证明“f(n)=+++…+<1(n∈N+，n≥3)”的过程中，假设当n=k(k∈N+，k≤3)时，不等式f(k)<1成立，则需证当n=k+1时，f(k+1)<1也成立.若f(k+1)=f(k)+g(k)，则g(k)= .
9.(10分)求证：1+++…+=(n∈N+).
10.(12分)已知x>-1，且x≠0，n∈N+，且n≥2.
用数学归纳法证明：(1+x)n>1+nx.
11.用数学归纳法证明1+++…+
A.1+<2 B.1++<2
C.1++<3 D.1+++<3
12.(多选)用数学归纳法证明>对任意n≥k(n，k∈N)的自然数都成立，则以下满足条件的k的值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
13.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2，n∈N+)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式左边( )
A.增加了一项
B.增加了两项，
C.增加了B中两项但减少了一项
D.以上各种情况均不对
14.探索表达式A=(n-1)(n-1)！+(n-2)(n-2)！+…+2·2！+1·1！(n>1，且n∈N+)的结果时，第一步当n= 时，A= .
15.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)”能被9整除，要利用归纳假设证当n=k+1时的情况，只需展开( )
A.(k+3)3 B.(k+2)3
C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3
16.(12分)设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N+，都有Sn=+成立.
(1)求a1，a2，a3；(5分)
(2)猜测数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明.(7分)
答案精析
1.D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.D
7.k+2 8.+-
9.证明 ①当n=1时，左边=1，
右边==1，
所以左边=右边，等式成立.
②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，
等式成立，
即1+++…+=.
则当n=k+1时，
1+++…++
=+
=+==.
则当n=k+1时，等式也成立.
由①②可知，对任意n∈N+，等式成立.
10.证明 (1)当n=2时，左边=(1+x)2=1+2x+x2，右边=1+2x.
因为x2>0，所以原不等式成立.
(2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时不等式成立，即(1+x)k>1+kx.
当n=k+1时，因为x>-1，
所以1+x>0.
于是左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)
>(1+kx)·(1+x)=1+(k+1)x+kx2，
右边=1+(k+1)x，
因为kx2>0，所以左边>右边，
即(1+x)k+1>1+(k+1)x.
这就是说，原不等式当n=k+1时也成立.
根据(1)和(2)可知，原不等式对任何不小于2的正整数都成立.
11.B 12.CD
13.C ［依据数学归纳法的证明步骤可知，假设当n=k时，
则有++…+<成立；
当n=k+1时，不等式的左边为++…+=++…+++.
∴增加了，两项，
减少了一项，故选C.］
14.2 1
解析 ∵n>1，且n∈N+，
∴当n=2时，
A=(2-1)(2-1)！=1.
15.A ［假设当n=k时，原式能被9整除，
即k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除.
当n=k+1时，(k+1)3+(k+2)3+
(k+3)3为了能用上面的归纳假设，
只需将(k+3)3展开，
让其出现k3即可.］
16.解 (1)∵对任意n∈N+，
都有Sn=+成立，
∴a1=S1=+，解得a1=1，
S2=+，即a1+a2=2+，
解得a2=2，S3=+，
即a1+a2+a3=+，
解得a3=3.
(2)由(1)猜想an=n.
证明：①当n=1时，a1=1，显然成立；
②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，
ak=k成立，则当n=k+1时，
ak+1=Sk+1-Sk
=+--
=+--，
∴ak+1=k+1，
即当n=k+1时，等式也成立，
由①②可知，对任意n∈N+，
an=n都成立.
