龙东地区2024-2025学年高二上学期阶段测试（四）数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设等差数列，，，则（ ）
A.-5 B.18 C.23 D.28
2.设是等比数列，且，，则公比（ ）
A.-2 B.2 C.-8 D.8
3.在直三棱柱中，，，分别是，的中点，，则与所成角的正弦值是（ ）
A. B. C. D.
4.设数列的前项和为，则“是等差数列”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长构成一个等比数列，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
6.如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，会徽的主题图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知，，，…为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则（ ）
A.9 B.10 C.11 D.12
7.若过点的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.已知数列满足，则的前100项和为（ ）
A.2475 B.2500 C.2525 D.5050
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.在等比数列中，已知，，则数列的通项公式可能是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
10.数列的前项和，则（ ）
A. B. C.数列有最小项 D.是等差数列
11.已知是双曲线的右焦点，为其左支上一点，点，为坐标原点，则（ ）
A.双曲线的焦距为6
B.点到渐近线的距离为2
C.的最小值为
D.若，则的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线上与焦点的距离等于3的点的坐标是_____.
13.数列满足，，则数列的通项公式为_____.
14.已知数列的首项，且，则_____；满足的最大整数的值为_____.（第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）在数列中，，且.
（1）求的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
16.（15分）若数列每相邻3项满足，（且），则称其为调和数列.
（1）若数列为调和数列，证明数列是等差数列；
（2）调和数列中，，，求数列的前项和.
17.（15分）已知椭圆的一个顶点为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，.
（1）求椭圆的方程；
（2）当时，求的面积.
18.（17分）数列、满足：，，，其中是数列的前项和.
（1）求数列，的通项公式；
（2）若，都有成立，求实数的取值范围；
（3）求数列的前项和.
19.（17分）对于数列，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称为数列.
（1）若的前项和，试判断是否是数列，并说明理由；
（2）设数列，，……，是首项为-1公差为的等差数列，若该数列是数列，求的取值范围.
阶段测试卷（四）数学参考答案及评分意见
1.B
2.A
3.C
4.A
5.A
6.B
7.B
8.A
9.AC
10.AD
11.AC
12.
13.
14.；2023
15.解：（1），
是首次为4，公比为2的等比数列…………2分
，
，…………4分
（2），，
……6分
当为偶数，
……9分
当为奇数
…………12分
综上：……13分
16.解：（1）证明：若为调和数列，则，（且），
所以，
即，…………2分
所以，
即，…………5分
所以，
所以数列是等差数列.…………7分
（2）由（1）可得是等差数列，且，公差为1，
所以通项公式为，解得；……9分
故……12分
所以前项和为；……15分
17.解：（1）由题意得解得
所以椭圆的方程为.……5分
（2）由得，……7分
由，得，两点存在.
设点，的坐标分别为，，则，.…………9分
所以
，……11分
又因为点到直线的距离，……13分
所以的面积为.……15分
18.解：（1）设，
所以，，
即，
因为，所以，
所以……3分
又因为，
所以，，
作差得，
化简得，
所以是首项为1，公比为的等比数列，
所以……6分
（2），，……8分
因为，所以，，……10分
所以，解得，
所以的取值范围是…………12分
（3）因为，
所以，
所以.……14分
作差得，
所以……17分
19.解：（1）证明：因为，，
则，……3分
当时，不适合上式，故，……5分
那么当时，符合题意，
故数列是数列……8分
（2）由题意知，该数列的前项和为，……10分
，……12分
由数列，，……，是数列，
可知，故公差，
对满足，的任意都成立，
则时，，明显成立；……15分
时，令，解得，
故的取值范围为……17分
