交大附中2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.10
一、填空题（本大题共有18题，题每题3分，题每题4分，满分60分）
1.函数的最小正周期为 .
2.已知复数是方程的一个根,则实数 .
3.若幂函数在上是严格减函数,则 .
4.已知集合,若,则实数 .
5.已知函数为偶函数，则 .
6.要考查某种品牌的850颗种子的发芽率,从中抽取50颗种子进行实验,利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读,则抽到的第4颗种子的编号是 .（下面抽取了随机数表第1行至第3行）
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
7.中,,则 .
8.设图像的一条对称轴是直线,则直线的倾斜角为 .
9.二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则它的展开式中常数项为 .
（用数字作答）
10.正实数满足:，则的取值范围为 .
11.已知双曲线的渐近线的夹角为,则其离心率为 .
12.若函数的部分图像如图所示,则的值是 .
13.直线与椭圆交于A、B两点,F为椭圆左焦点.则周长最大值是 .
14.定义在上的函数满足且对于任意,均有,若对于所有满足上述条件的函数,均存在实数,使得对于任意,总有,则实数的最小值为 .
15.已知点在所在平面内,满足,且,则边的长为 .
16.设一个几何体的表面积为，体积为，定义其体积系数。将两个完全相同的正棱锥底面完全贴合在一起构成一个新的多面体，其体积系数与原正棱锥体积系数相同，则该正棱锥侧面与底面所成的角为 .（弧度数,精确到0.1弧度)
17.对于平面中的点集，定义直线相
对的"拟合误差"为.已知点集,直线相对的"拟合误差"的最小值为 .
18.已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上,则此正方形的面积为 .
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）
19.设,则""是"且"的（ ）.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
20.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）.
A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生
C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生
21.已知与是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是（ ）.
A.无论如何，总是无解 B.无论如何，总有唯一解
C.存在，使之恰有两解 D.存在，使之有无穷多解
22.某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方
差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ）.
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若,则
三、解答题（本大题共有2题，满分24分）
23.(本题满分8分)本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分.
已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点的直线与交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若的上顶点为,直线的斜率分别为,求证:为定值.
24.(本题满分16分)本题共3个小题，第1小题2分，第2小题6分，第3小题8分.
已知函数是定义在上的增函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若为周期函数，证明：是常值函数；
（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数.证明："是周期函数"的充要条件是"是常值函数".
交大附中2024学年第一学期高三年级数学月考
2024.10
一、填空题（本大题共有18题，题每题3分，题每题4分，满分60分）
1.函数的最小正周期为 .
【答案】
2.已知复数是方程的一个根,则实数 .
【答案】-12
3.若幂函数在上是严格减函数,则 .
【答案】-2.
4.已知集合,若,则实数 .
【答案】-2
5.已知函数为偶函数，则 .
【答案】-1
6.要考查某种品牌的850颗种子的发芽率,从中抽取50颗种子进行实验,利用随机数表法抽取种子，先将850颗种子按进行编号，如果从随机数表第2行第2列的数开始并向右读,则抽到的第4颗种子的编号是 .
（下面抽取了随机数表第1行至第3行）
03 47 43 73 86 36 96 47 36 61 46 98 63 71 62 33 26 16 80 45 60 11 14 10 95
97 74 94 67 74 42 81 14 57 20 42 53 32 37 32 27 07 36 07 51 24 51 79 89 73
16 76 62 27 66 56 50 26 71 07 32 90 79 78 53 13 55 38 58 59 88 97 54 14 10
【答案】572
7.中,,则 .
【答案】
8.设图像的一条对称轴是直线,则直线的倾斜角为 .
【答案】
9.二项式的展开式中仅有第5项系数最大，则它的展开式中常数项为 .
（用数字作答）
【答案】28
10.正实数满足:，则的取值范围为 .
【答案】,利用双曲线的图像
11.已知双曲线的渐近线的夹角为,则其离心率为 .
【答案】或2
12.若函数的部分图像如图所示,则的值是 .
【答案】
【详解】根据函数的部分图象，
可得,即的图象关于点对称，
的最小正周期,又，,
又，显然,.
故答案为：.
13.直线与椭圆交于A、B两点,F为椭圆左焦点.则周长最大值是 .
【答案】
【详解】记椭圆右焦点为,则周长
当且仅当直线经过右焦点（不经过左焦点）时取得等号.
14.定义在上的函数满足且对于任意,均有,若对于所有满足上述条件的函数,均存在实数,使得对于任意,总有,则实数的最小值为 .
【答案】1012
【解析】若,则,
若，不妨设,
则
综上所述,,
下证是最小的:
设函数,则函数满足.
对于任意不等的实数，不妨假设，
则
因此是满足已知条件的函数.
取,则.综上可得,的最小值为1012.
故答案为：1012.
15.已知点在所在平面内,满足,且,则边的长为 .
【答案】
【详解】取的中点,则,因为,所以,
所以,又为公共端点,所以三点共线,所以点在边的中线上,
且,同理点在边的中线上,即点为的重心,
故,因为,
所以点为的外心,即为为中垂线的交点,
故,
则,
所以,而,所以,
即，所以,所以,
所以.故答案为:.
16.设一个几何体的表面积为，体积为，定义其体积系数。将两个完全相同的正棱锥底面完全贴合在一起构成一个新的多面体，其体积系数与原正棱锥体积系数相同，则该正棱锥侧面与底面所成的角为 .（弧度数,精确到0.1弧度)
【答案】1.3弧度
【解析】设正棱锥底面积为,侧面积为,体积为.则
故，解得
17.对于平面中的点集，定义直线相
对的"拟合误差"为.已知点集,直线相对的"拟合误差"的最小值为 .
【答案】
【解析】方法一：
方法二：记，则最小值的几何意义为点到组成的平面的距离.易求得平面法向量为，
故
18.已知一个正方形的四个顶点都在函数的图象上,则此正方形的面积为 .
【答案】10或17
【解析】由得函数关于点中心对称，显然该正方形的中心为(见备注)，
由正方形性质得于,且,
设直线的方程为,则直线的方程为,
设，则，
联立直线方程与函数得,即,
所以，同理，又
所以，即，
化简得，所以或，
所以或，
所以
或17.故答案为：10或17
【备注】现证明，正方形中心必与三次函数对称中心重合.
将函数对称中心平移到原点，不妨设.
形成正方形，则.
若为奇函数，
则，正方形对称中心为原点.
下面假设，
，则。
结合可知或的显然矛盾.
故正方形对称中心必为原点，即为函数对称中心。
从证明过程可以看出，将正方形改为平行四边形，对称中心即与三次函数对称中心重合.
二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）
19.设,则""是"且"的（ ）.
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件
【答案】B
20.某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是（ ）.
A.理科男生多于文科女生 B.文科女生多于文科男生
C.理科女生多于文科男生 D.理科女生多于理科男生
【答案】C
【解析】
，相加，得，故理科女生多于文科男生.
举例可知其他选项错误.
21.已知与是直线(为常数)上两个不同的点,则关于和的方程组的解的情况是（ ）.
A.无论如何，总是无解 B.无论如何，总有唯一解
C.存在，使之恰有两解 D.存在，使之有无穷多解
【答案】B
直线不经过原点,所以不共线.
恰好分别为直线的法向量，
故两直线不平行，一定恰有一个交点.
22.某班同学身高的平均数为，方差为，其中女生身高的平均数为，方
差为，男生身高的平均数为，方差为，下列说法错误的是（ ）.
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若,则
【答案】B
【解析】选项,所以,
若,则,,故选项A正确.
选项C：若，则，故选项C正确.
选项D:
所以
若,则,带入可得故选项D正确.
选项B，构造反例：
，则：故选项B错误.
(可以从方差的实际含义上来举例解释，两部分各自波动程度很小的数据，如果各自均值差距较大，合并在一起波动程度可能会比本来各自波动程度都大）故选：B.
三、解答题（本大题共有2题，满分24分）
23.(本题满分8分)本题共有2个小题，第1小题满分3分，第2小题满分5分.
已知椭圆的右顶点为，离心率为，过点的直线与交于两点.
(1)求椭圆的方程;
(2)若的上顶点为,直线的斜率分别为,求证:为定值.
【答案】（1） （2）见解析
【解析】（1）由题意知,解得,所以的方程为
（2）显然直线的斜率存在，设直线的方程为：，由,得,
由方程的判别式,可得,
所以,易得,
所以,
所以
24.(本题满分16分)本题共3个小题，第1小题2分，第2小题6分，第3小题8分.
已知函数是定义在上的增函数.
（1）若，求的取值范围；
（2）若为周期函数，证明：是常值函数；
（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.函数.证明："是周期函数"的充要条件是"是常值函数".
【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析
【解析】（1）恒成立，故；
（2）反证：假设周期为的函数不是常值函数，注意到是定义在上的增函数,则存在,满足.取,则,
由是增函数,则,矛盾.
故是常值函数.
（3）（充分性）是常值函数，则显然是周期函数。
（必要性）是周期函数，设其周期为周期为，在处取得最大值.
（方法一）反证法：假设函数不是常值函数.
注意到是定义在上的增函数，则存在，满足.若，用代替，则我们总可以假设.
取,有,所以这与矛盾，所以假设不成立.故函数是常值函数.
（方法二）对任意正整数，
所以，函数是增函数，所以在上为常值函数.注意到为任意正整数，所以上为常值函数.
对于任意固定的正整数，对重复一样的推理可知，
上为常值函数.正整数是任意的，所以上为常值函数.
