鹤岗市第一中学2023-2024学年高一年级
12月考试数学试题
考试时间：2小时 总分：150分
一、单选题（每题5分，40分）
1．已知以原点为顶点，轴的非负半轴为始边的角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
2．满足的角的集合为（ ）
A． B．
C． D．
3．当时，在同一坐标系中，函数与的图象是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知集合 ，若，则实数a的值为
A．1 B．2 C．1或2 D．4
5．已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
6．若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设函数则（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数满足，若函数的图像与的图像有4个交点，分别为，，，，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．2a
二、多选题（每题6分，24分）
9．下列每组函数不是同一函数的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
10．已知函数的图像如图所示，则的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列结论正确的是（ ）
A．是第二象限角
B．第三象限角的集合为
C．终边在轴上的角的集合为
D．若角为锐角，则角为钝角
12．已知且，若，且，则（ ）
A． B．的最大值为
C． D．的最小值为
三、填空题（每题5分，20分）
13．函数是幂函数，则实数的值为 ．
14．已知函数，则单调递增区间为 ．
15．设，则 ．
16．已知函数（其中m，，且）的图象恒过定点，若，则 .
四、解答题
17．（10分）已知函数，函数．
(1)在同一直角坐标系中画出、的图象；
(2)，用表示、中的较小者，记为．
①用解析法表示函数，并写出函数的值域；
②讨论关于的方程的根的个数．（直接写出结论）
18．（10分）
（1）计算：；（4分）
（2）已知，求的值.（6分）
19．（11分）已知，，，.
(1)求；（5分）
(2)求角.（6分）
20．（11分）已知为定义在上的奇函数，且当时，.
(1)求函数的解析式；（5分）
(2)求函数在区间上的最小值.（6分）
21．（11分）已知函数是一次函数，且满足.
(1)求的解析式；（5分）
(2)判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义给与证明.（6分）
22．（14分）已知函数，．
(1)若对任意的，恒成立，求实数的取值范围；（6分）
(2)设函数，在区间上连续不断，证明：函数有且只有一个零点，且．（8分）数学答案
1.C；2.D；3.C；4.C；5.C；6.D；7.B；8.B；9.ABC；10.AB；11.AC；12.ACD
13．或；14．/；15．3；16．
17．(1)图象见解析
(2)①，值域为；②答案见解析.
【分析】（1）根据函数解析式可作出函数、的图象；
（2）①根据（1）中的图象可写出函数的解析式，进而可作出函数的图象，求出值域；②根据函数的图象可得出在不同取值下方程的根的个数.
【详解】（1）在同一直角坐标系中作出函数、的图象如下图所示：
（2）①由（1）中的图象可得，作出函数的图象如下图所示：
所以函数的值域为；
②由①中的图象可得出以下结论：
当时，方程无实根；
当或时，方程只有一个实根；
当时，方程有两个实根.
18．（1）；（2）
【分析】（1）结合指对数的运算性质化简即可；
（2）结合两次平方关系即可求得.
【详解】（1）原式.
（2），
，
即，
，
，，
.
19．(1)7
(2)
【分析】（1）两边平方得，从而求出，得到，联立求出正弦和余弦，得到正切值；
（2）由题目条件得到，故，由同角三角函数关系求出，进而由求出正弦值，结合角的范围得到答案.
【详解】（1）①，两边平方得，
所以，
从而，
因为，所以，
故，，，
所以，②
联立①②解得，，
故；
（2）因为，，，
所以，
由于在上单调递减，
所以，
其中，
由（1）知，，
而，与矛盾，舍去，
，满足要求，
故，
所以
，
因为，
所以.
20．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据函数的奇偶性求得的解析式.
（2）对进行分类讨论，根据二次函数的性质求得正确答案.
【详解】（1）∵函数是定义在上的奇函数，
∴，且，
∴，
设，则，
∴，
∴，
所以.
（2）依题意，，
当时，，
有，所以：
①当时，，
②当时，.
21．(1)
(2)单调递减，证明见解析
【分析】（1）设，代入得出方程组，求解即可得出答案；
（2）先求出.然后任取，且，作差整理得出，即可得出证明.
【详解】（1）（1）由已知可设，
由，得，
整理可得，
所以，解得，
所以，.
（2）由（1）得，在上单调递减.
证明：任取，且，
则
.
因为，所以，，，
所以，，即，
所以，在上单调递减.
22．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）求得，从而问题转化为当时，恒成立，分、、进行解答即可；
（2）对进行分类讨论，分为：和，利用零点存在定理结合函数的性质，即可求解.
【详解】（1），
因为，恒成立，所以当时，恒成立，
当时，成立，
当时，成立，
当时，在单调递减，则，即，
综上所述，实数的取值范围为．
（2）函数的图象在区间上连续不断．
①当时，因为与在区间上单调递增，
所以在区间上单调递增．
因为，，
所以，
根据函数零点存在定理，存在，使得，
所以在区间上有且只有一个零点；
②当时，因为单调递增，所以，
因为，所以，所以在区间上没有零点．
综上，有且只有一个零点．
因为，即，
所以，，
因为在区间上单调递减，所以，
所以．
【点睛】关键点睛：
第二问对进行分类讨论时，①当时，因为与在上单调递增，再结合零点存在定理，即可求解；②当时，恒成立，所以，在上没有零点；最后利用，得到，然后化简可求解.
