青岛第五十九中学2024--2025学年九年级上学期期中考试
数学试题
（考试时间：120分钟：满分：120分）
温馨提示：
1.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号等信息填写在答题卡和答题纸上．
2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．
或写在答题纸上．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他标号．写在本试卷上无效．
3.回答第II卷时，将答案写在答题纸上．写在本试卷上无效．
第I卷（共54分）
一、选择题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共30分）
1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列各组中的四条线段（单位：cm）成比例的是（ ）
A 3，6，5，4 B. 3，4，6，9 C. 1，5，2，3 D. 2，4，5，10
3. 四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（ ）
A. B. C. D.
4. 下列说法正确的是（ ）
A. 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形
B. 一组邻边相等的平行四边形是矩形
C. 菱形有四条对称轴
D. 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形
5. 为执行“均衡教育”政策，某区2022年投入教育经费2500万元，预计到2024年底三年累计投入1.2亿元． 若投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，四边形是菱形，对角线交于点O，E是边的中点，过点E作，点F，G为垂足，若，则的长为（ ）
A. 5 B. 6.5 C. 10 D. 12
8. 如图，张老汉想用长为75米棚栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个面积为720平方米的矩形羊圈，并在边上留一个5米宽的门（门用其他材料）．设的长为x米，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
9. 如图，，分别是正方形边，上的点，且，与相交于．下列结论：①；②；③；④．其中错误的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
10. 如图，在正方形中有一个小正方形，其中点，分别在边，上，点在线段上．若正方形的面积为，，则正方形的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共24分）
11. 一元二次方程二次项系数是_______，一次项系数是________，常数项是__________．
12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计盒子中大约有红球______个．
13. 如图，O是矩形的对角线的中点，M是的中点．若，则四边形的周长为 ___________．
14. 一个主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体，如果舞台长为米，一个主持人现在站在处，则他应至少再走______米才最理想．
15. 某学习小组同学在元旦互相赠贺年卡一张，全组共赠贺年卡张，设这个小组共有同学个．根据题中的条件，列出关于的方程为：______．
16. 小亮希望测量出电线杆的高度，他在电线杆旁的点处立一标杆，标杆的影子与电线杆的影子部分重叠（即点、、在一直线上），量得米，米．则电线杆的高为________米．
17. 如图，矩形中，，，为对角线的中点，交于．则线段的长为____________________．
18. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使…按此规律进行下去，则点的坐标为________．
第II卷（共6分）
19. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹，如图，是一块三角形余料，工人师傅要把它加工成一个菱形零件，使点为菱形一个顶点，一组邻边分别在上，另一个顶点在上，试协助工人师傅用尺规画出这个菱形．
结论：
20. 解方程
（1）（公式法）；
（2）（配方法）；
（3）；
（4）．
21. 随着《黑神话：悟空》这款融合了中国传统文化精髓与现代游戏技术的力作横空出世，不仅激发了玩家对神话故事的无限遐想，更意外地点燃了公众对山西这片古老土地的热情．游戏中精心选取的27处山西实景，如同一幅幅生动的历史画卷，引领我们穿越时空，感受五千年文明的深厚底蕴．某旅游公司推出“跟着悟空游山西”二日游路线．小明家、小米家利用双休日出去旅游．每次出游只能选一条路线．
“跟着悟空游山西”二日游推荐路线 A、临汾线：小西天、广胜寺、铁佛寺 B、长治线：观音堂、紫庆寺 C、朔州线：尝福寺、应县木塔 D、晋中线：平遥镇国寺、平遥双林寺
（1）小米家这周想选A路线，小明家选不到A路线的概率是多少？
（2）如果小明家相约小米家一起出去旅游，两个家庭都从上面四条路线中选一条路线去游玩，请用树状图或列表的方法求出两家选取同一条路线的概率．
22. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
23. 已知：如图，的对角线，交于点，分别过点，作， ，连接交于点．
（1）求证：；
（2）当满足什么条件时，四边形为菱形？请说明理由．
24. 2023年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．
（1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？
（2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价2元，每天可多售出8件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则每件售价应降低多少元？
25. （1）【问题呈现】如图1，和都是等边三角形，连接．请直接写出和的数量关系．
（2）【类比探究】如图2，和都是等腰直角三角形，．连接．请直接写出的值．
（3）【拓展提升】如图3，和都是直角三角形，，且．连接．
①求的值；
②延长交于点，交于点．若，，求的长．
26. 已知：如图，在中，，，．点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；过点作，交于点．同时，点从点出发，沿向点匀速运动，速度为；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接．设运动时间为（），解答下列问题：
（1）当为何值时，四边形为平行四边形？
（2）当为何值时，；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻，使？若不存在，请说明理由，若存在，求出的值；
（4）当为何值时，为等腰三角形？请直接写出答案．
青岛第五十九中学2024--2025学年九年级上学期期中考试
数学试题 简要答案
第I卷（共54分）
一、选择题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共30分）
【1题答案】
【答案】A
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】B
【8题答案】
【答案】B
【9题答案】
【答案】A
【10题答案】
【答案】C
二、填空题（每小题3分，每题只有一个正确选项，共24分）
【11题答案】
【答案】 ①. 3 ②. ③.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】20
【14题答案】
【答案】##
【15题答案】
【答案】
【16题答案】
【答案】
【17题答案】
【答案】
【18题答案】
【答案】
第II卷（共6分）
【19题答案】
【答案】作图略．
【20题答案】
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【21题答案】
【答案】（1）
（2）
【22题答案】
【答案】（1）
（2）
【23题答案】
【答案】（1）证明略；
（2）时，四边形为菱形，理由略．
【24题答案】
【答案】（1）月平均增长率是；
（2）售价应降低元．
【25题答案】
【答案】(1) ，理由略；(2)；(3)①；②
【26题答案】
【答案】（1）；
（2）；
（3）当的值为或时，；
（4）当为或或时，为等腰三角形．
