2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考
（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：华东师大版第23章图形的相似~第24章解直角三角形
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．二次根式 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 ，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
3．在 中， ， ， ，则 等于（ ）
A．25 B．12 C．9 D．16
4．下列方程中是关于 x的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图， 与 是位似图形，点 O是位似中心，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
6．福州白塔是福州的标志性建筑之一，也是中国现存最早的木塔之一（如图 ．小明想测量白塔 的高度
（如图 ，在离白塔底端 正前方 8米的 处，用高为 1.5米的测角仪 测得白塔顶部 A处的仰角为 ，则
白塔 的高度为（ ）
A． 米 B． 米
C． 米 D． 米
7．若关于 一元二次方程 有实数解，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． 且 D． 且
8．实数 ， 在数轴上的位置如图所示，则 化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在矩形 中， ，点 分别在边 上， 交于点 ，
若 是 的中点，则线段 的长度是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，正方形 中， 平分 ，交 于点 E，将 绕点 B顺时针旋转 得到 ，延
长 交 于点 G，连 、 ， 交 于点 H．下列结论① ；② ；③ ；
④ 正确的是（ ）
A．①②③④ B．②③ C．①③ D．①②
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 8小题，每小题 3分，共 24分。
11．两个相似三角形的相似比为 ，则它们的面积之比为 ．
12．已知 是关于 x 的一元二次方程，则 ．
13．如图，在 中， ， ， ， 是边 的中点， ，垂足为 ．则
的长为 ．
14．已知三角形的两边长分别是 3和 4，第三边长是 的根，则该三角形的面积为 ．
15．设 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的平方根是 ．
16．如图 中， ， 在 上，且 ， 交 于点 ，若 ， ，
则 的长为 ．
17．已知 ， 是方程 的两个实数根，则代数式 的值是 ．
18．如图，在 中， ， ， ，连接 ，过点 B作 于
点 E，延长 交 于点 F．则 的长为 ．
三、解答题：本题共 7小题，共 66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
19．（12分）计算
(1) (2)
(3) (4)
20．（7分）解方程： ．
21．（7分）如图，在 中， ， ， ．求 的长、 和 的值．
22．（8分）如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ， ， ．
(1)以原点 O为位似中心，在第一象限内画出 的位似图形 ，使它与 的相似比为 2：1．
(2)写出 的坐标．
23．（10分）如图，为了测量无人机的飞行高度，在水平地面上选择观测点 A，B． 无人机悬停在 C处，此
时在 A处测得 C的仰角为 无人机垂直上升 悬停在 D处，此时在 B 处测得 D的仰角为
点 A， B， C， D在同一平面内， A， B两点在 的同侧． 求无人机在 C 处时
离地面的高度．（参考数据： ）
24．（10分）中秋节期间，某水果店以每箱 60元的价格出售石榴，每天可卖出 150箱，后期因石榴的大量
上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知石榴售价每箱下降 1元，则每天能多售出 3箱（同
一天中售价不变）．
(1)设售价每箱下降 元，则每天能售出________箱（用含 的代数式表示）；
(2)当石榴每箱下降多少元时，每天能获得 9072元的销售额；
(3)水果店定了“每天售出石榴的销售额为 10000元”的“小目标”，按题目的条件否能达成这个“小目标”？若能
达成，求出达成时每箱的售价；若不能达成，请说明理由．
25．（12分）如图，
(1)如图 1，在矩形 中， 于点 H，交 于点 E．求证： ；
(2)如图 2，在四边形 中， ．E是边 上的一动点，过点 C作
，交 的延长线于点 G，交 的延长线于点 F．试探究 是否为定值？若是，请求出 的值；若
不是，请说明理由；
(3)如图 3，在 中， ，将 沿 翻折得到 ，点 E，F分别在边 上，连
接 ．若 ，且 = ，则 的值为 ．2024-2025学年九年级数学上学期第三次月考
参考答案
第一部分（选择题 共 30 分）
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共 30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B C D A A D A D A
第二部分（非选择题 共 90 分）
二、填空题：本题共 8小题，每小题 3分，共 24分。
11．16: 81 12． 2 13 7． 14. 6
2
15.±2 2 16.2 17. 4049 18. 6 10
7
三、解答题：本题共 7小题，共 66分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
19．（1）解：原式= 3 6 2 6 + 2 2 (2分)
4 3
= 8 6 + 7 2 (3分)
3 4
（2）解：原式= 9 × 3 ÷ 3 × 15 × 8 ÷ 1
2 3 5
= 9 × 10 2 (5分)
2
= 45 2 (6分)
2
（3）解：原式= 3 + 2 3 3 32
= 3 + 2 3 6 (8分)
= 9 + 2 3 (9分)
（4）解：原式= 4 1 + 3 6 (11分)
= 6 6 (12分)
20．解：整理得 2 4 12 = 0，
因式分解，得 6 + 2 = 0， (4分)
∴ 6 = 0 或 + 2 = 0，
∴ 1 = 6， 2 = 2． (7分)
21．解：在 Rt △ 中，∠ = 90°， = 12， = 9，
由勾股定理得 = 2 2 = 122 92 = 3 7， (4分)
则 sin = = 9 = 3 tan = = 3 7， = 7 (7分)
12 4 9 3
22．（1）解：如图所示：
(4分)
（2）解：由图可知： 1 8，6 (8分)
23．解：过点 C 作 ⊥ 于点 M， 设 = m， 则 = 10 + m，
在 Rt △ 中， ∠ = 63°26'，
则 tan∠ = tan63°26' = = = 2，
则 = 2 ， = 2 5；
在 Rt △ 中， ∠ = 36°52'， (5分)
则 tan∠ = tan36°52' = = 2 5 = 3，
10+ 4
解得： = 10，
经检验， = 10是该分式方程的解．
∴ = 2 5 = 15m． (10分)
答：无人机在 C 处时离地面 15m．
24．（1）解：由题意可知，每天能售出：(150 + 3 )箱，
故答案为：(150 + 3 )； (2分)
（2）设售价每箱下降 元，
由题意得：(60 )(150 + 3 ) = 9072，
整理得： 2 10 + 24 = 0，
解得： 1 = 4， 2 = 6，
∴ 60 = 60 4 = 56 或 60 6 = 54，
答：每箱下降 4元或 6元时，每天能获得 9072元的销售额； (6分)
（3）按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下：
设售价每箱下降 元，
由题意得：(60 )(150 + 3 ) = 10000，
整理得：3 2 30 + 1000 = 0，
∴ 2 4 = 302 3 × 4 × 1000 = 11100 < 0，
∴不能达到这个“小目标”． (10分)
25．（1）解：∵四边形 为矩形，
∴∠ = ∠ = 90°，
∵ ⊥ ，
∴∠ + ∠ = ∠ + ∠ = 90°，
∴∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
= ∴ ； (4分)
2 （ ） 是定值，
如下图，过点 作 ⊥ 交 延长线于点 ，
∴∠ = ∠ = ∠ = 90°，
∴四边形 为矩形，
∴ = ， = ，
∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
又∵∠ + ∠ = ∠ + ∠ ，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
∴ = ，
∵ = 9， = 7， = 4，
∴ = = = 5，
∴ = 2 2 = 2 6，
= 2 6∴ = = 6，
4 2
6
∴ 为定值 ； (8分)
2
（3）如下图，过点 作 ⊥ 于点 ，交 于点 ，作 ⊥ 于点 ，
∴∠ = ∠ = 90°，
∴ ∥ ，
∴∠ = ∠ ，
∵∠ = ∠ ，∠ = ∠ ，
∴△ ∽△ ，
3
∴ = = ，
5
∵将△ 沿 翻折得到△ ，
∴ = ，∠ = ∠ ，
设 = 3 ，则 = = 5 ，
∴ = 2 2 = 4 ，
∵ ⊥ ， ⊥ ，∠ = ∠ ，
∴ = ，
∵ △ + △ = △ ，
1
即 × 4 × + 1 × 5 × = 1 × 3 × 4 ，
2 2 2
= 4 ∴ ，
3
∵ ∥ ，
∴△ ∽△ ，
∴ =
= = 4 ∴ = 3． (12分)
4
3
