雅安中学2024—2025学年上期半期教学质量评估九年级
数学参考答案与评分细则
一、选择题（每小题4分，共32分）
1． B 2.A 3.C 4.D 5.C 6.A 7.D 8.D
二、填空题：（每小题4分，共20分）
9． 2 ．
10． ﹣1 ．
11． 3：5 ．
12． ．
13． 30
三、解答题（共48分）
14．（12分）按要求解下列方程：
（1）x2﹣7x+10＝0（因式分解法）；
（2）3x2﹣2x﹣1＝0（求根公式法）；
（3）x2+2x﹣1＝0（配方法）．
解：（1）x2﹣7x+10＝0，
∴（x﹣5）（x﹣2）＝0， .....2分
∴x﹣5＝0或x﹣2＝0， ......3分
∴x1＝5，x2＝2； ......4分
（2）3x2﹣2x﹣1＝0，
∴a＝3，b＝﹣2，c＝﹣1， .....1分
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣1）＝4+12＝16＞0， .....2分
∴x＝＝， ......3分
∴x1＝﹣，x2＝1； .....4分
（3）x2+2x﹣1＝0，
x2+2x＝1， .....1分
x2+2x+1＝2，即（x+1）2＝2， ......2分
∴x+1＝，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． ......4分
15．解：（1）如图所示：△OA1B1即为所求； .....2分
（2）如图所示：△OA2B2即为所求； ....4分
（3）△OA2B2的面积＝×5×（2+2）＝10． .....5分
M（5，0），或M（1，2），或M（-1，-2）。 ........8分
16．：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH，
∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，
∴△BAC∽△FEC、△ADB∽△GDH， ......3分
设AB＝x，BC＝y
∴， ........6分
解得． .......7分
答；这棵古松的高约为10.2米 . ......8分
17．解：（1）本次被调查的学生有：70÷35%＝200（人），
扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为：＝72°，
故答案为：200，72°； .......2分
（2）条形统计图中，B（信息技术）专业的人数为：200﹣40﹣70﹣30＝60（人），
故答案为：60；
补全条形统计图如下：
......4分
（3）画树状图如下：
..........8分
共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、丙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、丙两名同学的概率为＝． .......10分
18．解：（1）∵Δ＝（8+k）2﹣4×8k
＝（k﹣8）2， .....2分
∵（k﹣8）2≥0，
∴△≥0，
∴无论k取任何实数，方程总有实数根； .......3分
（2）∵x1+x2＝8+k，x1 x2＝8k，， .....5分
（x1+x2）2＝x+x+2x1 x2，
∴（8+k）2＝68+16k， ......6分
解得：k＝±2； ......7分
（3）解方程x2﹣（8+k）x+8k＝0得x1＝k，x2＝8， .....8分
①当腰长为5时，则k＝5，
∵5+5＞8，
周长＝8+5+5＝18； ........9分
②当底边为5时，
∴k＝8，
∵5+8＞8，
∴周长＝5+8+8＝21． .....10分
四、填空题（每小题4分，共20分）
19． ．
20． ．
21.
22． 10 ．
23．①③④ ．（全对给4分，答对一个给1分，答对2个给2分）。
五、解答题（共30分）
24．解：（1）因为销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，当上涨a元时，销售量减少10a个，可得出销售量为（400﹣10a）个．
故答案为（400﹣10a）个． ......2分
（2）解：设上涨了a元，根据题意得
（40+a﹣30）（400﹣10a）＝6000， ......4分
整理得a2﹣30a+200＝0，
解得a1＝10，a2＝20，
由于要尽量让利消费者，故a＝10，
则销售单价为40+10＝50（元）．
答：销售单价应定为50元． .....6分
（3）解：设销售单价为x元，根据题意得
30×[400﹣10（x﹣40）]≤9000， ......7分
解得x≥50．
答：销售单价至少应定为50元． ......8分
25．解：（1）x2﹣6x+14＝x2﹣6x+9+5＝（x﹣3）2+5，
∵（x﹣3）2≥0，
∴（x﹣3）2+5≥5，
∴当x＝3时，代数式x2﹣6x+14有最小值是5，
故答案为：3，5； ......2分
（2）m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25＝（m﹣n）2﹣4（m﹣n）+4+21＝（m﹣n﹣2）2+21，
∵（m﹣n﹣2）2≥0，
∴（m﹣n﹣2）2+21≥21，
∴当m﹣n＝2时，多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值是21； .....3分
（3），
由题意得，AQ＝x，BP＝x，则BQ＝3﹣x，CP＝4﹣x， ......6分
S△QPD＝S长方形ABCD﹣S△ADQ﹣S△QBP﹣S△CDP＝3×4﹣×x×4﹣×（3﹣x）×x﹣×3×（4﹣x）＝x2﹣2x+6＝（x2﹣4x）+6＝（x2﹣4x+4）+4＝（x﹣2）2+4，即S＝（x﹣2）2+4， .......8分
∵（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2≥0，
∴（x﹣2）2+4≥4，
∴当x＝2时，S有最小值是4． ......10分
26．（
．
解：（1）∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∠ACO＝∠CBO，
∴△AOC∽△COB，
∴，
∵OA＝1，OB＝4，
∴OC＝2，点C坐标为（0，﹣2）， .......2分
∴直线BC的解析式为； .......3分
（2）①设点D的坐标为．
如图1所示，作SD∥y轴，AK∥y轴，分别交直线BC于点S、点K． ......4分
∵，
∴，
∵∠OHK＝∠SHD，∠HAK＝∠HDS，
∴△AHK∽△DHS，
∴＝＝，
∵A（﹣1，0），D，
∴，，
∴，
∴＝，则m＝，
∴D1（，﹣）． .......6分
如图2所示，作SD∥y轴，HT∥y轴，分别交x轴于点S、点T．
∵＝，
∴＝，
∴＝，
∵SD∥y轴，HT∥y轴，
∴∠DSA＝∠HTA，∠HAS＝∠HAT，
∴△ADS∽△AHT，
∴，
∵A（﹣1，0），D，
∴，
∴代入得，
∴．
综上所述，满足条件的点D坐标为（，﹣）或（，）； ......8分
（3）如图3﹣1中，当∠NBM＝90°时，设直线BN交y轴于点D．
∴直线l2∥BC，
∴直线l2的解析式为y＝x，
∵直线l1交y轴于点K（0，﹣6），
∴OK＝6，
∵△BOD∽△KOB，
∴＝，
∴＝，
∴OD＝，
∵直线BN的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴（，）． ......9分
如图3﹣2中，
由，解得，
∴G（6，3），
取点P（0，7），连接PG，PB，交PB交直线l2于点N，作NM⊥BG于点M，则BG＝，PG＝2，PB＝，
∴PB2＝PG2+BG2，
∴∠PGB＝90°，tan∠PBG＝2，
∵tan∠CAB＝2，
∴tan∠NBM＝tan∠CAB，
∴∠NBM＝∠CAB，
∴△BNM∽△ABC，
∵直线PB的解析式为y＝﹣x+7，
由解得，
∴N（，）， .......10分
如图3﹣3中，取BK的中点L（2，﹣3），J（﹣4，1），连接BL，JL，JL 交直线l2于点N，作NM⊥BK于M，
同法可证，△NMB∽△BCA，
∵直线BJ的解析式为y＝﹣x+，
由，解得，
∴N（，）．
综上所述，满足条件的点N的坐标为（，）或（，）或（，）．.....12分雅安中学2024—2025学年上期半期教学质量评估九年级
数 学 试 题
本试卷分 A 卷和 B 卷两部分，全卷满分 150 分，答题时间 120 分钟。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷规定的位置上。
2.回答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦
干净后，再选涂其它答案编号。
3.回答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡指定的位置内。
4.所有题目必须在答题卷作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后，只将答题卷交回。
A 卷（共 100 分）
一、单选题（本题共 8小题，每小题 4 分，共 32 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．（4分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．2x+1＝0 B．x2﹣3x+1＝0 C．ax2+x＝1 D．
2．（4分）菱形的对角线长分别为6和8，则该菱形的面积是（ ）
A．24 B．48 C．12 D．10
3．（4分）．一个不透明的盒子里有9个黄球和若干个红球，红球和黄球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在25%，那么估计盒子中红球的个数为（ ）
A．12 B．18 C．27 D．36
4．（4分）下列说法正确的是（ ）
A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B．对角线相等的平行四边形是菱形
C．有一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形
5．（4分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣（2k﹣1）x+k﹣2＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k＞﹣ B．k＜ C．k＞﹣且k≠0 D．k＜且k≠0
6．（4分）在四边形ABCD中， E，F分别是边AD，BC的中点，G、H分别是对角线BD，AC的中点，依次连接E，G，F、H得到的四边形一定是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
7．（4分）某小区A楼居民从三月开始到五月底全部接种某钟疫苗．已知该楼常驻人口285人，三月已有60人接种疫苗，四月、五月实现接种人数较前一个月的平均增长率为x，则下面所列方程正确的是（ ）
A．60（1+x）2＝285 B．60（1﹣x）2＝285
C．60（1+x）+60（1+x）2＝285 D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝285
8．（4分）如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（ ）
A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACB
C．AP：AC＝AC：AB D．AP：AB＝PC：BC
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．（4分）如果，那么＝ ．
10．（4分）已知关于x的一元二次方程（m-1)x2+5x+m2﹣1＝0的一个根是0，则m＝ ．
11．（4分）若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的面积比为9：25，则△ABC与△DEF的周长比为 ．
13题
12．（4分）设a、b是方程x2+2x﹣2023＝0的两个实数根，则（a+1）（b+1）的值为 ．
13．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP交边BC于点D，若△DAC∽△ABC，则∠B＝ 度．
三、解答题（本大题共6个小题，共48分）解题要求：写出必要的文字说明、计算公式及解答步骤，
14．（12分）按要求解下列方程：
（1）x2﹣7x+10＝0（因式分解法）； （2）3x2﹣2x﹣1＝0（求根公式法）；
（3）x2+2x﹣1＝0（配方法）．
15．（8分）已知O是坐标原点，A、B的坐标分别为（3，1）、（2，﹣1）．
（1）画出△OAB绕点O顺时针旋转90°后得到的△OA1B1；
（2）在y轴的左侧以O为位似中心作△OAB的位似图形△OA2B2，使新图与原图相似比为2：1；
（3）求出△OA2B2的面积．
（4） 在坐标平面内存在点M，使得以A，B，O，M为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标。
16．（8分）小明想用镜子测量一棵松树的高度，但因树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是他两次利用镜子，如图所示，第一次他把镜子放在C点，人在F点时正好在镜子中看到树尖A；第二次把镜子放在D点，人在G点正好看到树尖A．已知小明的眼睛距离地面1.70m，量得CD＝12m，CF＝1.8m，DH＝3.8m．请你求出松树的高．
17．（10分）我国大力发展职业教育，促进劳动力就业．某职业教育培训中心开设：A（旅游管理）、B（信息技术）、C（酒店管理）、D（汽车维修）四个专业，对某中学有参加培训意向的学生进行随机抽样调查，每个被调查的学生必须从这四个专业中选择一个且只能选择一个，该培训中心将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图
根据图中信息解答下列问题：
（1）本次被调查的学生有 人；扇统计图中A（旅游管理）专业所对应的圆心角的度数为 ；
（2）请补全条形统计图，若该中学有300名学生有培训意向，请估计该中学选择“信息技术”专业意向的学生有 人；
（3）从选择D（汽车维修）专业的甲、乙、丙、丁四名同学中随机抽取两人去某汽车维修店观摩学习，请用列表法或画树状图的方法求出恰好抽到甲、丙两名同学的概率．
18．（10分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0．
（1）证明：无论k取任何实数，方程总有实数根．
（2）若，求k的值．
（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．
B卷（共50分）
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．（4分）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为 ．
19题 20题 21题 23题
20．（4分）如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，记△BOE的面积为S1，四边形CDOE的面积为S2，则＝ ．
21．（4分）一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机地选择一条径，则它获得食物的概率是 ．
22．（4分)已知实数α，β满足α2+3α﹣1＝0，β2﹣3β﹣1＝0，且αβ≠1，则+3β的值为 ．
23．（4分）如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝60°，点E，F分别在AD，CD上，且AE＝DF，AF与CE相交于点G，BG与AC相交于点H．下列结论：①△ACF≌△CDE；②CG2＝GH BG；③若DF＝2CF，则CE＝7GF；④S四边形ABCG＝BG2．其中正确的结论有 ．（只填序号即可）
五、解答题（共30分）
24．（8分）在全国人民的共同努力下，某种疫情防控得到有效控制，复工复产后，某玩具经销商在销售中发现：某款进价为每个30元的玩具，若以每个40元销售，一个月能售出400个，销售单价每涨1元，月销售量就减少10个，请回答以下问题：
（1）若上涨a元，则销量为 个．
（2）若月销售利润定为6000元，且尽可能让利消费者，销售单价应定为多少元？
（3）由于资金问题，月销售成本不超过9000元（没有库存积压），销售单价至少定为多少元？
25．（10分） “配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式2x2+4x﹣6的最小值．
原式＝2x2+4x﹣6＝2（x2+2x）﹣6＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6＝2（x+1）2﹣8．
∵（x+1）2≥0，∴2（x+1）2≥0，
∴2（x+1）2﹣8≥﹣8．
可知当x＝﹣1时2x2+4x﹣6有最小值是﹣8．
请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题：
（1）当x＝ 时，代数式x2﹣6x+14有最小值是 ；
（2）当多项式m2﹣2mn+n2﹣4m+4n+25有最小值时，求m与n之间的关系式，并求出这个最小值；
（3）在长方形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连接QP，QD，PD．当P，Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设△QPD的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值．
26．（12分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0），B（4，0），点C在y轴的负半轴上，连接AC，BC，满足∠ACO＝∠CBO．
（1）求直线BC的解析式；
（2）如图2，已知直线l1：经过点B．
①若点D为直线l1上一点，直线AD与直线BC交于点H，若，求点D的坐标；
②过点O作直线l2∥BC，若点M、N分别是直线l1和l2上的点，且满足∠ABC＝∠MNB．请问是否存在这样的点M、N，使得△ABC与△MBN相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。
