参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】或
16.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，；
17.【答案】解：
；
．
．
18.【答案】解：本次共调查学生名；
扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为，
等级人数为名，
补全图形如下：
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中恰好同时选中甲、乙的结果数为，
所以恰好同时选中甲、乙的概率．
19.【答案】证明：，，
四边形为平行四边形．
四边形为菱形，
，
，
四边形为矩形；
．
20.【答案】解：如图，过点作，垂足为，
，，
四边形是矩形，
，，
设米，
在中，，
，
在中，
，，
，
，
，
解得，
答：塔的高度米．
21.【答案】解：把点的坐标为代入直线中，
得，即，
故B，
把代入反比例函数，
得，
则反比例函数的解析式为
或；
由当时，
得，
解得，，
当时，当时，
由图象可得，，
在中，当时，，
解得，
故C，
那么，
因为点为反比例函数图象上任意一点，
所以设点的坐标为，
因为，且，
所以，
解得或，
把代入中，得，则
把代入中，得，则
综上，点的坐标为或．
22.【答案】解：设购进款钥匙扣件，款钥匙扣件，
依题意得：，
解得：．
答：购进款钥匙扣件，款钥匙扣件．
设购进件款钥匙扣，则购进件款钥匙扣，
依题意得：，
解得：．
设再次购进的、两款冰墩墩钥匙扣全部售出后获得的总利润为元，
则．
，
随的增大而增大，
当时，取得最大值，最大值，此时．
答：当购进件款钥匙扣，件款钥匙扣时，才能获得最大销售利润，最大销售利润是元．
设款钥匙扣的售价定为元，则每件的销售利润为元，平均每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，．
答：将销售价定为每件元或元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元．
23.【答案】证明：∽，
，，
，即，
又，即，
∽，
；
解：如图所示，
∽，
，，，
，即，
∽，
，，
，
又，
∽，
，
又，
设，则，
，
，
；
解：如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，，垂足为，
，，
∽，
，，
又，
，
由题意可知，，
，
，
∽，
，
，由勾股定理得：，，
，
，，
∽，
． 2024-2025 学年北师大九年级数学上学期期末检测卷（一）
一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下给出的几何体中，主视图是长方形，俯视图是圆的是( )
A. B. C. D.
2.如图，将长方形和直角三角形的直角顶点重合，若∠ = 128°，则∠ 的度数为( )
A. 28° B. 38° C. 52° D. 62°
第 2 题图 第 3 题图 第 4 题图
3.如图，为了测量河两岸 ， 两点间的距离，在河的一岸与 垂直的方向上取一点 ，测得 = 200 米，
∠ = ，则 =( )
A. 200 米 B. 200 米 C. 200 米 D. 200tan 米
4.三角尺在灯泡 的照射下在墙上形成的影子如图所示．若 = 20 ， ′ = 50 ，则这个三角尺的周
长与它在墙上形成的影子的周长的比是( )
A. 5：2 B. 2：5 C. 4：25 D. 25：4
第 5 题图 第 7 题图 第 8 题图
5.如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是( )
A.点 B.点 C.点 D. 点
6.一元二次方程 2 + + 1 = 0 的根的情况为( )
第 1页，共 5页
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A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根 D.没有实数根
7.如图，在菱形 中，点 ， 分别是边 ， 的中点，连接 ， ， .若菱形 的面积为 16，
则△ 的面积为( )
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形 的边 在 轴上，点 (13,0)，sin∠ = 1213，若反比例函数 =
( > 0, > 0)的图象经过点 ，则 的值是( )
A. 12 B. 48 C. 50 D. 60
9.如图，矩形 中， ， 是 上的两个点， ⊥ ， ⊥ ，垂足分别为 ， ，若 = 2， = 1，
= 2，且 = ，则 + =( )
A. 3 + 1 B. 5 C. 3 D. 52
第 9 题图 第 10 题图 第 11 题图
10.如图， // // ，点 在 上， 与 交于点 ， = 4， = 6，则线段 长为( )
A. 5 B. 3 C. 2.5 D. 2.4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
11 2.如图，直线 // // ，分别交直线 ， 于点 ， ， ， ， ， ，若 = 3， = 6，则 的值为______．
12.如图， 是操场上直立的一根旗杆，旗杆 上有一点 ，用测角仪(测角仪的高度忽略不计)测得地面上
的 点到 点的仰角∠ = 45°，到 点的仰角∠ = 60°，若 = 3 米，则旗杆的高度 = ______米.
第 12 题图 第 13 题图 第 14 题图
第 2页，共 5页
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13.如图，正方形 的对角线 ， 交于点 ， △ 中，∠ = 90 ，将 △ 绕点 旋转(边
在正方形 外面)，现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在 △ 与正方形 重叠部分的概
率为 ．
14.如图，正方形 的顶点分别在反比例函数 = 1 ( 1 > 0)和 =
2
( 2 > 0)的图象上，若 // 轴，
点 的横坐标为 2，则 1 + 2的值为______．
15.如图， △ 中，∠ = 90°， = 4， = 3，点 、 分别为 、
上的动点，将△ 沿 折叠，使点 们对应点 恰好落在边 上，当△
与△ 相似时， 的长为______．
三、计算题：本大题共 2 小题，共 16 分。 第 15 题图
16.计算题：(1)解方程： 2 6 = 0；(2)解方程：2 ( 1) = 1 ；
17 24.计算下列各题：(1) 2(2 45° 60°) + 4 ；(2) 60° 60° 30° 60° + sin
245° + cos245°．
四、解答题：本题共 6 小题，共 59 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题 10 分)为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书
活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学
生每周课外阅读的总时间为 小时，将它分为 4 个等级： (0 ≤ < 2)， (2 ≤ < 4)， (4 ≤ < 6)， ( ≥ 6)，
并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
(2)在扇形统计图中，等级 所对应的扇形的圆心角为多少度？并请补全条形统计图；
(3)在等级 中有甲、乙、丙、丁 4 人表现最为优秀，现从 4 人中任选 2 人作为学校本次读书活动的宣传员，
用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
第 3页，共 5页
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19.(本小题 9 分)如图所示，点 是菱形 对角线的交点， // ， // ，连接 ，交 于 ．
(1)求证：四边形 是矩形；
(2)如果设 = 12， = 16，则 的长为_______．
20.(本小题 10 分)如图，某风景区内有一古塔 ，在塔的一侧有一建筑物，当光线与水平面的夹角是 30°
时，塔在建筑物的墙上留下了高为 3 米的影子 ；而当光线与地面的夹角是 45°时，塔尖 在地面上的影子
与建筑物的距离 为 15 米( 、 、 在一条直线上)，求塔 的高度(结果保留根号)．
21 ( 10 ) . 本小题 分 如图，在平面直角坐标系 中，直线 : 1 = 3 与反比例函数 2 = 的图象交于 、
两点，与 轴相交于点 ，已知点 的坐标为( , 5)．
(1)求反比例函数的解析式;
(2)直接写出不等式 1 < 2的解集．
(3) 点 为反比例函数 2 = 图象上任意一点，若 △ = 2 △ ，求点 的坐标;
第 4页，共 5页
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22.(本小题 10 分)凌云文具店从工厂购进 、 两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如表：(注：利润=销售
价 进货价)
类别
款钥匙扣 款钥匙扣
价格
进货价(元/件) 30 25
销售价(元/件) 42 35
(1)该文具店第一次用 860 元购进 、 两款钥匙扣共 30 件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
(2)第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该文具店计划再次购进 、 两款冰墩墩钥匙扣共 60 件(进货价和销
售价都不变)，且进货总价不高于 1700 元.应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是
多少？
(3)文具店打算把 款钥匙扣调价销售.如果按照原价销售，平均每天可售 4 件.经调查发现，每降价 1 元，平
均每天可多售 2 件，将销售价定为每件多少元时，才能使 款钥匙扣平均每天销售利润为 54 元？
23 ( . 本小题 10 分)(1)如图 1，已知△ ∽△ ，求证： = ；
(2)如图 2，在 △ 中，∠ = 90 ，点 为斜边 上的一点，连接 .作△ 使得△ ∽△ ，
边 与边 5 相交于点 .已知 sin = 5 ， =
，求 的值(用含 的代数式表示)；
(3)如图 3，在 △ 中，∠ = 90 ， = 5 = 12 60， ，点 为斜边 上一点，且 = 13 2，点
在边 上，且∠ = ∠ ，求 的值．
第 5页，共 5页
{#{QQABIYaAoggAAABAAAgCAwVyCgMQkgECAagGwAAEoAAASQNABAA=}#}2024-2025学年北师大九年级数学上学期期末检测卷（一）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下给出的几何体中，主视图是长方形，俯视图是圆的是( )
A. B. C. D.
2.如图，将长方形和直角三角形的直角顶点重合，若，则的度数为( )
A. B. C. D.
3.如图，为了测量河两岸，两点间的距离，在河的一岸与垂直的方向上取一点，测得米，，则( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
4.三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子如图所示．若，，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是( )
A. ： B. ：C. ：D. ：
5.如图，网格中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是( )
A. 点 B. 点C. 点 D. 点
6.一元二次方程的根的情况为( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根
7.如图，在菱形中，点，分别是边，的中点，连接，，若菱形的面积为，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，点，，若反比例函数的图象经过点，则的值是( )
A. B. C. D.
9.如图，矩形中，，是上的两个点，，，垂足分别为，，若，，，且，则( )
A. B. C. D.
10.如图，，点在上，与交于点，，，则线段长为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.如图，直线，分别交直线，于点，，，，，，若，，则的值为______．
12.如图，是操场上直立的一根旗杆，旗杆上有一点，用测角仪测角仪的高度忽略不计测得地面上的点到点的仰角，到点的仰角，若米，则旗杆的高度 ______米
13.如图，正方形的对角线，交于点，中，，将绕点旋转边在正方形外面，现随机向正方形内抛掷一枚小针，则针尖落在与正方形重叠部分的概率为 ．
14.如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上，若轴，点的横坐标为，则的值为______．
15.如图，中，，，，点、分别为、上的动点，将沿折叠，使点们对应点恰好落在边上，当与相似时，的长为______．
三、计算题：本大题共2小题，共16分。
16.计算题：解方程：；解方程：；
17.计算下列各题：；．
四、解答题：本题共6小题，共59分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.本小题分为培养学生的阅读习惯，某中学利用学生课外时间开展了以“走近名著”为主题的读书活动．为了有效了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读的时间，设被调查的每名学生每周课外阅读的总时间为小时，将它分为个等级：，，，，并根据调查结果绘制了如图两幅不完整的统计图．
请你根据统计图的信息，解决下列问题：
在这次调查中，一共抽取了多少名学生？
在扇形统计图中，等级所对应的扇形的圆心角为多少度？并请补全条形统计图；
在等级中有甲、乙、丙、丁人表现最为优秀，现从人中任选人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
19.本小题分如图所示，点是菱形对角线的交点，，，连接，交于．
求证：四边形是矩形；
如果设，，则的长为_______．
20.本小题分如图，某风景区内有一古塔，在塔的一侧有一建筑物，当光线与水平面的夹角是时，塔在建筑物的墙上留下了高为米的影子；而当光线与地面的夹角是时，塔尖在地面上的影子与建筑物的距离为米、、在一条直线上，求塔的高度结果保留根号．
21.本小题分如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴相交于点，已知点的坐标为．
求反比例函数的解析式
直接写出不等式的解集．
点为反比例函数图象上任意一点，若，求点的坐标
22.本小题分凌云文具店从工厂购进、两款冰墩墩钥匙扣，进货价和销售价如表：注：利润销售价进货价
类别
价格 款钥匙扣 款钥匙扣
进货价元件
销售价元件
该文具店第一次用元购进、两款钥匙扣共件，求两款钥匙扣分别购进的件数；
第一次购进的冰墩嫩钥匙扣售完后，该文具店计划再次购进、两款冰墩墩钥匙扣共件进货价和销售价都不变，且进货总价不高于元应如何设计进货方案，才能获得最大销售利润，最大销售利润是多少？
文具店打算把款钥匙扣调价销售如果按照原价销售，平均每天可售件经调查发现，每降价元，平均每天可多售件，将销售价定为每件多少元时，才能使款钥匙扣平均每天销售利润为元？
23.本小题分如图，已知，求证：；
如图，在中，，点为斜边上的一点，连接作使得，边与边相交于点已知，，求的值用含的代数式表示；
如图，在中，，，，点为斜边上一点，且，点在边上，且，求的值．
