期末综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量.图书馆是开展全民阅读的重要场所.以下是山西省四个地市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中.下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．9，40，41
3．一次函数的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．点在第二象限，距离轴5个单位，距离轴3个单位，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，等腰三角形中，，点是底边上的一动点（不与点，重合），过点分别作，的平行线，，交，于点，，则下列数量关系一定正确的是（ ）
（第5题）
A． B．
C． D．
6．如图，在 中，为斜边 的中点，为 上一点，为 的中点，若，，则 的长为（ ）
（第6题）
A． B．3 C． D．4
7．[2024郑州期末]如图，已知函数和的图象交于点，则关于，的方程组的解是（ ）
（第7题）
A． B． C． D．
8．[2024武汉]如图，小美同学按如下步骤作四边形画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交,于点,；③分别以点,为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，.若 ，则的大小是（ ）
（第8题）
A． B． C． D．
9．在平行四边形中，，交于点，设 ， ，若 关于 的函数表达式是，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．四边形是菱形 D．四边形是矩形
10．，两地相距，甲、乙两辆汽车从地出发到地，均匀速行驶，甲车出发后，乙车出发沿同一路线行驶，设甲、乙两车相距，甲车行驶的时间为，与的关系如图所示，下列说法：
①甲车行驶的速度是，乙车行驶的速度是；
②甲车出发后被乙车追上；③甲车比乙车晚到；
④当甲车行驶或时，甲、乙两车相距；
其中错误的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
二、填空题（每题3分，共24分）
11．在函数中，自变量的取值范围是____________.
12．在卡塔尔世界杯上，来自中国制造的主体育场馆“大金碗”——卢塞尔体育场,融合了许多黑科技，球场顶棚采用环保膜材料，膜的材料结构是由许多正六边形交织而成的，这些正六边形的一个内角为____________ .
13．[2024无锡滨湖区期中]一次数学测试后，某班40名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12，8，8，2，则第5组的频率为____________.
14．[2024上海]若正比例函数的图象经过点，则的值随的增大而____.（选填“增大”或“减小”）
15．[2024怀化二中期中]如图，在中， ,是斜边上的中线，，分别为，的中点，若,则________.
（第15题）
16．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，则线段的最小值为____.
（第16题）
17．如图，将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为__.
（第17题）
18．[2024烟台福山区期末]如图，在正方形中，点，分别在边，上，，于点，若，，则的长为____.
（第18题）
三、解答题（第19题9分，第20，21题，每题10分，第22题11分，第23题12分，第24题14分，共66分）
19．（9分）如图，在中， ，，点为延长线上一点，点在上，且.
（1） 求证：；
（2） 若 ，求的度数.
20．[2024衡阳期末]（10分）如图，在边长为1个单位的小正方形网格中建立平面直角坐标系.已知的顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点的坐标为.
（1） 把向下平移4个单位，再以轴为对称轴，得到，请你画出，并直接写出点，，的坐标；
（2） 求的面积.
21．（10分）阅读下列一段文字，然后回答下列问题.已知在平面内的两点，，其两点间的距离，同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为或.
（1） 已知，，试求，两点间的距离；
（2） 已知点，在平行于轴的直线上，点的纵坐标为6，点的纵坐标为，试求，两点间的距离；
（3） 已知一个三角形各顶点的坐标为，，，请判断此三角形的形状，并说明理由.
22．[2024郴州模拟]（11分）强强和佳佳一起去旅游，在某个景点分别乘两个热气球观光.强强坐1号热气球从海拔处出发，以的速度上升.同一时刻，佳佳坐2号热气球从地面（海拔）出发，以的速度上升.
设两个热气球上升的时间为，上升过程中达到的海拔高度分别为，.如图为海拔高度与时间之间的关系.
（1） 直接写出，关于的函数表达式；
（2） 当上升多长时间时，两个热气球所在位置的海拔高度相差？
23．[2024南京期中]（12分）张家口市某中学举办了文化知识大赛（全体同学都参与），赛后抽取部分参赛选手的答题成绩（单位：分）进行了相关统计，整理并绘制成如下不完整的频数分布表和如图所示的不完整的频数直方图.
组别 分数段 频数 百分比
1 30
2
3 90
4
5 15
（1） 被抽取选手的总人数为____，__，______；
（2） 补全频数直方图；
（3） 若参赛成绩不低于80分即可获奖，求获奖人数所占的比例.
24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线, .
（1） 求点的坐标；
（2） 把矩形沿直线折叠后展开，使点落在点处，与相交于点,连接，，求四边形的周长；
（3） 若点在坐标轴上，平面内是否存在点,使以点，，，为顶点的四边形为矩形 若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【参考答案】
期末综合素质评价
一、选择题（每题3分，共30分）
1．C
2．D
3．B
4．D
5．C
6．D
7．A
8．C
9．D
【点拨】如图. 四边形是平行四边形，
，.
， ， ，
.
，
即 ， .
.
四边形是矩形.
10．D
【点拨】①由题图可得，甲车行驶的速度是
甲车先出发，乙车出发后追上甲车，
易得乙车行驶的速度是，故①正确；
当时，乙车出发，当时，乙车追上甲车，
甲车出发后被乙车追上，故②正确；
③由题图可得，当乙车到达B地时，甲、乙两车相距，
甲车比乙车晚到，故③正确；
④设甲车行驶,甲、乙两车相距.应该分两种情况讨论：ⅰ当乙车尚在行驶中，且超前甲车时,由题图可得，解得；ⅱ当乙车到达B地，而甲车离B地还有时，由题图可得，解得，
当甲车行驶或时，甲、乙两车相距，故④错误.
故选D.
二、填空题（每题3分，共24分）
11．
12．
13．
14．减小
15．
16．6.4
17．16
【点拨】 四边形是平行四边形，
,,.
由折叠得，,,
.
.
,即,
四边形是平行四边形.
.
18．5.2
【点拨】 四边形为正方形，，
，.
又，.
.
在中，，，.
,，
.
.
三、解答题（第19题9分，第20，21题，每题10分，第22题11分，第23题12分，第24题14分，共66分）
19．（1） 【证明】在和中，
.
（2） 【解】 ，，
.
， .
， .
.
20．（1） 【解】如图所示,即为所求.
,,.
（2） 的面积为.
21．（1） 【解】.
（2） .
（3） 为等腰三角形.理由如下：
，，，
为等腰三角形.
22．（1） 【解】,.
（2） 两个热气球所在位置的海拔高度相差，
或，
解得或，
当上升或时，两个热气球所在位置的海拔高度相差.
23．（1） 300； 45； 5
（2） 【解】第4组的频数为，
补全频数直方图如图所示.
（3） 由频数直方图可知，参赛成绩不低于80分的学生人数为，.
答：获奖人数所占的比例为.
24．（1） 【解】 ,,,
由勾股定理得.
四边形是矩形，，.
点的坐标为.
（2） 由折叠的性质得,.
四边形是矩形，.
.
又,,.
又, 四边形是平行四边形.
又, 四边形是菱形.
设,则.
在中，,
,解得,即.
四边形的周长.
（3） 存在.连接.由（1）可知，,.
易知点为的中点，
，.
又 ,
是等边三角形，
, .
Ⅰ.若点在轴上，
如图①，当为对角线时，
①
设，,
则
解得
.
,.
.
，,,即,
;
当为边时，点在轴上，轴，.
Ⅱ.若点在轴上，
如图②，当为对角线时，
②
设，，
则
解得
.
四边形是矩形， .
又 , ,,
即,.
当为边时，点在轴上，轴，.
综上，点的坐标为或或或.
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