广东省广州市从化区第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2024高一上·从化期中）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·从化期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高一上·从化期中）函数的定义域是（ ）
A．且 B．且 C． D．
4．（2024高一上·从化期中）下列函数在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·从化期中）已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
6．（2024高一上·从化期中）若集合，下列各式不是“”的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高一上·从化期中）若不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·从化期中）高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设，用符号表示不大于x的最大整数，如，称函数叫做高斯函数．给出下列关于高斯函数的说法：①②若，则③函数的值域是④函数在上单调递增．其中错误说法的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
9．（2024高一上·从化期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．（2024高一上·从化期中）下列各组函数中，与是同一函数的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11．（2024高一上·从化期中）若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2024高一上·从化期中）已知幂函数的图像关于轴对称，则 .
13．（2024高一上·从化期中）已知，则 .
14．（2024高一上·从化期中）已知，求的最小值 ，求的最大值 .
15．（2024高一上·从化期中）设全集，已知集合， 集合.求：
（1），；
（2）.
16．（2024高一上·从化期中）设全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
17．（2024高一上·从化期中）已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明.
18．（2024高一上·从化期中）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.
（1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.
19．（2024高一上·从化期中）已知过点，且满足.
（1）求的解析式及简图；
（2）若在上的值域为，求的值；
（3）若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，
则.
故答案为：A.
【分析】由一元一次不等式得出集合A，再结合交集的运算法则，从而得出集合A和集合B的交集.
2．【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由命题否定的定义可知，
命题“”的否定是.
故答案为：A.
【分析】由全称量词命题和存在量词命题互为否定的关系，从而得出命题“”的否定.
3．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为，则，
解得且，
所以函数的定义域是.
故答案为：C.
【分析】根据分式函数和根式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
4．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为函数，，在上都单调递增，
所以选项A、选项B和选项C都错；
当时，，因此函数在上单调递减，所以选项D对.
故答案为：D.
【分析】利用减函数的定义，从而判断出选项中各函数在上的单调性，从而找出满足要求的函数.
5．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为，又因为在R上是奇函数，
故.
故答案为：B.
【分析】利用当时的函数的解析式和代入法，从而求出的值，再根据奇函数的定义得到的值.
6．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A，，，是的充分不必要条件，
所以A不选；
对于B，，，是的充分不必要条件，所以B不选；
对于C，，，是的充分不必要条件，
所以C不选；
对于D，，，是的必要不充分条件，所以D选.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和元素与集合的关系，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出不是“”的充分不必要条件的选项.
7．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：①当时，成立；
②当时，若不等式的解集为，
则不等式在恒成立，
则，
解得：，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】讨论是否为0，再结合不等式恒成立问题求解方法，再根据二次函数的开口方向和判别式法，从而建立不等式组，进而解不等式得出实数a的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的值；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于①，由高斯函数的定义，可得，故①正确；
对于②，若，则，又因为表示不大于x的最大整数，
则，即，故②正确；
对于③，函数，当时，，故③错误；
对于④，函数，即函数为分段函数，
所以，函数在上单调递增，故④正确.
故答案为：C.
【分析】由高斯函数的定义，再结合函数的值求解方法、绝对值不等式求解方法、函数求值域的方法、增函数的定义，从而逐项判断得出错误说法的序号.
9．【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，因为，所以，故选项D正确，
故答案为：ABD.
【分析】运用不等式的基本性质，从而逐项推导判断，进而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于A，的定义域为，而的定义域为R，故A错误；
对于B，与的定义域相同，对应关系相同，故B正确；
对于C，的定义域为，而的定义域为R，故C错误；
对于D，，与的定义域相同，对应关系相同，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】对选项中的两函数分别从定义域、值域、对应关系进行逐一判断，即可得出同一函数的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，A错误；
B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，
由韦达定理，，故，，即，B正确；
C，由上分析可得，C正确；
D，由上分析可得，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据一元二次不等式和一元二次函数的关系可推出抛物线开口应向下，故，据此可判断A选项；根据一元二次方程、一元二次不等式的关系可列出方程组，解方程组可得，，据此可判断B选项；根据，通过变形可判断C选项；通过化简可得，据此可判断D选项.
12．【答案】1
【知识点】奇偶函数图象的对称性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由于函数是幂函数，所以，解得或，
当时，，是奇函数，图象不关于轴对称；
当时，，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意，所以的值为1.
故答案为：.
【分析】由幂函数的定义和偶函数的图象的对称性，从而得出满足要求的m的值.
13．【答案】7
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由题知，，，
，，
.
故答案为：7.
【分析】利用分段函数的解析式和函数的周期性，从而代入计算得出函数的值.
14．【答案】3；2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，
由且，即且，可得，
则，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：；.
【分析】根据题意，变形得到，再利用基本不等式，从而求得函数的最小值，再由基本不等式求最值的方法，即，可求得函数的最大值.
15．【答案】（1）解：因为，，
则，.
（2）解：因为全集，，，
则或，或，
因此，或 .
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和交集、并集的运算法则，从而得出集合和集合.
(2)利用已知条件和交集、补集的运算法则，从而得出集合.
（1）解：因为，，
则，；
（2）解：因为全集，，，
则或，或，
因此，或 .
16．【答案】（1）解：由“”是“”的充分不必要条件，得，
又因为，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：因为命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，所以，不等式无解集，
所以实数的取值范围.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出集合间的包含关系，再借助数轴得出不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围.
（2）利用全称命题的真假性，将问题转化为，再分空集和非空集合讨论，再根据集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）由“”是“”的充分不必要条件，得 ，
又，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，无解，
所以实数的取值范围.
17．【答案】（1）解：函数为奇函数.
证明如下：∵定义域为R，
又因为，
∴为奇函数.
（2）解：函数在为单调增函数.
证明如下：任取，
则 ，
∵，
∴，，
∴，即，
故在上为增函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）运用奇函数和偶函数的定义，从而判断并证明出函数的奇偶性.
（2）运用增函数和减函数的定义，从而判断并证明出函数在上的单调性.
（1）函数为奇函数.
证明如下：∵定义域为R，
又，
∴为奇函数.
（2）函数在为单调增函数.
证明如下：任取，
则，
∵，
∴，，
∴，即，
故在上为增函数.
18．【答案】解：（1）由题意可知，当0＜x＜40，100x∈N时，
g(x)＝300x-5x2-50x-500-1000＝-5x2+250x-1500；
当x≥40，100x∈N时，，
综上所述，
（2）当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝-5x2+250x-1500＝-5(x-25)2+1625，且当x＝25时，g(x)取得最大值1625；
当x≥40，100x∈N时，，
当且仅当x＝50时，g(x)取得最大值1900，
综上所述，当x＝50时，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】(1)此实际问题中的变量间的关系不能用一个关系式给出，从而构建出分段函数的模型，再利用分类讨论的方法，进而得出利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式.
(2)利用（1）中分段函数的解析式和分类讨论的方法，再结合二次函数的图象求最值的方法、基本不等式求最值的方法，再利用比较法得出分段函数的最大值，进而得出该工厂所获利润的最大值，并求出对应的产量．
19．【答案】（1）解：因为过点，
所以，，，
因为，
所以，解得，
即函数的解析式为：；
此函数的简图如下：
.
（2）解：令，解得；
令，解得或，
因为在上值域为，
所以当时，在上的值域满足题意；
当时，即时，在上的值域满足题意，
故或.
（3）解：因为，
函数有两个不相等的不动点、，且、，
即有两个不相等的正实数根、，
即有两个不相等的正实数根、，
则，解得，
则有 ，
当且仅当时取等号，故的最小值为6.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数图象的作法；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用二次函数的图象过点，再结合代入法和二次函数的解析式，从而得出a，b的值，则得出二次函数的解析式，进而画出二次函数的简图.
（2）利用分类讨论的方法和二次函数在给定区间求值域的方法，再结合已知条件得出实数m的值.
（3）由不动点的定义结合已知条件，再结合判别式法和韦达定理，从而得出实数a的取值范围，再结合韦达定理和均值不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）因为过点，
所以，，，
因为，
所以，解得，
.
（2）令，解得，令，解得或，
因为在上值域为，
所以当时，在上值域满足题意；
当，即时，在上值域满足题意，
故或.
（3），
函数有两个不相等的不动点、，且、，
即有两个不相等的正实数根、，
即有两个不相等的正实数根、，
则，
解得， 则有，
当且仅当时取等号，故的最小值为6.
广东省广州市从化区第四中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题
1．（2024高一上·从化期中）设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为集合，，
则.
故答案为：A.
【分析】由一元一次不等式得出集合A，再结合交集的运算法则，从而得出集合A和集合B的交集.
2．（2024高一上·从化期中）命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：由命题否定的定义可知，
命题“”的否定是.
故答案为：A.
【分析】由全称量词命题和存在量词命题互为否定的关系，从而得出命题“”的否定.
3．（2024高一上·从化期中）函数的定义域是（ ）
A．且 B．且 C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为，则，
解得且，
所以函数的定义域是.
故答案为：C.
【分析】根据分式函数和根式函数求定义域的方法，再结合交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
4．（2024高一上·从化期中）下列函数在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：因为函数，，在上都单调递增，
所以选项A、选项B和选项C都错；
当时，，因此函数在上单调递减，所以选项D对.
故答案为：D.
【分析】利用减函数的定义，从而判断出选项中各函数在上的单调性，从而找出满足要求的函数.
5．（2024高一上·从化期中）已知函数在R上是奇函数，且当时，，则（ ）
A． B．1 C．0 D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：因为，又因为在R上是奇函数，
故.
故答案为：B.
【分析】利用当时的函数的解析式和代入法，从而求出的值，再根据奇函数的定义得到的值.
6．（2024高一上·从化期中）若集合，下列各式不是“”的充分不必要条件的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：对于A，，，是的充分不必要条件，
所以A不选；
对于B，，，是的充分不必要条件，所以B不选；
对于C，，，是的充分不必要条件，
所以C不选；
对于D，，，是的必要不充分条件，所以D选.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和元素与集合的关系，再结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出不是“”的充分不必要条件的选项.
7．（2024高一上·从化期中）若不等式的解集为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：①当时，成立；
②当时，若不等式的解集为，
则不等式在恒成立，
则，
解得：，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】讨论是否为0，再结合不等式恒成立问题求解方法，再根据二次函数的开口方向和判别式法，从而建立不等式组，进而解不等式得出实数a的取值范围.
8．（2024高一上·从化期中）高斯函数是数学中的一个重要函数，在自然科学、社会科学以及工程学等领域都能看到它的身影．设，用符号表示不大于x的最大整数，如，称函数叫做高斯函数．给出下列关于高斯函数的说法：①②若，则③函数的值域是④函数在上单调递增．其中错误说法的序号是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】C
【知识点】函数的值域；函数单调性的判断与证明；函数的值；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于①，由高斯函数的定义，可得，故①正确；
对于②，若，则，又因为表示不大于x的最大整数，
则，即，故②正确；
对于③，函数，当时，，故③错误；
对于④，函数，即函数为分段函数，
所以，函数在上单调递增，故④正确.
故答案为：C.
【分析】由高斯函数的定义，再结合函数的值求解方法、绝对值不等式求解方法、函数求值域的方法、增函数的定义，从而逐项判断得出错误说法的序号.
9．（2024高一上·从化期中）十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远对于实数，下列说法正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,B,D
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，因为，所以，，所以，故A正确；
对于B，因为，所以，，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，所以，故C错误；
对于D，因为，所以，因为，所以，故选项D正确，
故答案为：ABD.
【分析】运用不等式的基本性质，从而逐项推导判断，进而找出说法正确的选项.
10．（2024高一上·从化期中）下列各组函数中，与是同一函数的有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于A，的定义域为，而的定义域为R，故A错误；
对于B，与的定义域相同，对应关系相同，故B正确；
对于C，的定义域为，而的定义域为R，故C错误；
对于D，，与的定义域相同，对应关系相同，故D正确.
故答案为：BD．
【分析】对选项中的两函数分别从定义域、值域、对应关系进行逐一判断，即可得出同一函数的选项.
11．（2024高一上·从化期中）若关于的一元二次不等式的解集为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】二次函数与一元二次不等式的对应关系；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：A，由题意，结合二次函数的图象知，抛物线开口应向下，则，A错误；
B，依题意，，且一元二次方程的两根为和3，
由韦达定理，，故，，即，B正确；
C，由上分析可得，C正确；
D，由上分析可得，D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据一元二次不等式和一元二次函数的关系可推出抛物线开口应向下，故，据此可判断A选项；根据一元二次方程、一元二次不等式的关系可列出方程组，解方程组可得，，据此可判断B选项；根据，通过变形可判断C选项；通过化简可得，据此可判断D选项.
12．（2024高一上·从化期中）已知幂函数的图像关于轴对称，则 .
【答案】1
【知识点】奇偶函数图象的对称性；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由于函数是幂函数，所以，解得或，
当时，，是奇函数，图象不关于轴对称；
当时，，是偶函数，图象关于轴对称，符合题意，所以的值为1.
故答案为：.
【分析】由幂函数的定义和偶函数的图象的对称性，从而得出满足要求的m的值.
13．（2024高一上·从化期中）已知，则 .
【答案】7
【知识点】函数的值
【解析】【解答】解：由题知，，，
，，
.
故答案为：7.
【分析】利用分段函数的解析式和函数的周期性，从而代入计算得出函数的值.
14．（2024高一上·从化期中）已知，求的最小值 ，求的最大值 .
【答案】3；2
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，可得，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，
由且，即且，可得，
则，当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：；.
【分析】根据题意，变形得到，再利用基本不等式，从而求得函数的最小值，再由基本不等式求最值的方法，即，可求得函数的最大值.
15．（2024高一上·从化期中）设全集，已知集合， 集合.求：
（1），；
（2）.
【答案】（1）解：因为，，
则，.
（2）解：因为全集，，，
则或，或，
因此，或 .
【知识点】并集及其运算；交集及其运算；交、并、补集的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和交集、并集的运算法则，从而得出集合和集合.
(2)利用已知条件和交集、补集的运算法则，从而得出集合.
（1）解：因为，，
则，；
（2）解：因为全集，，，
则或，或，
因此，或 .
16．（2024高一上·从化期中）设全集，集合，集合．
（1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：由“”是“”的充分不必要条件，得，
又因为，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）解：因为命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，所以，不等式无解集，
所以实数的取值范围.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；命题的真假判断与应用；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）根据已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而得出集合间的包含关系，再借助数轴得出不等式组，进而解不等式组得出实数a的取值范围.
（2）利用全称命题的真假性，将问题转化为，再分空集和非空集合讨论，再根据集合间的包含关系，从而借助数轴得出实数a的取值范围.
（1）由“”是“”的充分不必要条件，得 ，
又，，
因此或，解得，
所以实数的取值范围为.
（2）命题“，则”是真命题，则有，
当时，，解得，符合题意，因此；
当时，而，
则，无解，
所以实数的取值范围.
17．（2024高一上·从化期中）已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断当时函数的单调性，并用定义证明.
【答案】（1）解：函数为奇函数.
证明如下：∵定义域为R，
又因为，
∴为奇函数.
（2）解：函数在为单调增函数.
证明如下：任取，
则 ，
∵，
∴，，
∴，即，
故在上为增函数.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）运用奇函数和偶函数的定义，从而判断并证明出函数的奇偶性.
（2）运用增函数和减函数的定义，从而判断并证明出函数在上的单调性.
（1）函数为奇函数.
证明如下：∵定义域为R，
又，
∴为奇函数.
（2）函数在为单调增函数.
证明如下：任取，
则，
∵，
∴，，
∴，即，
故在上为增函数.
18．（2024高一上·从化期中）某工厂准备引进一种新型仪器的生产流水线，已知投资该生产流水线需要固定成本1000万元，每生产x百台这种仪器，需另投入成本f(x)万元，假设生产的仪器能全部销售完，且售价为每台3万元.
（1）求利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式；
（2）当产量为多少时，该工厂所获利润最大？并求出最大利润.
【答案】解：（1）由题意可知，当0＜x＜40，100x∈N时，
g(x)＝300x-5x2-50x-500-1000＝-5x2+250x-1500；
当x≥40，100x∈N时，，
综上所述，
（2）当0＜x＜40，100x∈N时，g(x)＝-5x2+250x-1500＝-5(x-25)2+1625，且当x＝25时，g(x)取得最大值1625；
当x≥40，100x∈N时，，
当且仅当x＝50时，g(x)取得最大值1900，
综上所述，当x＝50时，即产量为5000台时，该工厂获得利润最大，且最大利润为1900万元.
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最大（小）值；基本不等式
【解析】【分析】(1)此实际问题中的变量间的关系不能用一个关系式给出，从而构建出分段函数的模型，再利用分类讨论的方法，进而得出利润g(x)（万元）关于产量x（百台）的函数关系式.
(2)利用（1）中分段函数的解析式和分类讨论的方法，再结合二次函数的图象求最值的方法、基本不等式求最值的方法，再利用比较法得出分段函数的最大值，进而得出该工厂所获利润的最大值，并求出对应的产量．
19．（2024高一上·从化期中）已知过点，且满足.
（1）求的解析式及简图；
（2）若在上的值域为，求的值；
（3）若，则称为的不动点，函数有两个不相等的不动点、，且、，求的最小值.
【答案】（1）解：因为过点，
所以，，，
因为，
所以，解得，
即函数的解析式为：；
此函数的简图如下：
.
（2）解：令，解得；
令，解得或，
因为在上值域为，
所以当时，在上的值域满足题意；
当时，即时，在上的值域满足题意，
故或.
（3）解：因为，
函数有两个不相等的不动点、，且、，
即有两个不相等的正实数根、，
即有两个不相等的正实数根、，
则，解得，
则有 ，
当且仅当时取等号，故的最小值为6.
【知识点】函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数图象的作法；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）利用二次函数的图象过点，再结合代入法和二次函数的解析式，从而得出a，b的值，则得出二次函数的解析式，进而画出二次函数的简图.
（2）利用分类讨论的方法和二次函数在给定区间求值域的方法，再结合已知条件得出实数m的值.
（3）由不动点的定义结合已知条件，再结合判别式法和韦达定理，从而得出实数a的取值范围，再结合韦达定理和均值不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
（1）因为过点，
所以，，，
因为，
所以，解得，
.
（2）令，解得，令，解得或，
因为在上值域为，
所以当时，在上值域满足题意；
当，即时，在上值域满足题意，
故或.
（3），
函数有两个不相等的不动点、，且、，
即有两个不相等的正实数根、，
即有两个不相等的正实数根、，
则，
解得， 则有，
当且仅当时取等号，故的最小值为6.
