2024-2025学年江苏省连云港市海州区新海实验中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下是清华大学、北京大学、上海交通大学、中国人民大学四个大学的校徽，其中是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( )
A. 、、 B. 、、
C. 、、 D. 、、
3.如图，图中的两个三角形是全等三角形，其中一些角和边的大小如图所示，那么的值是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，的垂直平分线交于点若，则的度数是( )
A. B. C. D.
5.下列说法错误的是( )
A. 有一个内角是的等腰三角形是等边三角形
B. 角平分线上的点到角两边的距离相等
C. 等腰三角形的角平分线、中线、高线三线合一
D. 轴对称图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分
6.如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯外壁点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁的处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离是( )
A. B. C. D.
7.某中学开展以“杭州亚运会”为主题的学科活动，要求设计几何图形作品来表达对亚运会的祝福小冬以长方形的四条为边分别向外作四个正方形，设计出“中”字图案，如图所示若长方形的相邻两边之差为，且四个正方形的面积和为，则长方形的面积是( )
A. B. C. D.
8.如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列四个结论：；当时，；；若，，则其中正确的结论是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.如图，这是小明在平面镜里看到的背后墙上电子钟显示的时间，则此刻的实际时间应该是______．
10.如图，点在上，，要能证≌，只需再补充一个条件：______．
11.如图，在中，是斜边的中点，若，则 ______．
12.已知等腰三角形的一个内角等于，则它的底角等于______．
13.如图，，，已知，，则点到的距离为______．
14.如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则 ______度
15.如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点若，
，则周长的最小值是______．
16.如图，在中，，，点在边上，，点，在线段上，，若的面积为，的面积为，则的面积为______．
17.如图，门上钉子处挂着一个“欢迎光临”的长方形挂牌，测得，如图，当挂牌水平悬挂即与地面平行时，测得挂绳，将该门挂的挂绳长度缩短后重新挂上，此时不小心把挂牌弄斜了如图，发现与地面平行，且点、、三点在同一直线上，则点的高度下降了______．
18.如图，在中，，点是的中点，连接，作交于点
若，，则的长为______．
三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题分
如图，，，；求证：．
20.本小题分
如图，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动有一天，小明在公园里游玩，如图，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推送水平距离时，秋千的踏板离地的垂直高度，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索的长度？
21.本小题分
如图所示的网格由边长为个单位长度的小正方形组成，点、、在小正方形的顶点上．
在图中画出与关于直线成轴对称的．
作的平分线交于．
的值为______．
与全等且有个公共顶点的格点三角形有______个除外．
22.本小题分
如图，在中，，是的平分线，，交于点，且．
求证：是等腰三角形；
求的度数．
23.本小题分
在中，，，如图，若时，根据勾股定理有．
如图，当为锐角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
如图，当为钝角三角形时，类比勾股定理，判断与的大小关系，并证明；
如图，一块四边形的试验田，已知，米，米，米，米，求这块试验田的面积．
24.本小题分
如图，在中，，，点是上一动点，连接，过点作，并且始终保持，连接．
求证：≌；
若平分交于，，求的值．
25.本小题分
如图，中，于，且：：：：，
试说明是等腰三角形；
已知，如图，动点从点出发以每秒的速度沿线段向点 运动，同时动点从点出发以相同速度沿线段向点运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点运动的时间为秒，
若的边与平行，求的值；
若点是边的中点，问在点运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出的值；若不能，请说明理由．
26.本小题分
如图，等腰中，，点是上一动点，点、分别在延长线上，且，．
【问题思考】在图中，求证：；
【问题再探】若，如图，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论；
【问题拓展】若且平分，如图，若，则的值为______．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.：
10.答案不唯一
11.
12.或
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.证明：，
，
，
，
即，
在和中，
，
≌，
．
20.解：由题意得：，
在中，由勾股定理得：，
设绳索的长度为 ，则，
，
解得：，
答：绳索的长度是．
21.
（3）
（4）
22.证明：是的平分线，
，
又，
，
，
，
是等腰三角形；
解：，
，
，
，
．
23.解：猜想：，证明如下：
如图，过点作于点，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，，，均为正数，
；
猜想：，证明如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，，，均为正数，
；
如图，连接，
在中，由勾股定理得：米，
在中，米，米，米，
，
，
是直角三角形，且，
这块试验田的面积平方米，
答：这块试验田的面积是平方米．
24.证明：，
，
，即．
，
≌；
解：如图，连接．
≌，
，
，
，即，
．
平分，
．
，，
≌，
，
．
25.证明：设，，，
则，
在中，，
，
，
是等腰三角形；
解：，而，
，
则，，，．
当时，，
即，
；
当时，，
得：；
若的边与平行时，值为或．
当点在上，即时，为钝角三角形，但；
当时，点运动到点，不构成三角形
当点在上，即时，为等腰三角形，有种可能．
如果，则，
；
如果，则点运动到点，
；
如果，
过点做垂直于，
，
，
在中，；
，，
则在中，，
．
综上所述，符合要求的值为或或．
26.
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