2025 届高三年级 11 月份联考
数学参考答案及解析
一、选择题
1. B 【解析】设 的公差为 ,则 . 故选 B.
2. 【解析】 ,故要使其实部为 0,只需要 . 故选 B.
3. C 【解析】由 为奇函数知, ,令 可得 . 故选 C.
4. A 【解析】将向量 放入坐标系中考虑,则 ,则 , 所以 . 故选 A.
5. B 【解析】由题意知, 该容器的盛水部分为圆锥形, 过点 向轴 作垂线 ( 为垂足),则 即为圆锥的高, 为圆锥的底面半径,其中 . ,故该容器最多能容纳水的体积为 . 故选 B.
6. C 【解析】将点的坐标代入椭圆方程,得 0,因为 ,所以 ,所以椭圆方程 , 其中 ,故离心率 . 故选 C.
7. B 【解析】由于 是互为反函数的曲线,所以其关于直线 对称,由于点(-1, - 1)在直线 上,所以这两条切线也关于直线 对
称,不妨设其中一条切线的倾斜角为 ,则另一条的倾斜角为 ,故这两条切线的斜率之积为 . . 故选 B.
8. D 【解析】因为 ,故原题干等式可转化为 ,得 ,设 ,则 ,解得 ,因为 ,所以 ,解得 或 ,又因为 ,所以 ,整理得 ,解得 ,当且仅当 时,等号成立. 因此 ,即 2,所以 的取值范围是 . 故选 D.
二、选择题
9. BCD【解析】将这组数据从小到大排序得6,6,7,8, 9,9,9,10,对于 ,这组数据的极差为 ,故 错误；对于 ,平均数为 8,故 B 正确; 对于 C,因为 ,所以上四分位数为 ,故 正确；对于 ,方差为 ,故 D 正确. 故选 BCD. 10. BCD 【解析】由于坐标原点与 其中一点重合, 不妨设坐标原点为 ,对于 : 当动圆 与圆 内切或外切时,均有 两点重合,故 A 错误；对于 B: 点 在以 为圆心,1 为半径的圆上运动,故故 B 正确; 对于 C: 由于 ,当 存在时,要使 为等边三角形,则 需为 ,又因为 ,所以 不可能为等边三角形,故 正确; 对于 : 要使 最大,即 最大,只需要 取最大值即可,由 ,等号当且仅当 三点共线时成立,知此时 ,故此时 ,故 D 正确. 故选 BCD.
11. AD 【解析】对于 选项,考虑正方形的一条边与 轴重合,由斜二测画法的性质,另一条边与 轴重合, 如图所示, 由于对称性与旋转可换性, 图中 与 均等价为所求角. 而由斜二测图性质, ,过 作 的垂线,则 ,即 ,故 的最小值小于 ,故 正确; 过 作 的垂线,易有 ,且 ,故 ,则 的最大值大于 ,故 B 错误；设图形绕 点逆时针旋转 ,则 ,即
,其中 ,则最小值为 ,最大值为 , 故 C 错误, D 正确. 故选 AD.
三、填空题
【解析】由题意可得 ,故 的最小正周期为 . 故答案为 .
13.2【解析】当 时, 表示抛物线的一部分; 当 时, 为空集,因此当且仅当 时,集合 表示一个点(2,0),集合 中有且只有一个元素. 故答案为 2 .
14. 【解析】如图,位于红球之间的白球个数记为
故满足方程 的解共有 组. 满足 时的解有以下情形:① 若 时,有 , ,共 7 种; 同理, 时,有 7 种; 时,有 7 种. 去掉重复的共有 18 种. ② 若 时,有 , ,共 4 种; 同理, 时,有 4 种; 时,有 4 种. 去掉重复的共有 9 种. ③ 若 ,有(11,11,11),此时只有 1 种. ④ 若 ,有(10,10,13),与前面重复,舍去. ⑤ 若 9,不存在. 共有 种. 连续排列的白球个数不超过 13 个的概率是 . 故答案为 .
四、解答题
15. 解:(1)由题意得 ,右焦点坐标为(c,0),双曲
线渐近线方程为 , (2 分)
故 ,解得 , (4 分)
又 ,
故 ,
故 的标准方程为 . (6 分)
(2)证明:设 ,
则 ,两式相减得
(8 分)
若 或 ,
则 的中点在坐标轴上,不满足 , 故 且 ,即直线 的斜率存在且不为 0 , (10 分)
此时 ,即 ,解得 ,故直线 的斜率存在且为定值 2. (13 分) 16. 解:(1)由 及正弦定理,
得 . (2 分)
因为 ,所以 ,
所以 , (4 分)
所以 . (7 分) 由正弦定理,得 . (8 分) (2) 因为 ,由余弦定理可得 , (11 分) 整理得 ,即 , (13 分) 解得 或 . 因为 ,所以 ,即 , 故 . (15 分) 17. 解:(1)在 中,由余弦定理可得:
所以 ,所以 ,(2 分) 同理可得 , (3 分)
又因为 平面 平面
所以 平面 , (5 分)
又 平面 ,所以 , (6 分)
依题意,有 ,所以 . (7 分)
(2) 以 为原点, 所在直线分别为 轴, 轴,过点 作 轴垂直于平面 ,建立如图所示空间直角坐标系.
在 中,由余弦定理得 ,所以 的坐标为 , (9 分)
又 ,
所以
(11 分)
由 (1) 可得平面 的一个法向量为 , (12 分)
设平面 的一个法向量为 ,
则有 ,
即 ,取 .
(14 分)
则 ,
所以二面角 的余弦值为 .
(15 分)
【评分细则】该题两问用几何法或空间向量基本定理法, 答案正确均给分。
18. 解:(1)由题意可得 ,
则 ,( 2 分)
令函数 ,
则 ,
在 上单调递减, (5 分)
则 ,令 ,
则 ,
,
即数列 为递减数列. (8 分)
(2)令函数 ,
令函数 ,
则 ,当 时, 为减函
数; 当 时, 为增函数,( 12 分) 故 ,则 ,
,
在定义域上单调递增,
. 令 , (14 分)
则
又 ,
. (16 分)
当 时,
.
即 ,又 ,
所以 . (17 分)
19. 解:(1) 记第 次采摘到橙子的概率是 ,
则第 次采摘到苹果的概率是
对于小明: ,由全概率公式可得:
同理: 对于小王: (5 分) 故小王第 2 次采摘到橙子的概率和小明第 2 次采摘
到橙子的概率大小相等均为 . (6 分)
(2)设第 次采摘时有 个橙子和 个苹果,
则 . (8 分)
由全概率公式可得:
(11 分)
所以 ,即每一次采摘到橙子的概率都相等. (12 分)
(3)设第 次采摘到橙子的个数为 ,
则 ,所以 服从两点分布. (14 分)
记第 次采摘后,累计采摘到的橙子个数是 ,
则 . (15 分)
所以 .
【评分析则】(1) 算出一个概率得 3 分, 算出两个的 5 分, 结论分 1 分, (2) 铺垫给两分 (即设出相关量和对第一次概率的计算),全概率公式分为“公式分”“代入分”“结果分”三部分给分,共得 3 分,(3)说明两点分布得 2 分,代入和结果共 3 分。2025 届高三年级 11 月份联考 数学试题
本试卷共 4 页, 19 题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。 注意事项:
1. 答题前, 先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上, 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后,用 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4. 考试结束后, 请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1. 已知等差数列 满足 ,则
A. 3 B. 4 C. 8 D. 10
2. 已知 是实数,若 为纯虚数,则
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
3. 已知函数 为奇函数,则
A. B. C. D.
4. 如图,在方格边长为 1 的方格纸中,向量 的起点和终点均在格点上,则
A. -8 B. -6 C. 6 D. 8
5. 现有一盛水实心容器,其外形可以通过如下方式得到: 在 中, , ,以边 所在直线为轴将该三角形旋转一周,所得旋转体即为该容器,则该容器最多能容纳水的体积为
A. B. C. D.
6. 已知点 在椭圆 上,则 的离心率为
A. B. C. D.
7. 过点(-1, - 1)分别作曲线 的切线,则这两条切线的斜率之积为
A. B. 1 C. e D.
8. 已知正数 满足 ,则 的取值范围为
A. B. C. D.
二、选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分.
9. 某卫星主要用于开展低轨星座系统新技术试验, 其主要功能用于记录飞行过程中观测到的低轨行星的数目,已知该卫星连续 8 天内观测到的低轨行星数目分别为:9,8,6, 10,9,7,6,9,则这组样本数据的
A. 极差为 3 B. 平均数是 8 C. 上四分位数是 9 D. 方差为 2
10. 平面内一动点 到坐标原点的距离为 1,以 为圆心,1 为半径的动圆与圆 交于 两点,则
A. 存在唯一的圆 ,使得 两点重合
B.
C. 若 存在,则其不可能为等边三角形
D. 的最大值为
11. 已知水平放置的正方形的边长为 ,利用斜二测画法绘制该正方形在水平平面内的直观图四边形 ,则
A. 的最小值小于 B. 的最大值小于
C. 的最小值大于 2 D. 的最大值大于 4
三、填空题:本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分.
12. 函数 的最小正周期为_____.
13. 已知集合 ,若集合 中有且只有一个元素,则
14. 把 3 个红球和 33 个白球随机排成一圈, 则连续排列的白球个数不超过 13 个的概率是
四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分 13 分)
已知双曲线 的离心率为 ,右焦点到 的一条渐近线的距离为 为 上不同的两点,且线段 的中点为 .
(1)求 的标准方程；
(2)证明:直线 的斜率存在且为定值,并求出该定值.
16. (本小题满分 15 分)
已知 的内角 所对的边分别为 ,且 .
(1)证明: ；
(2)若 ,求 .
17. (本小题满分 15 分)
如图,平行六面体 的棱长均为 ,且 的中点为 .
(1)证明: ；
(2)求二面角 的余弦值.
18. (本小题满分 17 分)
已知首项为 1 的正项数列 满足 .
(1)探究数列 的单调性；
(2)证明: .
19. (本小题满分 17 分)
小明和小王按照规定在奇妙种植园中采摘水果, 水果越采摘越多. 奇妙种植园中的每个园区在最初始时会提供有限个橙子和苹果供采摘,且每次采摘均为随机采摘,当每次从种植园中随机采摘一次得到一个水果后,将水果退回种植园,并再添加同种水果 个放入种植园.
(1)若小王选择的园区初始有 5 个橙子和 15 个苹果, 小明选择的园区初始有 4 个橙子和 12 个苹果,且 . 试比较: 小王第 2 次采到橙子的概率和小明第 2 次采到橙子的概率大小;
(2)证明:无论初始时橙子和苹果的个数是多少,每一次采摘到橙子的概率都相等；
(3)若初始有 个橙子和 个苹果,证明: 第 次采摘后,累计采摘到的橙子个数的期望是 .
(附:若随机变量 服从两点分布,且 ,
