2024-2025学年第一学期初二数学12月考模拟卷（1）
（范围：八上第1章-第6章 考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．，，
3．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．点P在y轴的左侧，且到x轴、y轴的距离分别是1和2，则点P的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
5．若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
6．已知一次函数中，y随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．对于一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象不经过第一象限
B．图象与y轴的交点坐标为
C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到
D．若点，，在一次函数的图象上，则
8．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（ ）
A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元
C．第20天和第30天的日销售利润相等
D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9．一个数的平方根分别是和，则这个数是_______．
10．比较大小：______．（填“”“”或“”）
11．如图，与相交于点，，要使与全等，还需要添加一个条件，你认为添加的条件可以是_________．（只添加一个条件即可）
12．将点向右平移3个单位得到点，点与点关于x轴对称，则的坐标是_______．
13．如图，在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是_______．
14．等腰三角形的周长为厘米，腰长为厘米，底边长为厘米，其中的取值范围是_______．
15．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为_______．
16．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是轴负半轴上一动点，是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______．
17．在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为．若正比例函数的图象与线段有公共点，则m的取值范围是_______．
18．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为_______．
三、解答题：本题共8小题，共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
19．（6分）求下列各式的值；
(1)； (2)．
20．（6分）如图，分别是和的高，．求证：．
21．（6分）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)若F是的中点，连接，且，求的周长．
22．（6分）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题：
(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是；
(2)观察图象，当时，y的取值范围是；
(3)将直线沿y轴方向平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．
23．（6分）直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上、且与重合，求的长．
24．（6分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求的值；
(2)已知点，是该一次函数图象上一点，当的面积为6时，求点的坐标．
25．（8分）暑假期间，随着气温的升高，某游泳馆在原票价30元/次的基础上推出以下两种优惠方案：
方案一：先购买一张价值100元的游泳月卡，一个月内每次凭卡另收15元．
方案二：每月游泳次数不超过10次，票价不优惠，若当月超过10次，超过部分每次只收10元．
(1)设每月游泳次，所需总费用为元，分别就两种方案，求关于的函数表达式．
(2)当一个月的游泳次数超过10次时，试分析选择哪种方案较合算？
26．（10分）如图，已知直线经过点和．
(1)求直线的解析式；
(2)若把横、纵坐标均为整数的点称为格点，则图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有_________个；
(3)在图中作点关于直线的对称点D，则点D的坐标为_________；
(4)若在直线和y轴上分别存在一点M、N使的周长最短，请在图中标出点M、N（不写作法，保留痕迹）．
答案与解析
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列四种图案是2024年巴黎奥运会中部分运动项目的示意图，其中是轴对称图形的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，本选项符合题意．
故选：D．
2．下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，能构成直角三角形的一组是（ ）
A．1，， B．6，7，8 C．2，3，4 D．，，
【答案】A
【详解】解：A.，能构成直角三角形，符合题意；
B.，不能构成直角三角形，不符合题意；
C. ，不能构成直角三角形，不符合题意；
D.，不能构成直角三角形，不符合题意；
故选：A．
3．在平面直角坐标系中，点一定在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【详解】解：∵，
∴，
∴点的横坐标为负，纵坐标为正．
∴点在第二象限，
故选：B．
4．点P在y轴的左侧，且到x轴、y轴的距离分别是1和2，则点P的坐标是（ ）
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【详解】解：点P在y轴的左侧，
点在第二或三象限，
点到轴、轴的距离分别是1和2，
当点在第二象限，则点的横坐标是，纵坐标是，
点的坐标是．
当点在第三象限，则点的横坐标是，纵坐标是，
点的坐标是．
故选：D．
5．若正比例函数的图象经过点，则这个图象必经过点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：设正比例函数解析式为，
将代入得：，
∴正比例函数解析式为，
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故不在该正比例函数图象上，不符合题意；
当时，，故在该正比例函数图象上，符合题意，
故选：D．
6．已知一次函数中，y随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：∵一次函数中，y随x 的增大而增大，
∴，
∴，
故选：C．
7．对于一次函数，下列说法不正确的是（ ）
A．图象不经过第一象限
B．图象与y轴的交点坐标为
C．图象可由直线向下平移2个单位长度得到
D．若点，，在一次函数的图象上，则
【答案】D
【详解】解：∵，
∴，，
∴图象过第二、三、四象限，不过第一象限，A正确，故不符合要求；
当时，，即图象与y轴的交点坐标为，B正确，故不符合要求；
图象可由直线向下平移2个单位长度得到，C正确，故不符合要求；
随着的增大而减小，
∵，
∴，D错误，故符合要求，
故选：D．
8．如图表示的是某公司一种产品30天的销售情况，其中图①是该产品日销售量y（件）与日期t（日）的函数图象，图②是该产品单件的销售利润w（元）与日期：t（日）的函数图象．下列结论错误的是（ ）
A．第25天的销售量为200件 B．第6天销售一件产品的利润是19元
C．第20天和第30天的日销售利润相等 D．第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润
【答案】C
【详解】A、根据图①可得第25天的销售量为200件，
故此选项正确，不符合题意；
B、设当，一件产品的销售利润w（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为，
把代入得：
，
解得：，
∴，
当时，，
故此选项正确，不符合题意；
C、当时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为，
把代入得：
，
解得：，
∴，
当时，日销售利润为（元）；
当时，日销售利润为（元），
∴第20天和第30天销售利润不相等，
故此选项错误，符合题意；
D、当时，日销售利润为（元），
当时，日销售利润为（元）．
∴第18天的日销售利润高于第25天的日销售利润，
故此选项正确，不符合题意．
故选：C．
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9．一个数的平方根分别是和，则这个数是．
【答案】1
【详解】解：一个正数的两个平方根分别是和；
，
，
，
这个正数为：，
故答案为：1．
10．比较大小：．（填“”“”或“”）
【答案】
【详解】解：，
∵，
故答案为：．
11．如图，与相交于点，，要使与全等，还需要添加一个条件，你认为添加的条件可以是．（只添加一个条件即可）
【答案】（答案不唯一）
【详解】解：∵，，
∴只需要添加：，即可根据证明，
故答案为：（答案不唯一）．
12．将点向右平移3个单位得到点，点与点关于x轴对称，则的坐标是．
【答案】
【详解】解：∵点向右平移3个单位得到点，
∴；
∵点与点关于x轴对称，
∴；
故答案为：．
13．如图，在中，，是的角平分线，于点D，，周长为12，则的长是．
【答案】8
【详解】解：∵是的角平分线，，，
∴，
∵的周长为12，，
∴，
∴，
故答案为：8．
14．等腰三角形的周长为厘米，腰长为厘米，底边长为厘米，其中的取值范围是．
【答案】
【详解】解：依题意，
根据三边关系可得
解得：
故答案为：．
15．如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为．
【答案】2
【详解】解：由勾股定理得：，，，
，，，
，是直角三角形，
，
的面积，
，
．
故答案为：2．
16．已知直线与轴交于点，与轴交于点，点是轴负半轴上一动点，是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为．
【答案】或
【详解】解：由函数得，，，∴，
∵是等腰三角形，点在轴负半轴上，
当点为顶点时，，∴点的坐标为；
当为底边，点为顶点时，，
设，则，
∴，
整理得，，∴，
∴点的坐标为；
综上，满足条件的点的坐标为或，
故答案为：或．
17．在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为．若正比例函数的图象与线段有公共点，则m的取值范围是．
【答案】或
【详解】解：当过点时，则：，
∴；
当过点时，则：，
∵正比例函数的图象与线段有公共点，
∴或；
故答案为：或．
18．已知分别是的三条边长，为斜边长，，我们把关于的形如的一次函数称为“勾股一次函数”，若点在“勾股一次函数”图象上，且的面积为9，则的值为．
【答案】
【详解】解：根据题意，点在“勾股一次函数”的图象上，
∴，即，
∴，
∵是直角的三边，为斜边，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得，（负值舍去），
故答案为：．
三、解答题：本题共8小题，共54分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
19．（6分）求下列各式的值；
(1)； (2)．
【详解】（1）解：
；……………………………………3分
（2）解：
．……………………………………6分
20．（6分）如图，分别是和的高，．求证：．
【详解】证明：∵分别是和的高，
∴，……………………………………1分
∵，
∴，……………………………………2分
∴，……………………………………3分
∵，
∴，
∴，……………………………………4分
∴，……………………………………5分
∴．……………………………………6分
21．（6分）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使．
(1)求证：；
(2)若F是的中点，连接，且，求的周长．
【详解】（1）证明：∵是等边三角形，
∴.
又∵是中线，
∴平分，
∴.……………………………………1分
∵，
∴……………………………………2分
又∵，
∴，
∴，
∴……………………………………3分
（2）解：由（1）可知，
又∵F是的中点，
∴.
∵，
∴.……………………………………4分
又∵为直角三角形，
∴，
∴.
∵是中线，
∴……………………………………5分
∵是等边三角形，
∴，
∴的周长为……………………………………6分
22．（6分）在直角坐标系中画出一次函数的图象，并完成下列问题：
(1)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是；
(2)观察图象，当时，y的取值范围是；
(3)将直线沿y轴方向平移3个单位长度，请直接写出平移后的直线关系式．
【详解】（1）解：一次函数的图象如图：
令，解得，令，则，
∴直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为，
∴函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是，
故答案为：4；……………………………………2分
（2）解：由图可知，当时，y的取值范围为，
故答案为：；……………………………………4分
（3）解：将直线沿y轴平移3个单位长度得或，即或．……………………………………6分
23．（6分）直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上、且与重合，求的长．
【详解】解：∵将直角边沿直线折叠，
∴，，
，……………………………………2分
在中，
，
，……………………………………3分
∴，……………………………………4分
设，则，
在中，
由勾股定理，得，……………………………………5分
解得，
即．……………………………………6分
24．（6分）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求的值；
(2)已知点，是该一次函数图象上一点，当的面积为6时，求点的坐标．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，
∴，
∵一次函数经过点，
∴，
∴；……………………………………4分
（2）解：由（1）知一次函数解析式为，……………………………………5分
如图，∵是该一次函数图象上一点，
∴，
∵，，
∴，……………………………………6分
解得：或，
当时，，……………………………………7分
当时，，
∴点的坐标为或．……………………………………8分
25．（8分）暑假期间，随着气温的升高，某游泳馆在原票价30元/次的基础上推出以下两种优惠方案：
方案一：先购买一张价值100元的游泳月卡，一个月内每次凭卡另收15元．
方案二：每月游泳次数不超过10次，票价不优惠，若当月超过10次，超过部分每次只收10元．
(1)设每月游泳次，所需总费用为元，分别就两种方案，求关于的函数表达式．
(2)当一个月的游泳次数超过10次时，试分析选择哪种方案较合算？
【详解】（1）解：由题意得：方案一：．……………………………………1分
方案二：当时，．……………………………………2分
当时，． ……………………………………3分
所以．
（2）解：当时，，，……………………………………4分
当时，解得；……………………………………5分
当时，解得；……………………………………6分
当时，解得；……………………………………7分
综上所述，当时，，方案一合算；当时，，两个方案一样合算；当时，，方案二合算．……………………………………8分
26．（10分）如图，已知直线经过点和．
(1)求直线的解析式；
(2)若把横、纵坐标均为整数的点称为格点，则图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数有_________个；
(3)在图中作点关于直线的对称点D，则点D的坐标为_________；
(4)若在直线和y轴上分别存在一点M、N使的周长最短，请在图中标出点M、N（不写作法，保留痕迹）．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
把和代入得，，
解得，
∴直线的解析式为；……………………………………2分
（2）解：图中阴影部分（不包括边界）所含格点为，，，，，，，，，，共个；……………………………………5分
（3）解：∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵点C与点D关于对称，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
故答案为：；……………………………………7分
（4）解：如图所示，作C点关于y轴的对称点E，连接交y轴于点M，交于点N，即点M、N为所作，
根据两点之间线段最短可判断此时的周长最短．……………………………………10分
3
