2024-2025学年广东省“八校联盟”高二第一学期期中教学质量检测数学试题(一)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知空间向量，的夹角为，且，，则与的夹角是( )
A. B. C. D.
3.在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则( )
A. B. C. D.
4.直线和直线，则“”是“”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
6.如图，若直线，，的斜率分别为，，，则( )
A. B. C. D.
7.设为坐标原点，向量，，，点在直线上运动，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如图，将菱形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是的中点，，则折后直线与平面所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线的斜率为
B. 直线在轴上的截距为
C. 直线必过定点
D. 直线与直线平行
10.下列命题中正确的是( )
A. 已知，是两个互相垂直的单位向量，，，且，则实数
B. 已知正四面体的棱长为，则
C. 已知，，，则向量在上的投影向量的模是
D. 已知，，为空间向量的一个基底，则向量，，不可能共面
11.在棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点满足，则下列说法正确的是( )
A. 若，，则三棱锥外接球的表面积为
B. 若，则异面直线与所成角的余弦值为
C. 若，则面积的最小值为
D. 若存在实数，使得，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点且平行于直线的直线方程为 ．
13.如图所示，在直四棱柱中，底面为平行四边形，，，点在棱上，且，则点到平面的距离为 ．
14.二面角中，，，，，且，，若，，，，则此二面角的大小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求经过点，且在轴上的截距为的直线方程
已知直线经过点，且与两坐标轴在第一象限围成的三角形的面积为，求直线的方程．
16.本小题分
如图，已知斜三棱柱中，，，，，，点是与的交点．
用向量，，表示向量
求异面直线与所成角的余弦值
判定平面与平面的位置关系．
17.本小题分
若直线沿轴向右平移个单位长度，再沿轴向上平移个单位长度后，回到原来的位置，求的斜率
一束光线从点射出，与轴相交于点，经轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程
已知实数，满足，且求的取值范围．
18.本小题分
如图，在正三棱柱中，，，F.
证明：平面
若，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．
19.本小题分
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模，如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，为上一点，．
求的长；
若为的中点，求二面角的余弦值；
若为上一点，且满足，求．
参考答案
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15.解：由题意可知所求直线经过，两点，
则直线的斜率，所以直线方程为，
即．
由题意可设直线的方程为，
则，解得，
所以直线的方程为，
即．
16.解：
设，，．
．
．
又，
，．
，．
异面直线与所成的角的余弦值为．
取的中点，连接，
则
，为的中点，
．
又，
．
，、在平面内，
平面．
又平面，
平面平面．
17.解：由题意，直线存在斜率，可设直线方程为，直线沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位后，所得直线的方程为，化简得．
因为平移后与原直线重合，则解得，即直线的斜率为．
解：由，两点坐标，可得直线的斜率为，所以入射光线所在直线方程为，即．
因为反射光线与入射光线所在直线关于轴对称，
所以反射光线与入射光线所在直线的倾斜角互补，斜率互为相反数，所以反射光线所在直线的斜率为，所以反射光线所在直线方程为，即．
解：因为的几何意义是过，两点的直线的斜率，
由题意可知点在线段上移动，且，两点的坐标分别为，，
则，，所以所以的取值范围为
18.解：连接，
四边形是正方形，，
，，，，
是等边三角形，，，
三棱柱是正三棱柱，平面，
平面，，
，，，，平面，
平面，
平面，，
，，，平面，，
平面
建立如图所示的空间直角坐标系，有，，，，
，，，，平面，
平面，
平面，，
由可得平面的一个法向量为，
又由，
有，
，，
令，
有
当且仅当，即时取等号，
故直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
19.解：因为底面为矩形，底面，
所以，，
又底面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以为直线与所成的角，即，
设，则，，
在中，
又，
所以，解得负值已舍去，
所以；
在平面内过点作交的延长线于点，连接，
因为底面，底面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以为二面角的平面角，
因为为的中点，
所以，，
所以，
设二面角的平面角为，则，
所以，
即二面角的余弦值为；
依题意，，又，
所以，，
又，
所以，
又，、平面，
所以平面，
在平面内过点作，垂足为，
由平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，又，即，
所以．
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